肾炎的诊断.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 三峡大学 参赛队员 (打印并签名) ：1.金培培 2008105325 机械 2.何卓丽 2008142201 理学院 3 肖汉骏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 7 月26 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）肾炎的诊断摘要本文研究的问题是通过检测人体内各种元素的含量，来诊断就诊人员是否患有肾炎。我们利用Excel软件对样本数据进行了统计分析，发现各元素的含量与是否患有肾炎之间有一定关联，属于线性回归问题。对于问题一，我们取1-15号、31-45号病例为样本，建立线性回归模型，以各元素的含量为自变量，是否患有肾炎为因变量，用表示，当时，表示患有肾炎；当时，表示健康。通过对模型不断进行优化，我们最终求得了拟合优度较高的模型： ，其中各项系数分别为： 0.97135，0.00287，-0.01047，-0.00846，-0.00065 ，-0.00132，0.00158，0.00042，0.00067，0.00002，-0.0000013，-0.0001，0.00000123。确诊病例时，将各元素的含量，输入到该模型中，求出对应的值，然后和1、0比较，若接近于1，则表示患有肾炎；接近于0，表示健康。对于问题二，我们利用问题一中建立的优化模型进行检验，将待诊断的30个病例中各元素的含量代入模型一中，计算出对应的值，然后和1、0进行比较，通过对数据分析处理：检验出61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、83、85、87号就诊人员患有肾炎；70、74、75、77、78、79、80、81、82、84、86、88、89、90号就诊人员是健康的。对于问题三，我们对模型一进行逐步回归分析，保留对因变量作用显著的自变量，剔除作用不显著的自变量，从而建立最优回归方程：而保留下来的那些自变量对应的指标，即是影响人们患肾炎的关键因素，通过剔除法，得出Fe元素，Ca元素，Cu元素，Mg元素为影响人体患病的主要因素。对于问题四，我们通过问题三得到的最优回归模型进行检验，将待诊断的30个病例中各元素的含量代入模型三中，计算出对应的值，然后和1、0进行比较，通过对数据分析处理：检验出61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、79、83、85、87号就诊人员患有肾炎；70、74、75、77、78、80、81、82、84、86、88、89、90号就诊人员是健康的。对于问题五，我们通过对问题二中所判定的结果与问题四中所判定的结果，进一步对比分析，问题二中所判定的结果与问题四中的判定结果对病例号为63、67、75、84、87的4名就诊人员所判定的结果有所不同。之所以会出现这种结果，我们认为由于每个人的体重不同，体内各种元素的含量也会有微小的差异，另外因为人体内各种元素的含量对身体是否健康都会存在一定的影响，只是有些元素的含量对一些疾病的影响较小，因此，我们认为模型一中的判别函数比模型三中的判别函数对判定的结果更为准确，但模型三中的判别函数需要化验出的人体内的元素含量的种类更少，更为简便，但正是这种简便导致的误判率也会升高。关键词：多元线性回归 最优化 逐步回归 显著性检验 1 问题重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表B.1是确诊病例的化验结果，其中130号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；3160号病例是已经确诊为健康人的结果。表B.2是就诊人员的化验结果。我们的问题是：1. 根据表B.1（见附录）中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。2. 按照1提出的方法，判断表B.2（见附录）中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。3. 能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。4. 根据3的结果，重复2的工作。5. 对2和4的结果作进一步的分析。 2 问题分析2.1问题一的分析 问题一要求我们提出简便的方法，判别就诊人员是患者还是健康人。我们根据所提供的已确诊的病例中分析得知，人体是否患病与人体内某些元素的含量呈相应的回归关系，我们猜想是否能通过样本中患病与元素含量的普遍关系来建立回归模型，由模型来判别病例。因此，我们先选取其中一部分数据进行研究，待建立模型后，将剩余的数据代入模型检验。2.2 问题二的分析 问题二要求我们利用问题一中提出的方法，对表B.2中的30个病例进行判别。我们分别将各元素的含量输入到在问题一建立的模型中，求出对应的值，然后和1、0进行比较，判别出那些是患者，哪些是健康人。2.3问题三的分析 问题三要求我们根据表B.1的数据特征，确定影响人们患病的主要因素，以便减少化验因素。我们通过对模型进行逐步回归分析，剔除模型中那些对因变量作用不显著的自变量，得到最优化模型，那些保留下来的自变量，即是影响人体患病的关键因素。2.4 问题四的分析 问题四要求我们利用问题三中得到的优化模型，即剔除掉那些非关键因素后的模型，再次，对表B.2中的30个病例进行判别. 我们分别将各元素的含量输入到在问题一建立的模型中，求出对应的值，然后和1、0进行比较，判别出那些是患者，哪些是健康人。2.5 问题五的分析 问题五要求对问题二、问题四得出的结果，进行比较分析，去掉非关键因素对判别结果是否有影响，我能否只检查其中的部分元素来判别病例，医生在诊断时，就不用全部化验那些指标，不仅可以减少工作量，而且工作效率也会得以提高。3 模型假设1. 假设问题中所提供的已确诊的60个病例，是从许多确诊的病例中随机抽取的，没有特殊的情况，属于一般规律。2. 假设是否患有肾炎只与题目中所给元素的含量有关，与人体内其他的元素的含量无关。3. 假设题目中所给的数据是真实可信的，且化验过程中没有出现错误。4. 假设题目中所给的样本只患肾炎或者是健康体，没有患其他的疾病。5. 假设各元素的含量对人体是否患有肾炎的影响是相互独立的。6. 误差项是一个服从正态分布的随机变量，相互独立且方差 都相同，即 4 符号说明: 分别表示人体内各元素的含量；： 表示患肾炎；表示健康；： 表示第个样本总体中各种元素含量的均值所组成的向量；： 表示线性回归方程的回归系数；： 方程的拟合优度。：表示总离差的平方和；：表示回归平方和：表示残差平方和；: 表示误判率;: 表示从总体中抽取的一个样本；： 显著性水平为和分子自由度、分母自由度的临界值；： 为在中的偏回归平方和5 模型的建立与求解5.1 问题一的建模与求解5.1.1 建立模型 （1）模型一 考虑一次线性回归模型，我们从总体中选取1-15号、31-45号病例作为研究样本，以人体内各元素的含量为自变量；人们是否患病为因变量。设多元线性回归模型的一般形式为： （1）其中：因变量，为7个对有显著影响的自变量，是8个待估参数，是随机误差项。对于 n 组实际观察数据，由（1）式得： （2） 根据（2）式多元线性回归模型可表示为： （3）模型的相应矩阵方程表示为： （4） 由（4）式解得： （5） 式中： 且 （6） 其中：当时，表示患有肾炎；当时，表示健康。我们将样本数据代入（5）式，利用MATLAB(求解源程序见附录)软件，求得各参数的线性回归系数分别为：则 =0.28427+0.0025+0.01623-0.0016-0.00034-0.00051-0.00011+0.00048 （7） （2）模型检验将检测样本的值代入（7）式判别出三十个样本的患病情况：病历号161718192021222324252627282930结果患病患病患病患病患病患病患病患病健康健康患病健康患病患病患病病历号464748495051525354555657585960结果健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康患病根据题目中所给的已知信息，16-30号全部患有肾炎，46-60号全部健康，由此可以看出，我们运用所求的判别函数所检验的结果与实际情况存在一定的误差，也就是说运用一次线性模型判定的结果存在一定的误判，其误判率大约为。对回归方程进行显著性的检验： （8） （9）则 （10）R接近于1，则他们相关。 提出假设：H0：b1=b2=bp=0 线性关系不显著H1：b1，b2，bp至少有一个不等于0计算检验统计量：， （11）代入数据得：= 0.807423142,则拒绝，说明它们之间线性关系显著。 （1）模型二考虑一次项和平方项线性回归模型，我们从总体中选取1-15号、31-45号病例作为研究样本，以人体内各元素的含量为自变量；人们是否患病为因变量。设多元线性回归模型的一般形式为：同模型一的解法，我们建立相应的方程和模型，我们将样本数据代入上式，利用MATLAB(求解源程序见附录)软件，求得各参数项的线性回归系数分别为： ，=-0.11451 0.013668 0.000996 -0.00411 -0.001140.000275 0.001488 0.000515 -3E-05 -6.4E-05 7.08E-06 2.22E-07 -2.4E-06 -9.2E-07 -3.1E-07（2） 模型检验将检测样本的值代入上式判别出三十个样本的患病情况：病历号161718192021222324252627282930结果患病患病健康健康健康健康患病健康健康患病患病健康患病患病健康病历号464748495051525354555657585960结果健康健康健康患病健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康根据题目中所给的已知信息，16-30号全部患有肾炎，46-60号全部健康，由此可以看出，我们运用所求的判别函数所检验的结果与实际情况存在一定的误差，也就是说运用一次线性模型判定的结果存在一定的误判，其误判率大约为。对回归方程进行显著性检验同模型一的解法，我们通过（8）、（9）、（10）、（11）式求得： R=0.9458,则拒绝，说明它们之间线性关系显著。 （1）模型三考虑一次项和交叉项线性回归模型，我们从总体中选取1-15号、31-45号病例作为研究样本，以人体内各元素的含量为自变量；人们是否患病为因变量。设多元线性回归模型的一般形式为：同模型一的解法，我们建立相应的方程和模型，将样本数据代入上式，利用MATLAB软件(求解源程序见附录)，求得各参数项的线性回归系数分别为： ，= 0 0.004103445 0 0 -0.000804527 0 0 0.002348295 2.74356E-05 0 -3.23978E-05 3.6141E-07 0.000103117 -2.10731E-05 -5.09736E-06 -8.3965E-05 0.000133371 9.00968E-06 -0.000119886 -0.000102386 3.20107E-05 -0.000109612 -2.20981E-05 6.60062E-05 0.000412344 -8.35286E-05 -1.88303E-05 -2.19429E-06 -7.5254E-05 3.59366E-05 -7.54485E-06 -1.27395E-05 9.14251E-07 0.000150155 -5.20629E-05 2.60449E-05（2） 模型检验将检测样本的值代入上式判别出三十个样本的患病情况：病历号161718192021222324252627282930结果患病健康健康健康患病患病患病健康健康患病患病健康患病健康健康病历号464748495051525354555657585960结果健康健康健康健康健康健康健康健康健康患病健康患病患病健康健康根据题目中所给的已知信息，16-30号全部患有肾炎，46-60号全部健康，由此可以看出，我们运用所求的判别函数所检验的结果与实际情况存在一定的误差，也就是说运用一次线性模型判定的结果存在一定的误判，其误判率大约为。对回归方程进行显著性检验由题意知，此时，分母自由度小于零，所以模型不成立。 （1）模型四综合以上模型，通过对三种模型结果的分析，我们发现一次项得到的结果检验最精确，但是拟合优度R较低，所以我们决定对第三个模型的平方项和交叉项进行取舍，通过试探法确定了平方项中Cu和Fe影响较为显著.为了验证各元素之间是否关联，我们利用Excel分析了各元素的含量，对是否患病有影响。通过他们的曲线图，发现K和Na， Cu和 Mg ，Ca和 Mg的关系相对密切，拟合优度R在0.5以上。我们最终得出最优模型：我们将样本数据代入上式，利用MATLAB（求解源程序见附录）软件，求得各参数项的线性回归系数分别为： ，= 0.971352 0.002872 -0.01047 -0.00846 -0.00065 -0.00132 0.001581 0.000416 0.000674 1.86E-05 -1.3E-06 -0.0001 1.23E-06（2）模型检验对得出的最优模型进行检验：将检测样本的值代入上式判别出三十个样本的患病情况：病历号161718192021222324252627282930结果患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病患病病历号464748495051525354555657585960结果健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康健康根据题目中所给的已知信息，16-30号全部患有肾炎，46-60号全部健康，由此可以看出，我们运用所求的判别函数所检验的结果与实际情况完全一致，所以其误判率为0。对回归方程进行显著性检验同模型一的解法，我们通过（8）、（9）、（10）、（11）式求得： R=0.9278,则拒绝，说明它们之间线性关系非常显著。对上述四个表中的验证结果分析可知，最优模型的误判率为0。拟合优度R为0.93接近于1，所以该模型为问题一中的最优模型，确诊病例时，将各元素的含量，输入到该模型中，求出对应的值，然后和1、0比较，若接近于1，则表示患有肾炎；接近于0，表示健康。5.2 问题二的建模与求解运用问题一中所求得的的最优判别函数，我们对表B.2中30名就诊人员的化验结果进行判别（用MATLAB求解源程序见附录），我们将结果整理可制成以下表：表：对表B.2中就诊人员化验结果的判定：病例号616263646566676869707172737475结果患病患病健康患病患病患病健康患病患病健康患病患病患病健康患病病历号767778798081828384858687888990结果患病健康健康患病健康健康健康患病健康患病健康健康健康健康健康从上表结果中我们可以得知，运用模型一中的判别方法可以判定表B.2中的30名就诊人员中有16名就诊人员患有肾炎，他们的病历号分别为：61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、83、85、87有14名就诊人员是健康的，他们的病历号分别为：70、74、75、77、78、79、80、81、82、84、86、88、89、90。5.3 问题三的建模与求解 我们应用剔除法对模型中的不显著元素逐个进行剔除，最终保留下来的元素就是影响人们患病的关键性因素。我们知道回归平方和描述了全体自变量对y的总影响。为了研究某个的作用，先把从个自变量中扣除下来，只考虑个自变量的影响，作这个自变量的回归平方和，记作，幷记 其中，为在中的偏回归平方和，用它来衡量在y对的线性回归中的作用大小。由于的自由度为1，且，选统计量算出的值，对给出的显著水平，查出。代入数据得 对置信水平，查表得 ：所以考虑去掉。同理，将保留下来的项，再代入数据，求对置信水平，查表得 ：所以我们考虑去掉。我们利用这种方法依次检验下去，将模型中的项剔除。最终优化后的模型为： 我们将对应的样本数据代入上式，利用MATLAB（求解源程序见附录）软件，求得各参数项的线性回归系数分别为：由于保留下来的x，对y有显著的线性回归作用，因此，它们所对应的元素即为影响人体患病的关键性因素，它们分别是Fe元素，Ca元素，Cu元素，Mg元素。5.4 问题四的建模与求解运用问题三中所求得的的最优判别函数，我们对表B.2中30名就诊人员的化验结果进行判别（用MATLAB求解源程序见附录），我们将结果整理可制成以下表：表：对表B.2中就诊人员化验结果的判定：病例号616263646566676869707172737475结果患病患病患病患病患病患病患病患病患病健康患病患病患病健康健康病历号767778798081828384858687888990结果患病健康健康患病健康健康健康患病健康患病健康患病健康健康健康从上表结果中我们可以得知，运用模型三中的判别方法可以判定表B.2中的30名就诊人员中有17名就诊人员患有肾炎，他们的病历号分别为：61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、79、83、85、87有13名就诊人员是健康的，他们的病历号分别为：70、74、75、77、78、80、81、82、84、86、88、89、90。5.5 问题五的建模与求解问题五：将问题二中我们所判定的结果与问题四中所判定的结果制成一张表格，如下表：表：2与4中判定结果的比较病例号6162636465666768697071727374752中判定结果患病患病健康患病患病患病健康患病患病健康患病患病患病健康患病4中判定结果患病患病患病患病患病患病患病患病患病健康患病患病患病健康健康病历号7677787980818283848586878889902中判定结果患病健康健康患病健康健康健康患病健康患病健康健康健康健康健康4中判定结果患病健康健康患病健康健康健康患病健康患病健康患病健康健康健康分析上表，我们可以看出问题二中所判定的结果与问题四中的判定结果对病例号为63、67、75、84、87的4名就诊人员所判定的结果有所不同。之所以会出现这种结果，我们认为由于每个人的体重不同，体内各种元素的含量也会有微小的差异，另外因为人体内各种元素的含量对身体是否健康都会存在一定的影响，只是有些元素的含量对一些疾病的影响较小，因此，我们认为模型一中的判别函数比模型二中的判别函数对判定的结果更为准确，但模型二中的判别函数需要化验出的人体内的元素含量的种类更少，更为简便，但正是这种简便导致的误判率也会升高。6 模型分析在问题一中我们通过对模型不断进行优化，最终得到较理想的模型，利用该模型对总体样本的检验结果与题意完全相符，所以可以通过该模型来判别就诊人员是否患病，有很高的正确性。对于问题二中的回代结果可知，病例号为61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、83、85、87的16位就诊人员的判定结果为患有肾炎，病例号为70、74、75、77、78、79、80、81、82、84、86、88、89、90的就诊人员的判定结果为健康。对于问题四中的回代结果可知，病例号为61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、76、79、83、85、87的17位就诊人员的判定结果为患有肾炎，病例号为70、74、75、77、78、80、81、82、84、86、88、89、90的就诊人员的判定结果为健康。通过对问题二中所判定的结果与问题四中的判定结果进行分析，发现两次检验结果有4个病例不相同，说明模型并不能完全符合，我们认为还有其它的一些因素作用，我们在使用该模型为病人检验时，并不能保证检验结果一定准确。 7 模型的评价与推广在本文模型中，我们选取部分样本进行研究，通过回归分析建立数学判别模型，并不断进行优化，最终得到拟合优度较高的模型，在判别就诊人员的化验结果来确定就诊人员是否患有肾炎，其准确率达到100%，即该模型的误判率为0。可见，该模型的可操作性很强，效率很高。我们先对化验结果中全部指标进行分析，再通过逐步判别分析，我们减少了化验指标，这有利于减少医生的工作量，提高工作效率。但该模型是在有限的样本容量下建立的，不具有代表性；而且，由于环境与就诊人员自身条件的限制以及医疗设备精度的限制，模型的准确率会受到影响。因此，对于判定为患者的就诊人员，我们再次进行检验，以确定他们是否真的患病。该模型还可以推广到其他领域中去。通过对A、B两个总体的分析判别来预测C总体A、B中的哪一个，因此我们可以把这个模型应用病虫害的预报，疾病的预测预报，以及红细胞检测，辅助诊断等领域。 8 参考文献1姜启源 谢金星 叶俊。数学模型（第三版） 北京：高等教育出版社，2003.82浙江大学 盛骤 谢世千 潘承毅。概率论与数理统计（第三版）北京：高等教育出版社，2001.123赵静 但琦，数学建模与实验。北京：高等教育出版社，2003.64 白厚义。回归设计与多元统计分析。广西：广西科学技术出版社，2003.19 附录9.1问题一9.1.1 模型一源程序：（一次项模型）e=data(1:15,:);data(31:45,:);y=data2(1:15,:);data2(31:45,:);x=ones(30,1),e;data3=ones(90,1),data;b,bint,r,rint,stats= regress(y,x,0.05);p=0;t=zeros(1,90);for i=1:90 p(i)= data3(i,:)*bend for i=1:90 if p(i)0.5 t(i)=1 endend9.1.2 模型二源程序：（一次项和平方项模型）e=data(1:15,:);data(31:45,:);y=data2(1:15,:);data2(31:45,:);x=ones(30,1),e,e.2;data3=ones(90,1),data,data.2;b,bint,r,rint,stats= regress(y,x,0.05);p=0;t=zeros(1,90);for i=1:90 p(i)= data3(i,:)*bend for i=1:90 if p(i)0.5 t(i)=1 endend9.1.3 模型三源程序：（一次项和平方项和交叉项模型）e=data(1:15,:);data(31:45,:);y=data2(1:15,:);data2(31:45,:);o=;for i=1:6 for j=(i+1):7 o=o,data(:,i).*data(:,j) endendj=o(1:15,:);o(31:45,:);x=ones(30,1),e,e.2,j;data3=ones(90,1),data,data.2,o;b,bint,r,rint,stats= regress(y,x,0.05);p=0;t=zeros(1,90);for i=1:90 p(i)= data3(i,:)*bend for i=1:90 if p(i)0.5 t(i)=1 endend9.1.4 模型四源程序：（一次项和部分显著的平方项和部分显著的交叉项模型）e=data(1:15,:);data(31:45,:);y=data2(1:15,:);data2(31:45,:);x=ones(30,1),e,e(:,2:3).2,e(:,6).*e(:,7),e(:,2).*e(:,5),e(:,4).*e(:,5);data3=ones(90,1),data,data(:,2:3).2,data(:,6).*data(:,7),data(:,2).*data(:,5),data(:,4).*data(:,5);b,bint,r,rint,stats= regress(y,x,0.05);p=0;t=zeros(1,90);for i=1:90 p(i)= data3(i,:)*bend for i=1:90 if p(i)0.5 t(i)=1 endend9.3 模型三源程序：e=data(1:15,:);data(31:45,:);y=data2(1:15,:);data2(31:45,:);x=ones(30,1),e(:,3),e(:,4),e(:,2).2,e(:,2).*e(:,5),e(:,4).*e(:,5);data3=ones(90,1),data(:,3),data(:,4),data(:,2).2,data(:,2).*data(:,5),data(:,4).*data(:,5);b,bint,r,rint,stats= regress(y,x,0.05);p=0;t=zeros(1,90);for i=1:90 p(i)= data3(i,:)*bend for i=1:90 if p(i)0.5 t(i)=1 endend表B.1 确诊病例的化验结果病例号ZnCuFeCaMgKNa116615.824.5700112179513218515.731.570112518442731939.8025.9541163128642415914.239.789699.2239726522616.223.860615270.321861719.299.2930718745.5257720113.326.655110149.4141814714.530.065910215468091728.857.8655175.798.43181015611.532.56391071035521113215.917.757892.4131413721218211.311.3767111264672131869.2637.195823373.0347141628.2327.162510862.4465151506.6321.06271401796391615910.711.761219098.53901711716.17.0498895.51365721818110.14.0414371841015421914620.723.8123212815010922042.310.39.7062993.74398882128.212.453.137044.14548522215413.853.36211051607232317912.217.9113915045.22182413.53.3616.813532.651.6182251755.8424.980712355.61262611315.847.362653.61686272750.511.66.3060858.958.91392878.614.69.7042170.81334642990.03.278.1762252.37708523017828.832.499211270.21693121319.136.2222024940.01683217013.929.8128522647.93303316213.219.8152116636.21333420313.090.8154416298.903943516713.114.1227821246.31343616412.918.6299319736.394.53716715.027.0205626064.62373815814.437.0102510144.672.53913322.831.016334011808994015613532267471090228810411698.00308106899.153.02894224717.38.65255424177.9373431668.1062.8123325