反证法与放缩法.ppt

反证法 先假设要证明的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到矛盾 说明假设不正确 从而间接说明原命题成立的方法 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 对某些数学语言的否定假设要准确 以免造成原则性的错误 有时在使用反证法时 对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾 尤其在一些选择题中 更是如此 用反证法证明不等式应注意的问题 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 推导出来的矛盾可以是多种多样的 有的与已知条件相矛盾 有的与假设相矛盾 有的与定理 公理相违背 有的与已知的事实相矛盾等 总之推导出的矛盾必须是明显的 例2 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a b c 0 证 设a0 bc0 则b c a 0 ab bc ca a b c bc0矛盾 必有a 0同理可证 b 0 c 0 例3 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于1 4 则三式相乘 1 a b 1 b c 1 c a 又 0 a b c 1 同理 以上三式相乘 1 a a 1 b b 1 c c 与 矛盾 结论成立 证明 设 1 a b 1 4 1 b c 1 4 1 c a 1 4 例 ABC的三边长a b c的倒数成等差数列 求证 B 90 分析 本题中的条件是三边间的关系 而要证明的是 B与90 的大小关系 结论与条件之间的关系不明显 考虑用反证法证明 解答 a b c的倒数成等差数列 假设 B 90 不成立 即 B 90 则 B是三角形的最大内角 在三角形中 有大角对大边 b a 0 b c 0 这与相矛盾 假设不成立 故 B 90 成立 拓展 若a3 b3 2 求证 a b 2 分析 本题结论的反面比原结论更具体 更简洁 宜用反证法 证明 假设a b 2 则 a b 3 a3 b3 3ab a b 8 由a3 b3 2 得3ab a b 6 故ab a b 2 又a3 b3 a b a2 ab b2 2 ab a b a b a2 ab b2 a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 这不可能 故a b 2 用反证法证 至多 至少 型问题的方法与步骤 1 反证法的一般步骤 否定结论 假设要证明的结论不成立 即假设结论的反面成立 推理论证 由 否定结论 出发 通过正确的推理 导出矛盾 肯定结论 因为推理正确 产生矛盾的原因在于 否定 结论的错误 即结论的反面不成立 从而结论成立 用反证法证 至多 至少 型问题 2 在证明中含有 至多 至少 最多 等字眼时 若正面难以找到解题的突破口 可转换视角 用反证法证明 在用反证法证明的过程中 由于作出了与结论相反的假设 相当于增加了题设条件 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 否则将无法推出矛盾 练习 否定 自然数a b c中恰有一个为偶数 时正确的反设为 A a b c都是奇数 B a b c都是偶数 C a b c中至少有两个偶数 D a b c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 选D 三个自然数的奇偶情况有 三偶 三奇 二偶一奇 二奇一偶 4种 而自然数a b c中恰有一个为偶数包含 二奇一偶 的情况 故反面的情况有3种 只有D项符合 练习 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 A 2 3 B 1 2 C 3 D 4 5 解析 选C 1 可取a 0 5 b 0 6 故不正确 2 若a b 2 则可取a 1 b 1 3 若a b 2 则a b中至少有一个大于1 正确 4 若a2 b2 2 可取a 2 b 1 5 若ab 1 则可取a 2 b 1 故选C 例 实数a b c d满足a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明 假设a b c d都是非负数 即a 0 b 0 c 0 d 0则1 a b c d ac bd ad bc ac bd 这与已知中ac bd 1矛盾 原假设错误 故a b c d中至少有一个是负数 例 2011 南通模拟 若a b c均为实数 且求证 a b c中至少有一个大于0 分析 本题是一个 至少 成立的问题且a b c是含有x y z的代数式 从正面证明难度较大 可考虑反证法 解答 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 a b c 0 而 x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 a b c 0 这与a b c 0矛盾 故a b c中至少有一个大于0 拓展 已知f x x2 bx c 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 分析 1 本题是一个 至少 成立的问题 用反证法证明较简单 2 不小于 的否定是 小于 问题转化为三个绝对值的式子小于同时成立 解绝对值不等式组 判断是否能推出一个矛盾结论 证明 方法一 假设则与 矛盾 假设不成立 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 放缩法 放缩法证明不等式的技巧 放缩法是不等式证明的基本方法 在不等式证明中几乎处处存在 1 放缩法证明不等式时 常见的放缩依据或技巧主要有 不等式的传递性 同分子 母 异分母 子 的两个分式大小的比较 缩小分母 扩大分子 分式值增大 缩小分子 扩大分母 分式值减小 2 放缩法的注意事项 舍去或加上一些项 如 将分子或分母放大 缩小 如 特别注意 放大或缩小时注意要适当 必须目标明确 合情合理 恰到好处 且不可放缩过大或过小 例1 若a b c d R 求证 证 记m a b c d R 1 m 2即原式成立 法 证明 在时 显然成立 当时 左边 法 法 函数的方法 例 设求证 证明 练习书29页2题 练习 已知a 0 b 0 c 0 a b c 求证 分析 本题若通分去分母 运算量较大 考虑到a 0 b 0可先试试分式的放缩 证明 a 0 b 0 只需证 而函数在 0 上递增 且a b c f a b f c 即 原不等式成立 练习 设x 0 y 0 若则A B的大小关系为 解析 x 0 y 0 答案 A B 例 已知数列 an 的通项公式为若求证 2n b1 b2 bn 2n 3 n N 分析 1 求出通项bn才能尝试证明不等式 2 代入an的有关表达式后 用n表示bn 再用基本不等式进行放缩 解答 练习 已知实数x y z不全为零 求证 分析 不等式左边都是根式 右边是整式 可考虑将根号内的式子配方后 再用放缩法证明 解答 同理可证 由于x y z不全为零