多库存地点和多需求源系统下的需求分配(英文翻译).doc

多库存地点和多需求源系统下的需求分配摘要我们考虑源于多库存地点中多需求源的分配需求问题。根据独立的泊松过程，每个需求源的需求都是动态的。满足每个订单的成本取决于订单来源和它的履行地点。所有地点的库存是由共用的有限生产能力和随机生产时间的生产设施来补充的。因此，供应交货时间是由负荷来定的，并受生产设施的忙碌情况影响。我们的目标是在每个地点确定一个最佳需求分配和最佳库存水平，以便运输量、库存和缺货成本之和达到最小。我们用一个非线性优化问题来阐述这个问题，并指出这个优化分配政策的结构的特点。我们表明，最优需求分配总是离散的，而且每个需求源总是由一个单独的库存地点完全满足。我们使用这个离散属性来将这些问题再表述为一个混合整数线性规划，并提供一个精确的解决方法。我们表明，这个离散属性可以应用到其它供应流程形式的系统中。然而，我们也表示，供应系统是为了那些不具有这属性的系统而存在的。利用数值结果，我们检查了不同参数的影响，并提供了一些管理见解。关键字：产品库存系统；最优需求分配；备货型生产队列；设施选址1. 引言全球制造企业经常面临在只有成本低的地点中巩固制造经营的需求。然而，为了有效地服务客户，他们必须也维持多个分配中心，以满足不同市场的需求。这些分配中心的大小和地点取决于他们服务于什么市场，以及在具体地点运营一个中心的成本。对这些公司而言，一个重要的权衡是在运输和库存成本之间的一点。经营少量分配中心使一个公司可以在少量地点里集中库存，从而降低需求波动的风险。另一方面，经营多个分配中心，使每个市场由最近的可能地点来服务，可从而降低运输成本。当分配中心间的转运是不可行或不允许的，及每个市场的需求充满变数时，这个权衡点就特别重要了。在这篇论文中，我们考虑了一个公司应该如何从多个库存地点（分配中心）中的多个需求源（市场）对单一产品分配需求的问题。每个需求源的需求一直在两个单独订单的随机间隔时间之外发生。满足每个订单的成本取决于订单来源和它的履行地点。像运输成本，尽管它也许与其他原产地敏感或目的地敏感成本相符。每个地点可以储存预期的未来需求的货物。然而，这引起了每单位时间下每单位库存的持有成本，持有成本也许会随地点而变化。如果一个订单不能被所分配地点的库存立即满足，就会延期交货，但是这会导致每单位延迟时间的缺货成本。所有地点都是由一个有限生产率和随机生产时间的生产设施来供应的。所以，从生产设施到库存地点的供应交货时间是随机的，并被设施的忙碌情况影响。每个地点的库存都是由一个有随机基本存货水平的基本存货法来管理的。目标是确定（1）从每个需求源向每个仓库分配的需求比例，和（2）每个仓库保持的库存水平，如此，运输、库存持有量和需求缺货成本之和可达到最小。注意，需求分配和库存控制问题必须一起解决，因为最优基本存货水平的选择受到需求分配的影响，反之亦然。最优解决办法涉及到两个权衡点的平衡。第一个偏向于从每个需求源到有最低运输成本的仓库分配需求。第二个偏向于在尽可能少的仓库中固定需求的满足量，以便在集中库存中获利（通过在少量地点里集中库存，缺货的概率可以在不增加库存投资的情况下降低）。这两个权衡的相关强项很大程度上取决于单位运输量、持有量和缺货成本的价值。比如，如果持有成本是可忽略的，大量库存可以保存在每个地点中，并且可以根据需求源的最低运输成本来优化每个需求源到地点的需求分配。另一方面，如果运输成本是可忽略的，或对所有地点都是相同的，如此优化仓库只会取决于缺货及持有成本（如果缺货成本在各地点间都相同，最优策略是根据最低持有成本对这些地点分配全部需求。）在这两个极端之间，在每个地点应分配多少需求、或应持有多少库存是模糊的。对于这样的情况，由最近库存地点满足每个需求源是不可取的，同样集中所有库存于一个单独地点也不可取。每个需求源的需求是否应该彻底分配给一个单独地点、或者由多个地点分割也是模糊的。除了以上运输和库存成本的直接影响，及生产设施忙碌导致的直接影响都扮演了同样重要的角色。在生产设施利用率高的系统中，忙碌率也很高，供应交货时间长。所以，不同地点的库存的需求的增长，增加了集中库存的可取之处。相反，当生产设施的利用率低时，供应交货时间短，对库存有较少需求，降低了集中库存的收益，并增加了使用最近地点的可取性。多种需求分配和库存控制问题出现在各种各样的环境。如前文提到的，问题主要是很多制造业的公司，依据多种产地的需求来管理库存。在这样环境下的企业中，很多厂商生产多种类型的同一组件用于不同产品，同时这些厂商成为了其他相关企业的潜在替代者Thonemann and Brandeau 2000)。尽管这一问题很普遍，但是在现有背景下，这一问题没有在文章中被充分体现出来。有很多文章运用大量篇幅讨论联合设施选址和配送问题(see, for example, Cornujols et al. 1990, Labb and Louveaux 1997, Sherali et al.2002, Daskin et al. 2005)。然而，很多文献都关注的是在确定需求和容量下的系统运输成本。 Shen et al.(2003) do consider a location model with inventory considerations. Shen et al.(2003)建立了一个基于存活补偿的选址模型。但是在这篇文章的模型中，供应预定时间是常数，对于同一产品源在多个仓库产生快速需求这种情况是不允许出现的。有很多文章研究集中库存(see the seminal paper by Eppen 1979 and recent papers by Gerchak and He 2003 and Benjaafar et al. 2005)。这篇文章主要是关于，通过承担极少量的运输成本，来实现量化集中库存的收益效果。还有一些相关文献是关于产品元件通用性和替代性的研究（ Gerchak and Henig (1989), Bassok et al. (1999), van Mieghem and Rudi (2002), and Netessine et al. (2002)）。还有很多文献讨论单一时间段的问题，每个元件的生产水平由实际需求决定。一旦不规则的需求出现，通过提前原有的配送时间或工作任务的再分配进行解决。Benjaafar et al. (2004)探讨了一个很本文很相似的对于多种产品和多种设施选址的问题。但是，在他们的研究中，对于每种产品的需求是来自于单一生产源的。因此，他们的模型未包含我们文献中所研究的多生产源的交货成本的问题。最后，有一篇文献在排队论方面，来讨论在多个供货商的前提下的需求配送，来达到最小延迟时间或最低延迟成本的问题（一个单纯的排队论被看做是一个排队系统，不包含未来生产需求的预测）。这篇文章中包含Bell and Stidham (1983), Tang and van Vliet (1994),Liu and Righter (1998), Benjaafar and Gupta (1999)作为参考文献。一些很重要的例子来源于Buzacott and Shanthikumar (1993)。与这篇文献紧密相关的问题是：在配送信息系统的设计中的运输容量问题。这篇文献的主题被以下学者深入研Wang and Morris (1985), Ni and Hwang (1985)。在6.4中，我们更多地研究基于排队论的最佳配送结构。目前的现有研究中，我们是第一个研究多种需求配送，基于连续时间的生产系统控制、多种需求源、多种库存位置和系统的生产能力 。首先，我们研究了泊松分布的产品需求和指数分布的配送产品次数。我们提供了一个模型和一个确切的求解程序对于决定多种需求的配送和最佳基础库存水平。我们描述了最佳配送方式结构特征，结果显示最佳配送方式的结构特征是离散的，这样才能保证总是能够最好地满足针对各个单独的配送中心的各种需求。我们将我们的分析扩展到其他形式的配送过程，显示这一离散的特性在其他领域也有发生，但是并不是在所有情况下都发生。确实，快速需求能够被满足的配送系统是存在的。由具体的数据显示，不同成本参数对最佳配送和内部安排有显著影响。本文的结构如下：在第2部分，我们构造问题模型； 在第3部分，我们提出了最佳配送结构的特征并利用这些特征来求解问题模型；第4部分，我们提供了一些基于数据得出的结论；在第5、6、7章，我们分别深入研究了：固定选址成本系统，其他供应流程选择和扩展到常规需求处理；在第8部分，我们进行了全文的总结。2. 模型建立我们考虑的系统由单一产品组成，m个仓库，n个需求源，和单一生产企业。来自于需求i(i=1,m)的生产需求，服从连续发生系数为的泊松分布。成本来自于i在j处得库存成本(j=1,m)。这一成本包含:从库存j配c送到需求i和从生产设施到仓库j的运输成本。每个地点都可以进行需求预测。但是，存在一个在库存地点j的单位时间内，有一个单位成本。如果出现延期交货，延期交货的单位时间成本是。无论是库存还是延迟交货，都是从一个地点到另一个地点的转运，所以我们有：，所以和。在每一个存货仓库的补货是由单一的生产企业来完成，来自于不同的生厂商仓库。不同仓库的订货次序在那些没有自己存货的生产企业是列队进行的，按照先来先得（FCFS）的基本原则。每一个仓库的存货管理采用“基础存货”的政策，基础存货的水平为在仓库j.这表示当一个配送抵达订单的目标客户时，将会触发一个补充订货的生产设施。在每一个生产地点的生产次数以指数方式表示1/，为了稳定，我们设。因为，生产系统的行为像一个M/M/1序列(一个在第6部分讨论的供应程序选择的序列)。我们考虑两种类型的决策：(1)一个小数表示从生产源i到仓库j的配送分配量，(2)表示“基本存货”水平在每一个仓库j。可以被看做表示从生产源i像仓库j配送发生的概率。在实际中，一个真实的配送发生概率是不容易预测的。因此，一个近似的信息中心是有必要的，用来了解当地的订货率，或者像在模型的环境中一样每一个生产源服务大量的客户。例如，一个配送中心可能需要负责满足大量零售商的全部需求。在这个例子中，变量需要与客户（零售商）的从i到j的配送需求相一致(作为一个实施，一个拒不配送从来没有达到最佳，并且最佳的配送总是离散的，在第3部分中)。首先，我们假设(除非特殊声明)成产序列是基于FCFS原则的。这一假设广泛适用于FCFS政策的实现，它易于实施、体现公平性和易于分析描述一个系统中，多种仓库选址的最佳决策和成本参数选择是一个困难的有待解决的问题（在Vricourt et al. (2000)引用）。这一问题可以建模MDP(马科夫决策模型)，并用数字求解。但是，这一解法适用于在小规模的系统(例如两个仓库地点选择)问题可以解决，并且问题与生产产量有较低的相关性。然而，事实证明FCFS和选择优先客户进行服务的成本差别在增加，但是当使用量很大这种成本差别就会变得小小到可以忽略(see Zheng and Zipkin 1990, Zipkin 1995, van Houtum et al. 1997)。分配静态的不同位置的优先权为先来先服务政策提供一个选择的余地。但是，在不对称的运输信息、延迟订货和仓库成本都不清楚的情况下，确定静态的优先权是困难的。此外，静态的优先权很难衡量其价值，有时它的效率比FCFS政策要低（de Vricourt et al. (2000) and Veatch and Wein (1996)）。第二，我们假设从一个仓库到另一个仓库的转运是不允许的。因此，在我们的模型中我们认为在两个仓库之间的转运成本很高或是不可能的。这在现实中是不多见的。例如，一个生产企业在香港，但是企业的每一个配送中心之间离的很远在台北、东京、北京和曼谷。在这种情况下，直接改变配送顺序而不会选择转运。很多公司也没有物流信息系统和基础设施来处理转运。在本文的分析中，包含转运将会增加问题的复杂性。事实上，结构的最优策略中是否存在转运是未知的。我们应该标记，不包括转运在使初步的需求分配符合正规的配送模型理论，加入转运将对库存产生影响。最后，我们假设“基础存货”在每一个仓库中都应用。基础库存政策是合理的已经形成了惯例，当订货顺序是无意义的或者当高频率的生产厂家配送到仓库时。我们的目标是寻找一个配送矩阵和一个基本库存水平的变量来最小化长期运行期望总成本在整个配送过程中。根据以上两个变量，配送总成本的表达式如下：表示库存，表示基础存货水平，分别在仓库j(和分别出自变量和s)。我们指出上面的问题作为基于库存需求配送问题(DAP-D)。假设一个库存分配矩阵和一个基础库存量s，期望库存和缺货水平可以通过如下模型获得(see, for example, Buzacott and Shanthikumar 1993, pp. 133134)：其中其中针对全部需求率在仓库j安排和 针对全部的需求流量来自所有的生产源。多种配送需求和存货控制问题能够用以下模型表达出来。给出一个配送矩阵，z(,s)与凸面相关，z是没有脱离于存在的。在每一个仓库j的最佳基本库存水平，以最小为目标时，受到以下约束：其中是在第j个单元m程度下的方向向量，导出：其中表示最大值为并且。为了简化分析，我们放宽了对于的完整性要求，令。这一完整性的放宽（是它偏小）将会引入大量的偏差，尤其是当值较大的时候。是指生产设施的利用率，其中和(see Appendix 1 for further supporting arguments)。指出放松基础库存水平是有据可循的(Zipkin 2000)，并且还在备货型生产队列理论里进行了分析(Buzacott and Shantikumar 1993, Wein 1992, Zipkin 1995)。替换用其目标函数，我们重新列出配送矩阵如下：因此，DAP-D问题可以被简化为寻找最佳的配送矩阵，但是问题是在公式(11)中没有和变量的决策联系起来。这使得DAP-D问题很难被直接解决。在下一部分里，我们将求解一个有特殊结构的最佳配送量，我们可以利用这种结构建设一个有效解决步骤。集体地说，我们证明最佳的配送量总是离散的，最佳值对于总是在0到1之间。我们将会证明，这种离散性特征能够被用来将问题改变成为整数的线性的，使之能够被高效的解决。3.最佳配送量的结构令是库存成本函数，则在公式(11)中，我们可以得从其中我们可以看出是与配送量相关的，在j处得所有需求率。换而言之，如果需求率是两个不同的配送量和，那我们有在剩下的部分里，我们将重点阐述上述等式，通过将目标函数简化为。命题1.库存成本函数，在每一个仓库j在处得凹函数。因此，最佳需求配送量总是离散的，或1是对所有值i到j。证明过程如下：直接表明目标函数是严格的凹函数，通过其导数为负数得出。假设一个需求源k,在仓库集合s处有离散的需求。然后，总能实现一个较低的配送成本，通过满足一个的需求来自于仓库集合s。更明确地说，令u和w两个仓库是属于s的，和。同时令和，其中和分别代表分配给u和w仓库的需求量，来自于生产源k。代表在k处得需求，有u和w来满足，令是在函数中分配给仓库u的部分。对于在仓库u和w处的总成本我们设立目标函数，表达式如下：我们可以证明出在处是凹函数。所以，的最小值在=0处或者=1处取得。这意味着，将对生产厂商k的需求在仓库u和w之间分配，这两者总会有一个或者全部为降低总成本出力（注意，在u和w之间再分配需求，他们之间的成本是不会相互影响的）。在这个新的再分配中，我们引入一个很小的供给量s在对生产厂商k的需求中，但是我们得出的结论显示将需求配送合并成一个或者两个是最佳的办法。连续地应用这个程序都对配送就行研究，对所有需求来源产量进行一个分配，整个需求从每个生产源被指派一个仓库。比较一个不离散的配送需求在各个仓库，会发现一个离散的配送是需要较低成本的。因此，最佳配送量必须是离散的。命题1是一个全面的结果对于足够多(严格的凹的库存成本函数)的情况下,最佳配送量是离散的。这种情况适用于任何一种存货系统，对于适当的重定义的目标函数可以不考虑它的配送程序；以第6部分为例。注意，尽管严格限制的凹函数承认最佳配送量是离散的，但是这个离散的最佳配送量还是可以被优化的。在第6部分中，我们将明确离散的最佳配送量存在几个其他的情况。但是，我们也发现这一致结论也不总是正确的，在系统的供应程序需求快速被满足时。离散性能够用来将问题转化为整数优化问题。在附录2中，我们描述了这个优化模型和模型解法，这个问题能够被高效解决通过一个线性化程序和一个约束一代算法。我们提供了数字结果（附表3），说明解法的有效性。4.从数据中得出的一些结论在命题1中指出，对于面向多个仓库的离散需求，配送量从来未能达到最佳。这或许出人意料的，因为目标函数包含潜在的对抗影响的成本。例如，生产企业可以获得最低的运输成本，不同于最低的库存成本或者延迟订货成本。尽管，配送量经常是离散的，我们发现他们是明显分散的。我们根据以下材料分析，配送量可以是一个非最佳需求的状态，尽管这个最佳仓库可以提供最低的运输成本、库存成本和延迟订货成本。结论1.将配送需求在一个生产企业和一个仓库之间进行分配时的最佳状态是，配送的仓库需要满足最优的运输成本、库存成本和延迟订货成本。结论1能够用下面的例子证明。考虑一个系统有3个生产源和2个仓库基于以下运营参数：。首先，很容易证明生产源1总是由仓库1满足需求，生产源3 总是由仓库2满足。对于生产源2，希望仓库1用最佳配送量满足其需求，因为仓库1与此同时具有较低的运输成本、库存成本和生产延迟成本。然而，依据需求量，可以根据最佳满足需求的条件来选择仓库1或者仓库2。特别是当的值是在2.3,14.9区间内时，生产源2的最佳配送点是仓库2，否则，最佳配送点是仓库1。上面的例子说明了集中库存的细微的影响和需求对集中库存的敏感度。记录每一个需求率对每一个生产源的最佳配送的影响是不同的。在上述例子中，当很小时，最佳的配送方式是从生产源2到仓库1；当在适中范围时，在仓库2满足配送需求；当需求量足够高时，又恢复成使用仓库1配送最佳。这种行为是局部性的，因为事实上集中库存的优势将会逐渐缩小随着需求的增加和达到剩余库存的下限时。结论2. 当在一个或多个生产源的集中需求增长时，集中库存的优势会减弱。此外，在集中库存得到的主要效益是受到在这些生产源需求率增长限制的。为了说明上面的结论，我们认为系统有两个需求量为和水平，有两个仓库1号和2号。为了简化计算，令两个仓库的参数完全一致。用表示，当需求源1被仓库1满足，需求源2被仓库2满足时的成本差。的值在图表1中来自于不同的和值。我们能够看出呈现出缓慢的增长趋势，但是在固定的下缓慢增加是增长放缓。更显著的是，是有一定限度的，在增长接近可行性的最大值时。根据计算规则得出如下算是：除了受单个需求率的影响以外，集中库存（pooling）还对生产时间期望或者说生产设施的使用率方面是敏感的。我们发现，集中库存的收益是随着生产设备的使用率增长而增长的。这体现了直观的意义，因为较高的生产设备利用率，需要更少的生产设施和生产时间，更多的时间留给配送。所以，当使用率上升时，合并在很小的仓库的需求是合理的。这意味着，总是有配送需求的仓库的数目有减少的趋势。结论3.使用的仓库的数目通常随着生产设施的使用率增长而下降。结论3可以由图2的例子进行说明，根据生产时间要求的生产设备的使用率。我们可以看出，生产设备使用率水平对仓库使用数目有很多的影响。但是，在一个确定的水平以下时，当生产设备使用率对仓库使用数目是没有影响的。这是因为，集中库存的收益限制了生产 使用率的增加。在我们的分析中应该注意，我们对基础库存的存在忽略不计，我们期望的结果也不会改变。当使用率低时，主要成本是运输成本（因为库存水平很低）。因此，供给要就选择最近的仓库进行，因此需要使用大量的仓库。另一方面，当生产设备使用率不高的情况下，主要成本是库存成本。因此，库存成本变得重要起来，当使用较小数目的仓库满足需求时。另一个因素也影响集中库存的收益，包括：库存成本和延迟生产成本。在图3的例子中进行了说明，使用仓库数目的减少会伴随着库存成本的提高。由图2、图3的结果说明了，DAP-D问题的解法与单纯使用运输成本的解法是不同的。他们还研究了在运输、仓储成本与生产能力之间的关系，以及他们对最佳配送量的影响等复杂的相互作用。这引导我们得出我们最终的、最重要的结论。结论4.DAP-D问题的解答，对应的最佳成本，其中包含了生产能力和库存关联的成本，与其他那些模型中只计算运输成本是有很大区别的。5.固定仓库成本系统我们假设，对一个库存地点不存在固定的成本。当地点已经存在，并且关于需求分配只有一个经营决策时，这是合适的。然而，在设定我们必须在哪里决策是否要在每个地点投资时，一般有一个固定成本Kj将需求分配给一个具体地点j。为了将这样的成本包括在DAP-D公式内，我们需要引入一个新的决策变量yj，如果仓库j被分配给正的需求量，赋值为1，其它情况下赋值为0.接下来，原始需求分配问题可以由以下式子重计算。上面的问题概括了经典的无约束的选址问题，其中只考虑运输成本（我们的问题降低到一个纯选址问题，无论h = 0, b = 0还是= 0）。一个与第三章相似的分析可以用来表明，最优需求分配仍是离散的。因此，问题可以作为一个整数优化问题来解决。附录2中描述的方法也适用于这个情况，并产生一种有效的解决方法。在表4中提供了数值结果。注意，从质量上看，固定的仓库成本倾向于进一步利于汇集。所以，地点的最优数目会倾向于降低固定仓库成本的增长。6. 扩展到其它供应流程在这一章，我们将分析扩展到了替代供应流程的系统上。我们提出对每种情况的模型，并检查扩展到它们的情况，无论精确的还是近似的，离散的分配属性会一直存在。我们将目光聚焦在没有固定选址成本的原始问题上。然而，有固定选址成本的问题的所有结果仍然有效。6.1 一般生产时间分布系统在一些设置中，使用描述生产时间的指数分布来验证是困难的。在这些情况下，更合适的模型会允许生产时间有一个一般分布。这意味着，生产系统会表现得像一个M/G/1队列，而不是M/M/1队列。可惜的是，在一个M/G/1队列中分析描述队列长度的分布特点是困难的。M/G/1队列是获取预期库存和缺货水平所需要的。通常使用的选择方案是，通过一个匹配第一个时刻的几何分布来接近队列长度的分布（比如，见Buzacott 和Shantikumar 1993和Tijms 1995的辩论和讨论）。这得到了下面的对于期望库存和期望缺货水平的近似表达式。其中，和以及E(Q)表示了精确的期望M/G/1队列长度（队列方面的数字+服务方面的数字），S是表示生产时间的随机可变量；给出一个分配矩阵。每个地点的基本存货量水平j由下面的式子给出：将替代量代入目标函数，得到：地点j的库存成本贡献（持有成本和缺货成本之和）由下面的公式给出：公式可被验证为严格凹函数的。所以，最优需求分配是离散的，对i 和j的所有值， = 0或1.第2章描述的方法适于重计算与解决像MILP（混合整数线性规划）这样的问题。正如我们在等式（23）中看到的，库存成本是增长的，通过参数，在生产时间的变化中。随着变化率的增长，供应交货时间的平均值和方差都增加。因此，集中库存的收益趋向于随着变化率增长而增加。6.2 外生连续的供应交货时间系统代替通过共享设施来建模供应流程，（共享设施的供应交货时间取决于负荷），有时建立外生的补货时间模型是合适的。比如，可能有这种情况，生产设施和库存地点分属不同独立公司，由一个特定仓库贡献的负荷是与整个设施的负荷不十分相关的。当订单几乎瞬间被生产设施满足时（无论由于充足的容量还是库存），这也许也是合适的，但是从生产设施到库存地点的运输交货时间是重要的。进一步对于外生连续的供应交货时间的讨论可以在Zipkin (2000, pp. 273279)中找到。假设Lj为一个随机变量，表示地点j（j=1,2m）的外部连续供应交货时间。要获得预期库存和缺货水平的表达式，我们需要描述Qj的分布的特点，Qj现在解释为，在地点j的订购库存（也就是，放在地点j，但是还未被交付的订单总数）。可惜的是，获得Qj分布的封闭形式表达式一般是困难的。然而，在Lj是一个平均值为1/的指数分布的特定情况下，我们可以表示，Qj有几何分布，参数是对一个给出的分配矩阵和基本存货量向量s，预期库存和缺货水平由下面式子给出：与第2节和第3节描述的相似的进展可以用于公式中，解决需求分配问题。地点j的成本贡献可以由下面的式子表示：式子在上是严格凹函数。因此，最优需求分配仍是离散的，= 0 或1。对一般分布的供应交货时间，获取明确的Qj特点是困难的。但是，我们可以利用下面的，Qj、供应交货时间Lj的拉普拉斯变换，和fLj之间的关系（见Zipkin 2000第7章）：其中我们可以推导出Qj的平均值和方差，由和其中E(Lj)和Var(Lj)分别是Lj的平均值和方差，=1/ E(Lj)。如果我们通过适合平均值E（Qj）和方差Var（Qj）的正态分布来接近Qj的分布（见Zipkin 2000的第6、7章，关于正态分布对此的适合程度的大讨论，和对其它库存环境的讨论），然后，给出的分配矩阵和基础存货量矢量s的总体预期成本由下式得出：使用一阶最优性条件，我们可以表示出，每个地点j的最优基础存货水平由等式给出。其中，满足是标准正态分布的累计密度函数。将代入目标函数，可以得到：从中我们可以依次得到其中，是标准正态分布的概率密度函数。我们能很容易地检查到，在上是严格凹形的，因此，也如此。于是，这种情况下最优需求分配仍是离散的。6.3 供应交货时间的独立同分布系统在这一节，我们考虑另一个通用的供应流程模型，供应交货时间是外生的，而不是独立同分布的(i. i. d.)。这个模型和6.2节中的模型的主要不同之处是，在这里订单不是必需按设置的序列交付的，（也就是，在这种情况下，FCFS假设不再持有）。作为替代，供应交货时间是独立的。在需求依据泊松过程发生的系统中，可以表明，每个地点Qj，j = 1m, 的订单的库存也是服从泊松分布的。特别是，如果供应交货时间的期望是1/,则Qj 也是服从期望为/的泊松分布。由于获取利益的性能指标的封闭形式表达式是困难的，所以通过符合平均值和方差的正态分布来接近Qj的分布是少有的。当值很大时，这个近似法是很有效的。在正常的近似值下，一个类似于6.2节描述的分析导致下面的fj（）表达式：再次表明，fj（）在下是严格凹形的。因此，最优需求分配是离散的。6.4 独立容量生产设施系统 6.16.3节的结果可以引导我们相信，最优分配的离散性是普遍存在的。在这节中，我们表明这是正确的，在一些设定中，多地点中的相同需求源需求的分配比例可以是最优的。考虑与第2章相同的系统，除了替代一个不同地点共享的单独生产设施之外，每个地点有它自己独立的生产设施，这个地点的库存只由它补充。此外，每个设施j的生产时间服从平均值为1/的指数分布。因此，每个设施表现得像一个到达率为的M/M/1队列，并且，每个地点的预期库存和缺货水平由下式给出：其中，=/对应地点j的生产设施的利用率。地点j的最优基本存货水平由给出。代入目标函数，得出：地点j的存货成本贡献由给出，经检查，容易看出在上不是凹的，而是凸的。所以，最优需求分配不能保证就是离散的。实际上，构建一个最优分配比例的例子并不困难。这是直觉，因为每个设施的期望队列长度（并因此，预期供应交货时间）随凸函数增加，随着每个设施的工作量增加。需要平衡不同生产设施间的工作量，这样可以依次将需求分摊。结果在图4中说明，我们展示了在一个有两个地点和两个需求源的系统中，地点1的最优分配是如何被需求源1的需求率所影响的。不能持有库存（比如，h=）和运输成本不存在的特殊例子，由Bell 和 Stidham (1983)研究，他们提供了最优分配的封闭形式表达式。在这种情况下，在多个设施间分摊需求一般是最优的（比如，在相同设施的情况下，均摊需求是最优的）。7. 扩展到一般需求处理在6.1节中，用来模拟一般生产时间分布系统使用的接近法，原则上可以用来模拟需求量也是一般分布的系统，而不是仍然形成独立的重建过程。这会允许我们模拟生产设施为一个GI/G/1队列。然而，产生了两个困难，（1）重建过程的重叠并不是产生重建过程必需的，因此，生产设施的到达过程可能不是重建过程；（2）不知道在GI/G/1队列下期望队列长度的准确表达式。第一个困难可能通过近似叠加重建过程来处理，重建过程的方差系数是由两矩近似来获取的，见例，Albin (1984) 和 Whitt (19