求最大公因数和最小公倍数的方法.doc

2013年明光市小学数学优秀教科研论文、教学案例评选活动 （教科研类）浅谈最小公倍数和最大公因数的教学明光市桥头镇司巷中心小学 黄海燕摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。所以这单元应该多用一到两课时。我在上这单元时，我是这么教学的：二、教学思路（一）用一课时复习相关的概念整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。如153=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。如：153=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说3是15的因数。掌握了倍数与因数的概念后，同学们就要能够正确地判断出谁能被谁整除，而这里能不能整除同学们不是一下都能很快判断出来的，这里要掌握质数（即素数）与合数的概念，还要能记住100以内所有的质数，掌握能被2、3、5整除的数的特征。质数：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。合数：一个数除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫作合数。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。（1） 能被2整除的数的特征是：末位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（2）能被3整除的数的特征是：这个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除。（3）能被5整除的数的特征是：这个数的末位上是0或5，这个数就能被5整除。这些概念环环紧扣，有一个环节掌握不好，都会直接影响到对下面的学习。于是我用了一节课的时间复习这些概念，这些内容看起来很多，但它都是学生以前学习过的知识，所以只要再次说一下学生便会很快地回忆起来。（二）用一课时教学求两个数的最大公因数我在求两个数的最大公因数和最小公倍数时，先把后面的“你知道吗”里最大公因数和最小公倍数的符号表示法及短除法穿插在前面讲解，并且加入了另外的方法，即求最大公因数时，我加入了单一列举法、小数缩小法、除法算式法、分解质因数法；在求最小公倍数时，我加入了大数翻倍法、分解质因数法、单一列举法；而书中的例题时，并没有把它当作重点来讲解，只是一带而过，因为书本上的那列举法虽然学生学生一看就懂，但是太繁琐。如，求18和32的最大公因数 先找出18和48这两个数的所有因数 ： 18的因数有：1、2、3、6、9、18 ；48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 ；再从这两个数的因数中找出两个数的公因数，18和48的公因数有：1、2、3、6 ； 最后从公因数中找出18和48的最大的公因数是6。你看只是求这18和48这两个数的最大公因数，学生就写了数字与汉字40多个字，要是再加上标点符号就有60多个字。多么繁琐！所以我在教学时，并不提倡学生用这种方法来求两个数的最大公因数和最小公倍数。我给学生讲解求最大公因数的方法是： 1、 判断是否存在特殊情况： （1）倍数关系的两个数，小数是这两个数的最大公因数，。（如；6和12的最大公因数是6）2）互质关系的两个数，最大公因数是。（如，5和7的最大公因数时1） 2、一般情况：求最大公因数的方法有：短除法、分解质因数法、除法算式法、小数缩小法、单列举法。 2 18 48 3 9 24 3 8短除号 短除法 ： 是18和48的公因数，用它分别除18、48，得到商分别是9，24； 是9与24的公因数，用它分别除9、24，得到的商分别是3，8。一直除到所得的商是互质数为止，最后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两数的最大公因数：（18，48）=23=6 分解质因数法：将这两数分别写成质因数相乘的形式，然后将这两数公有的质因数连乘起来，所得到的积就是这两数的最大公因数。18 =23348 =2222 318和48公有的一个因数3， 18和48公有的另一个公因数3（18，48）=23=9除法算式法： 用这两个数18和48同时除以公因数，除到最大公因数为止。（18，48）=618 481236 小数缩小法：把较小的数缩小（除以2开始）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。如：求18和48的最大公因数先用小数 182=9，9不是48的因数，183=6，6是48的因数，那么（18，48）=6单列举法：一般是看哪个数的因数少，就先找出哪个数的因数，再看这个数的因数中哪些也是另一个数的因数，即这两个数的公因数，再从它们的公因数中找出最大的一个，就是这两个数的最大的公因数。如，求18和27的最大公因数 先看18和27这两个数哪个因数少，这两个数除1和本身两个因数外，18=29=36，27=39所以27的因数少，（前面这些只要学生观察一下便可以看出，不用写出来。）因此先找出27的因数：1、3、9、27再看这些因数中哪些又是另一个数18的因数，即18和27的公因数；18与27的公因数是：1、3、9；最后从公因数中找出最大的一个，既（18，27）=9。（三）用一课时教学求两个数的最小公倍数的方法求两个数最小公倍数的方法是： 1、 判断是否存在特殊情况： （1）倍数关系的两个数，较大的数是这两个数的最小公倍数。（如：6和12最小公倍数是12）（2）互质关系的两个数，最小公倍数是它们的乘积。（如，3和7的最小公倍数是21） 2、一般情况：求两个数的最小公倍数有：短除法、分解质因数法、大数翻倍、短除法：用这两个数公有的因数去除，一直除到所得的商只有公因数1为此，然后把所取的除数，还有最后得到的商都连乘起来，所得到的结果就是这两个数的最小公倍数。如：求18和248的最小公倍数2 18 48 3 9 24 3 8所取的除数 最后所得的商（所得的两个商一定要是只有公因1）18，48=2338=144分解质因数法：把这两个合数分别写成质因数连乘的形式，然后把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得到的积就是它们的最小公倍数。如：求18和27的最小公倍数333318=2 27=3 18和27公有的一个因数18独有的因数27独有的因数 18和27公有的另一个因数把18和27公有的因数和各自独有的因数连乘起来，所得到的积就是18和27的就最小公倍数18，27=3323=54大数翻倍法：如，求18和27的最小公倍数 把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。 如，求18和27的最小公倍数。可以把27翻倍：272=54，54又是12的倍数，所以18，2754（四）练习一节课1、说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最大公因数和最小公倍数。（根据能被2、3、5整的数的特征，用2、3、5、7去试除）24和32 14和9 16和27 8和15 有公因数2 互质关系 互质关系 互质关系21和15 14和7 5和8 28和7有公因数3 倍数关系 互质关系 倍数关系用分解质因数法求：24和32最大公因数和最小公倍数24=222332=2222224，32=22234=9（24 ，32）=222=8最大公因数和最小公因倍数，可一次性求出存在特殊关系的直接写出它们的最大公因数和最小公倍数；互质关系的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；倍数关系的最大公因数是它们中的小数，最小公倍数是它们中的大数。一般关系的两个数就要思考用哪种方法来求其最大公因数和最小公倍数了。用短除法求 24和32最大公因数和最小公倍数2 24 32 2 12 162 6 8 3 4(24,32)=222=824,32=22234=9624和32的最大公因数和最小公因倍数，可一次性求出。小数缩小法求24和32的最大公因数242=12，12不是32的因数，243=8，8是32的因数，（24 ，36）=8只能求出最大公因数，最小公倍数却要另考虑单一例举法求24和32最大公因数24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、4、8也是32的因数，其中最大的是8；所以（24，32）=8只能求出最大公因数，最小公倍数却要另考虑大数翻倍法求24和32322=64，64不是24的因数，323=96，96是32的倍数24 ，32=96只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑单一例举法求24和32最小公倍数32的倍数有：32、64、96、128、160、192、224、256其中96、192也是24的因数，其中最小的是96；所以24，32=96只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑通过观察比较不难发现，当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。最大公因数与最小公倍数的应用1、兴趣小组有24个女生，32个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？想：小组的个数在24之内，并且小组的个数是24和32的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是24和32的最大公因数。（24，32）=8 248=3（人） 328=4（人）答：最多可以分成8组；每组最多有3个女生，4个男生。2. 有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？想：这包糖8个人正好分，10个人也正好分，说明这包糖的块数是8和10的公倍数，又问这包糖至少有多少块，所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。若是问这包糖有多少块？那只要是8和10的公倍数都符合要求，而8和10的公倍数有无数个，没有范围的。 8，10=40 答：这包糖至少有40块。3. 同学们参加文艺表演，人数在60