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11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用一、空间曲线的切线与法平面1. 设空间曲线C的参数方程是（区间）.它们在区间I可导，且不同时为0）.取定，对应曲线C上一点任取改变量，使，对应曲线C上另一点 由空间解析几何知，过曲线C上两点割线方程是 或 当点沿曲线C无限趋近于点时，即，割线的极限位置就是曲线C上点的切线.于是，曲线C上点的切线方程是 切线的方向向量T称为曲线C在点的切向量. 一个平面通过空间曲线C上一点，且与过点的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一点，则向量与切线的切向量T垂直，即 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是 或 例1. 求螺旋线处的切线方程与法线方程.解： 切线方程是 即 法线方程是 2. 设三维欧氏空间的曲线C是由函数方程组，上所确定，即曲线C是这两个曲面的交线.在空间曲线C上任取一个定点，即与.设与对的偏导数在点P的邻域内都连续，且不同时为零，不防设.根据11.1定理4，在点某邻域，空间曲线C可表为 与 .于是，空间曲线C可表为以x为参数的参数方程 从而，空间曲线C在点P的切线向量是T，下面求.由隐函数的求导公式，有 解得 ， . 由切线方程的公式，三维欧氏空间曲线C在点的切线方程是 或 . （1）三维欧氏空间曲线C在点的法平面方程是 . （2）例2. 求曲线在点的切线方程与法平面方程.解： = =0 =6由公式（1）与（2），曲线在点的切线方程与法平面方程分别是 与 或 二、曲面的切平面与法线1. 设三维欧氏空间曲面S的方程是 （区域）由10.3定理3知，若二元函数在点可微，则曲面S上点的切平面方程是 即切平面的法向量是n.于是，法线方程是 2. 设曲面S的方程是 在曲面S上任取一点，即.若三元函数所有的偏导数在点M的邻域连续，且在点M不同时为零.设.根据11.1定理2，在点的某邻域，曲面S可表为 求曲面S上点的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量n.由隐函数求导数公式，有 解得 由切平面方程公式，曲面S上点的切平面方程是 或 （3） 曲面S上点的法线方程是 （4）例3. 求曲面上在点的切平面方程与法线方程.解： 于是，曲面在点的切平面方程与法线方程分别是 与 或 3. 设曲面S是参数方程（区域）.取定一点，对应曲面S上一点，即 若上述函数组的所有偏导数在点的邻域都连续，且不同时为0.不妨设.根据11.1定理3的推论，函数组在点邻域存在有连续偏导数的反函数组，.将它们代入之中，有 求曲面S上点的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量n. 由隐函数的求导法则（注意，z是x，y的函数，而x，y又是u，v的函数），有 解得 由切平面方程公式，曲面S在点的切平面方程是 或 （5） 曲面S在点的法线方程是 （6）例4. 求曲面在点对应曲面上的点的切平面
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