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文档简介

矩阵分解 线性方程组的Gauss消元法用矩阵运算来表示可以解释LU分解 对增广矩阵的化简过程就是对方程组进行同解变换 有三个同解变换每个对应一个初等矩阵 初等矩阵与初等变换 线性方程组的同解变换有三个1 交换第i个和第j个两个方程的位置2 用一个非零数c同时乘第i个方程的两端3 其中j个方程的两端减去第i个方程的两端同时乘上一个非零数l 等价于 第i个方程的两端同时乘上一个非零数 l加到第j个方程的对应两端 对应方程组求解的三个同解变换有矩阵的三个初等行变换1 交换矩阵的第i个和第j个两行2 用一个非零数c乘矩阵的第i行3 矩阵的第j行减去第i行的l倍 等价于用 l乘上第i行然后加到第j行上对应矩阵的三个初等行变换有三个初等矩阵1 交换初等矩阵中的第i和第j两行2 用一个非零数c乘初等矩阵的第i行3 将初等矩阵位于i行j列的零元素改为 l所有对线性方程组的同解变换对应着对线性方程组的增广矩阵进行行变换而这些行变换对应着用相应的初等矩阵左乘线性方程组的增广矩阵 初等矩阵与基本行变换举例 如果线性方程组系数矩阵的所有K阶子式都不等于0 那么线性方程组一定有唯一的解 通过Gauss变换一定将系数矩阵化成主对角线上元素全部不等于0的上三角矩阵U 这样的过程用矩阵运算可以表示如下 Givens旋转变换 二维空间内的旋转是不改变向量的大小和向量之间的夹角的 图示如下 使用一连串Givens旋转 即可将矩阵A主对角线以下的元素全部消去 得到上三角矩阵 矩阵分解经常是是通过矩阵的线性变换来实现的 这种变换能够将原矩阵某些特定位置上的元素变换为零 由于反射与旋转是实现线性变换的两种基本手段 从反射与旋转入手 讨论Householder反射变换和Givens旋转变换 Householder反射变换 Householder变换最典型的应用是在数值算法中构造正交基 使得数值问题变成一种容易求解的形式 从计算观点看 这类变换的作用是使向量或者矩阵中被选择出来的一些元素变成零 Householder矩阵既能使一向量的某些元素变为零 又能保持该向量的长度或范数不变 从二维空间看Householder变换 将向量x映射为关于 与单位向量u正交的直线 对称的向量y的变换 称为二维空间中的Householder变换 图示如下 向量x在单位向量u上的投影为uuTx 向量x在垂直于单位向量u方向上的投影为x uuTx x与单位向量u正交的直线 对称的向量y x uuTx uuTx x 2uuTx 定理2 初等旋转矩阵 Givens变换 是两个初等反射矩阵 Householder变换 的乘积 也就是一次 角度的旋转可以通过两次对特殊向量的反射实现 其中 Q是m n实 复 矩阵 且满足QTQ I QHQ I R是n阶实 复 非奇异上三角矩阵 该分解除去相差一个对角元素的绝对值 模 全等于1的对角矩阵因子外是唯一的 Sthmidt正交化方法证明了n阶的非奇异矩阵一定有QR分解 用G
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