数学资优营基本不等式讲义 2006-02-12(黄文达).doc

資優數學研習營基本不等式講義 2006/02/12 師大數學系教授 黃文達定義：基本性質：（1）封閉性： （2）正定性：基本技巧：解題策略1. 配方例1、函數的最小值為 。解：練習：設為三角形三內角，對於任意實數x,y,z，求證：2. 化歸例2、若，則 的最小值為 。ANS：1例3、若，則 的最大值為 。ANS：x=時 的最大值為例4、設x,y均為實數，且滿足，則 的最大值為 ，最小值為 。提示：令x=u+v, y=u-v，則因此 的最大值為 ，最小值為 。例5、設x,y均為實數，且滿足，則 的最大值為 ，最小值為 。提示：令，則 因此 的最大值為 ，最小值為3.三角換元例6、函數的最大值為 、最小值為 。提示：令例7、已知x, y, a, b均為正實數，且，則x+y的最小值為 。解：設則 4、數形結合例1、函數的最小值為 。提示：設例2、實數x,y滿足方程，則2x-y的最大值為 ，最小值為 。提示：直線2x-yb與圓有公共點，圓心到直線的距離小於半徑，則例3、若，則u的最小值為 。提示：設2x+y=1+t，則直線2x+y=1+t 與圓有公共點則 思考題：1.若，則不等式 的解為 。 提示：設 為雙曲線的上半部，直線y=ax的斜率a-1，直線y=ax介於y=-x與y=0之間，故x0時的解為x1，x0時的解為x-12.複數z滿足，則的取值範圍為 。提示： 此時點z的圖形是一段圓弧，以線段，B(1,0)為弦，圓周角為，依圖可解出的取值範圍為3.已知均為銳角，且滿足，則 的最大值為 。提示：視為向量a,b,c的方向角，則 例4. 設x,y,z都是正實數，求證： 提示：練習：1.（86年度全國能力競賽）設x,y,z為正整數 試證 2.求函數的最小值例5. 對於滿足1rst4 的一切實數r,s,t ，求 的最小值提示：表示點（1,1）到雙曲線xy=s 的距離， 表示點（1,1）到雙曲線xy= 的距離例6、函數的最大值為 ，最小值為 。提示：表示點（-2,-1）到單位圓上的點(cosx, sinx)的連線段斜率，故最大值為，最小值為05.算幾不等式例1、已知x,y,z均為正實數，且，則的最小值為 。解：利用算數平均數大於調和平均數知 例2、已知x,y,z均為正實數，則的最大值為 。解：例3: 設a,b,c都是正數證明 abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 若a+b-c,b+c-a,c+a-b中有負數設a+b-ca+bb+c-a, c+a-b均為正數結論中左式為正右式為負顯然成立。 若a+b-c,b+c-a,c+a-b均為非負由平均不等式知將上述三式相乘即得。例4、設a, b, c為正實數滿足. 證明 : . 解：因為,可令, , , 其中x, y, z 為正數。原不等式可改寫為由x, y, z 這三個數的大小關係，易知, , 這三個數之中至多有一個數為負。Case 1.若u, v, w 這三個數中恰有一數為負，則. Case 2.不妨設, , . 由算幾不等式可得.同理可得，, ; 因此.例5 將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形，試求此梯形的最大面積解：設底角為t 則等腰梯形的面積為 A=accost + a a sint=a2sint(1+cost) 則 故得最大面積為 例6：設，試求+ 的最小值。解：故 且等號成立練習、設x為銳角，則的最小值為 。提示：等號成立的條件為6. 柯西不等式例1、設實數m,n,x,y滿足，則mx+ny的最大值為 ，最小值為 。解：故知mx+ny的最大值為 ，最小值為 - 例2、設實數x,y滿足，則2x-3y的最大值為 ，最小值為 。解：例3、若a,b均為實數且滿足，則之值為 。解：例4、當點P沿著直線移動，點Q在橢圓運動時，線段PQ的長度最小為 。解：橢圓上的點(x,y)到直線的距離為因 故線段PQ的長度最小為例5、在對角線長為3的長方體中，對角線在相鄰三個平面上的射影長的和最大為多少？解：設長方體的長寬高分別為a,b,c,則，對角線在相鄰三個平面上的射影長的和為 最大值為加油！ 1.不等式的基本性质: 性质1:如果ab,bc,那么ac(不等式的传递性). 性质2:如果ab,那么a+cb+c(不等式的可加性). 性质3:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,cd,那么a+cb+d. 性质5:如果ab0,cd0,那么acbd. 性质6:如果ab0,nN,n1,那么anbn,且. 例1:判断下列命题的真假,并说明理由. 若ab,c=d,则ac2bd2;(假) 若,则ab;(真) 若ab且abb;(真) 若|a|b2;(充要条件) 命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,bR且ab,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.() 说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备. 例4:设ab,n是偶数且nN*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是ab,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为ab,可由三种情况(1)ab0;(2)a0b;(3)0ab.由此得到总有an+bnan-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想. 练习: 1.若a0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.() 2.若a0,b0且ab,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.() 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若ab,则a2b2;(假) (2)若ab,则a3b3;(真) (3)若ab,则ac2bc2;(假) (4)若,则ab;(真) 若ab,cd,则a-db-c.(真).1:如果A,BR,那么A的平方+B的平方2AB (当且仅当A=B时等号成立)2:定理:如果A,B是正数,那么(A+B)/2AB (当且仅当A=B时等号成立)3:当A0,B0,C0时 A+B+C3倍的3次根号下ABC A的3次方+B的3次方+C的3次方3ABC4:(A+B)/2整体的平方AB5:(A的平方+B的平方)/2AB6:A0,B0,且A+B为一定值,则AB(A+B)/2整体的平方由于本人电脑技术有限,以上语言中一部分数学符号只能用语言来表示,望见谅a,b,c，a1,a2,.,an0 (a+b)/2ab a2+b22ab (a+b+c)/3(abc)(1/3) a3+b3+c33abc (a1+a2+an)/n(a1a2an)(1/n) 2/(1/a+1/b)ab(a+b)/2(a2+b2)/2 n/(1/a1+1/a2+1/an)(a1a2an)(1/n)(a1+a2+an)(a12+a22+an2)/n |x1|-|x2|x1+x2|x1|+|x2| |x1|-|x2|-|xn|x1+x2+xn|x1|+|x2|+|xn| 把那几个常用公式记的很牢很牢的,随便问你一下,你就能马上把公式反应在大脑里,这是基础要求.其次是要融会贯通,有些变形的式子,你也要能一眼看穿它的本质.然后就是分清楚什么是排列,什么是组合,这个需要你知道很顺序有没有关系.跟顺序有关的是排列,无关的是组合.这是解题的时候第一步就要知道的东西,一道题目是排列问题,或者是组合问题,或者两者都有,是你看到题目后首先想到需要明确的,知道了这,你才能不会在答题的时候出现与答题点相悖的情况.最后就是需要你列式解答了,这个过程中你需要知道的是题目中的哪些信息有用,哪些是迷惑你的信息. 二项式定理就是要背公式,然后要有整体的观点,也就是说,有的式子很复杂,但是你要是能把那些复杂的式子看作一个整体的话,就会发现是那么简单,然后就可以很好的解题了.有的时候,运用公式的条件不具备,那么你就想个办法,做个等量代换,比如乘以一个数,再除以一个数,这样,在括号里的式子就能使用公式了.然后计算出来以后再化简,就能得到你需要的结果. 以上是我个人的学习心得,不知道对你有没有用,不过方法你可以试试.最关键的还是要记住公式,然后有针对性的多看例题,多做跟例题相关的习题,这样,就一定能学好排列组合和二项式定理.因为数学就是一个悟跟练的过程,祝你好运.还有啥问题可以继续贴出,希望我能帮你解决!常用的不等式的基本性质：ab,bc = ac;ab = a+cb+c;ab,c0 = acbc;ab,cacb0,cd0 = acbd;ab,ab0 = 1/ab0 = anbn; 基本不等式：根号(ab)(a+b)/2那么可以变为 a2-2ab+b2 0 a2+b2 2ab 扩展：若有y=x1*x2*x3.Xn 且x1+x2+x3+.+Xn=常数P,则Y的最小值为(x1+x2+x3+.+Xn)/n)n有两条哦！ 一个是| |a|-|b| |a-b|a|+|b| 另一个是| |a|-|b| |a+b|a|+|b| 证明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。柯西不等式：设a1,a2,an,b1,b2bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+anbn)2(a12+a22+an2)*(b1