柳暗花明图形变换中开放性题目的探究与思考.doc

图形变换中开放性题目的探究与思考数学开放题能体现数学研究的思想方法，促进数学教育的开放化和个性化，数学开放题有利于因材施教，培养学生思维的灵活性和发散性。开放题的核心是培养学生的探索精神和创新能力，激发学生独立思考和创造的意识。开放题的教学过程是学生主动建构、积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，让学生真正学会“数学地思维”；数学开放题的教学过程也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索创新精神和实践能力。把数学开放题带进课堂是提高数学教学开放度的主要途径。开放性题一是结论开放，对于同一个问题可以有不同的结果，增强问题的探索性；二是解题过程开放，解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题；三是方法开放，争取创新解法，鼓励一题多解，强调解决问题时的不同思路，体现一种完整的数学思想方法。解答条件开放题的基本思路是：运用分析法，执果索因，即从所给结论出发，通过逆向思维，探索并列出满足题目要求的条件；解答结论开放题的基本思路是：运用综合法，由因导果，即从所给的条件出发，通过发散思维，合情合理的推导出正确结论；解答条件和结论都开放的综合开放题，一般通过观察、分析先确定条件（或结论），进而转化为结论（或条件）的开放题，再行解答。一、旋转变换中拓广性问题的探究与思考开放式教学引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、问题的解决,这种教学尽管可能会耗时较多，但对于学生形成数学的整体能力，发展创造思维等都有极大的好处。1. 旋转变换与拼图拼图关键：取中点。通过旋转拼成图形必有相等线段，相等线段必取中点。例：图1在ABC中，我们可以取ABC的中位线DE，裁掉ADE，并将ADE拼接到CFE的位置如图2思考发现：该剪拼方法就是先将ADE绕点E逆时针旋转180到CFE的位置，易知DE与EF在同一直线上，且DF=2DE=BC,DFBC,那么构成的新图形四边形DBCF是一个平行四边形。实践探究：类别图2的剪拼方法，请你将图3（梯形）剪拼成一个平行四边形，将图4（直角梯形）剪拼成矩形，类别图2的图示方法画出拼剪的示意图。联想拓展：如图5的多边形中，AD=CB,AD/CB,能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？请你在图中画出剪拼的示意图，并说出裁剪线的位置。如图6，已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有三条，能否做到： （用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。解析：取AB、 CD、AD、BC中点E、F、G、H,沿EF、GH把四边形剪成四小块，这个剪拼过程相当于下面的图形变换：把四边形EOGA绕点E旋转180,把四边形HCFO绕点F旋转180，把四边形GOFD沿DB平移。由相等线段可知能拼成平行四边形。通过典型例题，引导学生推广探究；通过新知识引导学生求新探究；通过快捷思维训练，引导学生直觉探究；通过一题多解，引导学生求异、求巧探究等途径，以激励学生的创新意识。2.旋转变换与路径教学中的例题、习题的形式应富于变化，以利于学生在条件和结论的变化中锻炼和培养变通能力。思维的变通性不受思维定式的束缚，能随机应变触类旁通，以求异的观点巧妙应用知识，产生超常构思提出不同反响的方法思路。例：一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转5次，每次转过角度60，旋转前后所有的图形共同组成的图案是 。拓展1：将正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为 。拓展2：将边长为8的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形顶点A所经过的路线长为 拓展3:如图，王虎使一长为4cm，宽3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为 。_A2_A1_A教学中教师重视引导学生发现问题、提出问题,善于激发学生的学习兴趣，让每个学生积极参与到“探究、尝试”的过程中来，从而发挥他们的想象力，挖掘出他们创新的潜能。二、轴对称变换中开放性问题的探究与思考训练学生严密的逻辑推理能力，选择判断能力如图，某地要在公路边增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩出马，先到河边饮水，再回到帐篷，请你帮助确定最短路线拓展：增加条件先到草地某处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮助确定最短路线三、平移变换中开放性问题的探究与思考四、相似变换中探索性题目的探究与思考我们可以改造课本上一些常规性题目，打破模式化，使学生不仅仅是简单的模仿。培养思维的严密性。例1：P是RtABC斜边AB上任意一点（A、B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与RtABC相似，这样的直线可以作几条？（3条）拓展1：在ABC中，ABBCAC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有几条? （4条）拓展2：已知ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与A，C不重合），过P点作直线l，使直线l截ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有几条? 答案：3条或2条。如图， ABP1=C，ABP2=A，当点P位于点A至P1之间（包括点R）时，满足条件的直线共3条；当点P位于P1至P2之间（不包括P1，P2）时，满足条件的直线共有2条 五、图形变换与坐标的巧妙结合开放性问题能够诱发学生的灵感。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。灵感是一种直觉思维，是由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路，是认识上质的飞跃。灵感的发生往往伴随着突破和创新。例：ABC中，C=90，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为 问题解析：取AC中点M，连结OM、BM、OB，OM=AC=1,BM=。OBM中OM+BMOB,当OM+BM=OB =时OB最大。 开放式同步训练：（09潍坊17）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴y轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 。 本题是一道新颖的实验探究题，看似平淡深入其中却别有洞天，从学生熟悉的数学经验图形与坐标入手展开探索，进入思考情境，是一道考查学生发散性思维的好题。在解题过程中综合运用了动静转化思想、数形结合思想、函数思想，知识覆盖面大，重点考察了学生综合应用知识的能力，有一定的难度和梯度。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。六、在解决开放性问题的过程中提高探索性思维能力学生的探索性思维能力是在实践和训练中发展的，可以通过经常性的数学思维训练得以改善和提高。解题是提高学生探索性思维能力的主要途径之一。可以从以下方面入手：1.在例题讲解中展示思维的过程。教师要充分揭示问题解决的思路、探索过程，注意思路方法的提炼。有意识将自己的思维过程明明白白的展示给学生。2.鼓励学生主动参与。只有通过学生在已有知识经验基础上的主动建构才能真正掌握，教师在解题教学中创造条件与机会，让学生亲自体验问题的发现、探索、讨论、求解过程，3.解题回顾与反思引导学生对解题过程进行回顾、分析、总结、评价，归纳解题方法，并提高到方法的高度，领会思想方法的深刻内涵，提高探索性思维能力。帮助学生树立正确的解题观，帮助学生理解解题回顾的重要意义。解题后的反思与回顾，是探究活动的开始而不是结束。只有通过回顾，才能形成解题策略，理解问题的本质，使问题的解法迁移到类似的问题情境之中。数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性，数学语言的特殊性，使人不可能直接把握数学活动的本质，只有通过反复思考深入研究，才能洞察数学活动的本质。编制数学开放题，提高学生运用的能力，要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充。用于研究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题。编制的开放题应具有鲜明的数学特色，帮助解题者理解什么是数学，为什么要学习数学，以及怎样学习数学。教师通过开放题目的引进，让学生积极参与解决，在解题过程中充分体现学生的主体地位。学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。比如：把条件、结论完整的题目改造成只给出条件，先猜结论，再进行证明；或给出多个条件，首先需要收集、整理、筛选以后才能求解或证明，打破条件规范