同济五版线配套相似矩阵及对角化1.doc

课 题5.1向量的内积、长度及正交性教学内容内积定义及性质，正交向量组及正交矩阵，施密特正交化过程教学目标掌握向量内积的定义,会利用施密特正交化过程将向量正交化。教学重点利用施密特正交化过程将向量正交化教学难点利用施密特正交化过程将向量正交化双语教学内容、安排施密特Schimidt 内积scalar product 正交向量组orthogonal vectors series规范正交基normative orthogonal base 正交矩阵orthogonal matrix 正交变换orthogonal transformation教学手段、措施列举法，举例法教学内容备注 5.1向量的内积、长度及正交性一、 内积1、定义1 ： 设有n维列向量，令，称为向量与的内积。2、性质：当时，；当时，；施瓦茨不等式。二、向量的长度1、定义2：令称为n维向量x的长度（或范数）。注：（1）两 n 维向量的距离为 d , 则 （2）若两非零 n 维向量 x ,y 间夹角为 ，则定义。 2、性质：（i）非负性：；（ii）齐次性：（iii）三角不等式： 3、正交：定义3：当称向量 x 与 y 正交。注： （1）两非零向量正交的充要条件是 （2）若不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称其为正交向量组。 4、定理1：若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。证明: 设有使，以左乘上式两端，得，因，故，从而必有。类似可证。于是向量组线性无关。例1： 已知3维向量空间中两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交。解：记 ，应满足齐次线性方程，即，由，得，从而有基础解系。取即可。5、规范正交基定义4：设n维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基。例如 就是的一个规范正交基。注：向量在规范正交基中的坐标的计算公式：设是向量空间V的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由线性表示，该表示式为。为求其中的系数，可用左乘上式，有即 。6、把这个基规范正交化：设是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也就是找一组两两正交的单位向量，使与等价，这样一个问题，称为把这个基规范正交化。我们利用施密特（Schimidt）正交化过程把规范正交化：取此时两两正交，且与等价。然后，把它们单位化，即就是V的一个规范正交基，此过程称为施密特正交化过程。例2： 设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解：取再把它们单位化，取则即为所求。例3： 已知，求一组非零向量，使两两正交。解: 应满足方程，即，它的基础解系为，把基础解系正交化，即为所求，即取，其中，于是得三、正交矩阵:1、定义5: 若n 阶方阵A满足: （即），那么称A为正交矩阵，简称正交阵。注： （1）方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交。（2）上述结论对A的行向量也成立。（3）n阶正交阵A的n个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基。例如，下面的矩阵都是正交阵：B。例4： 验证矩阵是正交阵。证：P的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交阵。2、性质:（i）若A为正交阵，则也是正交阵，且；（ii）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵。3、正交变换：定义6：若P为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。例5: 设P为正交矩阵，且,计算。解：又，故取，于是，有所以 。内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有长度又叫范数（1）当=1时，称x为单位向量。若 x = 0 ,则