第六讲基本图形与几何问题的计算与证明.doc

第六讲基本图形与几何问题的计算与证明平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的位置关系. 基本图形：指的是学习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形.每一个重要的基本图形常常具有相应的综合性，对应多个重要的知识点， 掌握基本图形有利于添加辅助线构造基本图形，有利于探求思路拓宽条件 例1 己知：如图，ABAE于点A，AED=120，EDC=30，求证：ABCD 解法1：如图(1)延长AE与CD相交于F ABAE于A， BAE=90 AED=EFD+D，AED=120，D=30 EFD=90 A+EFD=180 ABCD(同旁内角互补，两直线平行)解法2：又如图(2)延长BA、DE交于F ABAE于A FAE=90 AED= FAE+ F 又 AED=120 F=30 D=30 D=F ABCD(内错角相等，两直线平行)我们还可以这样来做： 解法 3： 作直线MN，分别与B交于A，与DC交于N 同(1)可证MAB=END， ABCD(同位角相等两直线平行) 例2 己知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，过D作直线DE平行于AC，又过B作直线BE平行于AD，两直线交于E，连结EC 求证：SDCE=SCAB 证明：连结 BD、AE ACDE， SDEC=SDEA ADBE， SDAE=SDAB DCAB， SDAB=SCAB SDCE=SCAB 这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加的三角形的面积，一定是相等的这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形式它对我们今后学习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意 例3 在ABC中，BE、CF分别是ABC，ACB的平分线，AGBE于G，AHICF于H，求证HGBC 分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内，有相交与平行两种，相交中的特例：当交角是90时，两直线垂直不相交则平行 题目中给了两个重要条件，一个是角平分线，一个是垂直当一个角被平分以后，有一条直线与角平分线垂直，这就形成了一个基本图形，也就是等腰三角形三线合一的基本图形根据三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到HGMN也就是HGBC 证明：延长AH、AG分别与BC交于M、N BE平分ABC，AGBE于G ABGNBG则AG=GN. 同理，AH=HM HG是AMN的中位线 HGMN，即HGBC 例4 已知：如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AD平分CAB，BDAD于D交BC于E求证：AE=2DB 证明：延长AC、BD交于F AD平分CAB， 1=2 ADBD于D， FDA=BDA=90 又AD=AD， ADFADB(ASA) BD=DF，即BF=2BD ACB=90，ADB=90CEA=DEB 1=3 在AEC和BFC中， 1=3， AC=BD ACB=BDE， AECBFC(ASA) AE=BF AE=2BD 例5 己知：如图，四边形ABCD中，ACB=ADB=90，M、N分别是AB和CD的中点，求证：MNCD证明：连结DM，CM ACB=ADB=90， AM=MB DM=AB，CM=AB DM=CM N 是 DC 中点， MNDC 例6 己知：如图，在RtABC中，A=90，D为BC中点，使EDF=90，求证：EF2 =BE2 +FC2 分析：这道题目要求证的是EF2=BE2+FC2，只有在直角三角形中，两条直角边的平方和才等于斜边的平方，所以要构造直角三角形 证明：延长ED到G，使ED=DG，连结FG D是BC中点，BD=DC， BDE=CDG， BDECDG ED=DG，BE=GC， B=DCG FDEG EF=FG A=90， B+ACB=90 ACB+DOG=90 在RtFGC中，由勾股定理，得 EF2 =CG2 +CF2 EF2 =BE2 +CF2 这道题启发我们，通过添加辅助线可以把相应的边和角转移到另一个地方去，把分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，把已知和未知连接起来，这就是添加辅助线的重要目的具体添加辅助线的方法就要根据题目的已知条件，结合所学的知识去分析、去构造 例7 (1)如图，ABC中，BD平分ABC，DEBC，求证：BED是等腰三角形 证明： BD平分ABC， 1=2 DEBC， 2=3 1=3 BE=DE 即 BED为等腰 (2)如图，ABC中，BI，CI分别平分ABC，ACB，DEBC，求证：DE=BD+EC 证明： BI平分ABC， 1=2 DEBC， 2=3 1=3， BD=DI 同理可证：CE=EI 又 DE=DI+EI DE=BD+EC. (3)如图，BG、CG分别平分ABC和ACF，DGBC，判断线段DB、EC与DE有怎样的数量关系?并说明理由 证明： BG、CG分别平分ABC、ACF， 1=2，3=4 DGBC， 2=5，4=GGE 1=5，3=OGE BD=DG，CE=EG DE=DG-EG=BD-CE， 即DE=BD-CE 例8 己如：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，CE=CB，EF上AC于E，交AB于F，求证：AE=EF=FB 证法1：连结CF ABCD是正方形， B=90，CAB=45 EFAC于E，CE=CB，CE=CF， RtCEFRtCBF EF=FB AFE=45 CAB=AFE AE=EF AE=EF=FB 证法 2：连结BE ABCD是正方形， CBA=90 EAB=45， 又EFAC于E， FEC=90 即CBA=FEC 又CE=CB 1=2 3=4 EF=FB 又EAF=EFA=45，AE=EF AE=EF=FB 例9 己知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，延长DE到F，使DF=BD 连结BF交CE于G，交CD于Q，试判断DG与QG相等吗?说明理由这道题可以通过计算来证明，但是在计算当中要把握住图形的两个特点： (1)把握等腰三角形顶角和底角之间的关系三角形底角=(180-顶角)； (2)第二个要把握三角形外角定理 解：BD是正方形ABCD的对角线， BDC=ADB=DBC=45 BD=DF DBF=F DBF+F=45，DBF=225 DQG=BDC+DBF=675 AD=DE，AD=DC， DC=DE，DCE=45 BDF=135，BGC=225， BC=CG DC=CG 在DCG中，CDG=675