线性代数方程组的高斯消元法.ppt

3 7 线性方程组的高斯消元法 在第一章 我们讨论了方程的个数与未知量 的个数相等的方程组 而实际问题中 方程组的方程个数与未知量的个数不一定相等 下面我们将讨论一般线性方程组 n个未知量的线性方程组的一般形式为 其中 未知量 第i个方程第j个未知量xj的系数 常数项 全为0 齐次线性方程组 否则为非齐次线性方程组 上述线性方程组表示成矩阵形式为 系数矩阵 未知量列向量 常数项列向量 问题 1 方程组是否有解 2 如果有解 它有多少解 如何求出它的所有解 为增广矩阵 高斯消元法就是对方程组作初等变换 将其化成同解的阶梯形方程组 也就是对方程组的增广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵 再化为最简形 然后写出对应的解 例1 解线性方程组 解 初等行变换 例2 解线性方程组 解 初等行变换 可以看出 每给定x2一个值 唯一的求出x1 x3的一组值 而x2可取任意实数 所以方程组有无数解 方程组的所有解可表示为 例3 解线性方程组 解 初等行变换 以为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 0 1 这是一个矛盾方程 因此原方程组无解 综上所述 线性方程组的解有三种可能的情况 唯一解 无解 无穷多解 一般地 给出线性方程组Ax b 用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵 其中 与之对应的阶梯 形方程组为 3 21 方程组 3 21 和原方程组Ax b同解 对于方程组 3 21 的解分几种情况进行讨论 第一种 若dr 1 0且r n时 去掉 0 0 形式的 多余方程 方程组 3 21 具有形式 3 22 由可莱姆法则 方程组 3 22 有唯一解 即原方程组Ax b有唯一解 欲求此唯一解 可继续用初等行变换把阶梯形方程组 3 22 的增广矩阵化为行最简形矩阵 则Ax b的唯一解为 第二种情况 若dr 1 0 且r n时 由 3 20 对应的阶梯形方程组为 3 23 把方程组 2 23 的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后 可以得到 3 24 其中 是自由未知量 共有 n r 个 当这 n r 个自由未知量取不同的值时 就得到方程组Ax b不同的解 若令 其中 为任意实数 则方程组 Ax b有无穷多解 并称 3 24 为原方程组的通解 此种情况 对于方程组 3 22 显然有 n 于是我们得出结论 n 若 方程组Ax b有无穷多解 第三种情况 若dr 1 0 方程组 3 21 中出现矛 盾方程0 dr 1 此时方程组 3 21 无解 对于方程组 3 21 这时有 所以 有结论 若 方程组Ax b无解 反之亦然 总上 可得如下定理 定理 线性方程组有解的判定定理 线性方程组Ax b有解的充要条件是 当 n 时 方程组 有无穷多解 当 n时 方程组有唯 一解 当 无解 推论1 齐次线性方程组Ax 0一定有零解 如果R A n 则只有零解 它有非零解的充分必要条件是R A n 推论2 若齐次线性方程组Ax 0中方程的个 数小于未知量的个数 即m n 则它必有非零解 若m n 则它有非零解的充要条件是 A 0 例4 解齐次线性方程组 解 对系数矩阵施行初等行变换化为最简形 由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为 由此可得 x3 x4为自由未知量 可取任意实数 令x3 c1 x4 c2 写成向量形式为 例5 解齐次线性方程组 解 R A 2 R B 3 故方程组无解 例6 设有线性方程组 问 取何值时 此方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 并在有无穷多解时求其通解 解 1 当 0且 3时 R A R B 3 有唯一解 2 当 0时 R A 1 R B 2 方程组无解 3 当 3时 R A R B 2 3 有无穷多解 当 3时 由此可得通解 x3为自由未知量 注 1 3等因子可以等于0 故不宜做诸如 这样的 变换 如果作了这种变换 则需对 1 0 或 3 0 的情形另作讨论 令x3 c c为任意实数 得通解的向量形式为 小结 高斯消元法 对线性方程组 的增广矩阵 作初等行变换 化为阶梯 形矩阵 然后判断 1 若 方程组 有唯一解 继续把阶梯形矩阵化为最简形求出其解 2 若 n 方程组 有无穷多解 把阶梯形化为最简形 有n r个自由未知量 求出其通解 1 非齐次线性方程组 3 若 方程组无解 2 齐次线性方程组 1 一定有零解 若R A n 只有零解 2 有非零解的充要条件是