平面区域划分的探究.doc

平面区域划分的探究江都市职教集团 金小奎一.引题 如图,一条直线3x+2y-4=0将整个平面分成三部分,一个是直线本身,另一个是直线的右上部分,还有一个是直线的左下部分.而且容易判断,直线左下部分即为不等式3x+2y-40所表示的平面区域.也就是说再平面直角坐标系中,Ax+By+C0或者Ax+By+C0),也将整个平面分成三部分.一个圆本身,一个是圆的内部,还有一个是圆的外部.那是否也可以用一个不等式来表示圆的内部区域和外面区域呢? 我们不妨设点P(x0,y0)为圆内一点,则点P到圆心(a,b)的距离d小于半径r.即r,整理后可得(x0a)2+(y0b)2r2,同样若有点P(x0,y0)满足(x0a)2+(y0b)20)内部.同样容易推导出,圆的外部区域可以用不等式(xa)2+(yb)2r2来表示了.也就是说若点P(x0,y0)满足(x0a)2+(y0b)2r2,则点P(x0,y0)必在圆(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r0)外部. 三.类比拓展 和圆类似,椭圆 (ab0)也是一个封闭的图形,它同样将整个平面分成三部分.一个是椭圆本身,一个是椭圆的内部,还有一个就是椭圆的外面.那是否可以像圆一样用一个不等式来表示椭圆的内部和外部呢? 在这里我们先取椭圆内的一个特殊点,比如说椭圆的中心,也就是原点(0,0),将其代入中,得到1,可以猜测是不是满足b0)的点P(x0,y0)都在椭圆的内部呢? 我们来简单证明一下: (1)若a,则1,不符要求 (2)若=a,则=1, 1,不符要求. (3)若0)在椭圆上,则1, =1,由这两式可得,也就是 y1,也就是说点P(x0,y0)必定在(x0,y1),(x0,-y1)之间,可知P点必定在椭圆内部. 综上所述:点P(x0,y0)满足b0),则P点必定在椭圆=1(ab0)内部. 同样可以得到下列结论:点P(x0,y0)满足1(ab0),则P点必定在椭圆=1(ab0)外部 例:已知椭圆=1,直线(4k+3)x-(k+5)y-15k-7=0,求证:直线和椭圆必定有两个不同的交点. 分析:这类问题通常是两个方程联立为方程组,在证明方程组有两组不同的解来说明有两个不同格的交点,但利用上面的结论就可以很容易的解决问题.证明:直线(4k+3)x-(k+5)y-15k-7=0变形为 (4x-y-15)k+(3x-5y-7)=0 直线过定点(4,1)又因为0,b0)将平面分成了三类,一类是双曲线本身,一类是双曲线两分支中间的部分,还有一部分是双分支之外的一部分,我们也从双曲线两分支中间的部分中取一特殊点(0,0),可以看到1,同样可以猜测是不是满足0,b0)的点P(x0,y0)都在双曲线两分支之间呢.证明: (1)若a,由图容易知道点P必在双曲线两分支之间,此时1,则a,则必有两点(x0,y1),(x0,-y1)(y10)在双曲线上,则,也就是y1,也就是说点P(x0,y0)必定在(x0,y1)的上方或者(x0,-y1)的下方,也就是P点必定在双曲线两分支之间. (3)若=a,此时=1, 1成立的条件就是y00,即点P不是双曲线的两个顶点,此时点P也在双曲线两分支之间.综上所述:点P(x0,y0)满足0,b0),则点P必定在双曲线=1两分支之间 同样也容易得到下列结论:点P