正四面体的性质最终版.doc

正四面体的性质：设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积 S全= ；(2)体积 V=；(3)对棱中点连线段的长 d= ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)(4)相邻两面所成的二面角 =(5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=(7)外接球半径 R= ；(8)内切球半径 r= .(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.ABCDOH如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=,OB=,OC=.则 不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V= ；底面面积SABC=；S2BOC=SBHCSABC；S2BOC+S2AOB+S2AOC=S2ABC ; 外接球半径 R= ；内切球半径 r=四面体的性质探究如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。一四面体性质ABDCOS1S2S3S41四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，ABC的面积为S1，ADC的面积为S2，BCD的面积为S3，ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为1-3，二面角A-DC-B为2-3，二面角A-BD-C为3-4，二面角C-AB-D为1-4，二面角C-AD-B为2-4，二面角B-AC-D为1-2，则S1 = S2cos1-2 + S3cos1-3 + S4cos1-4S2 = S1cos1-2 + S3cos2-3 + S4cos2-4S3 = S1cos1-3 + S2cos2-3 + S4cos3-4S4 = S1cos1-4 + S2cos2-4 + S3cos3-42性质2(类似余弦定理)S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cos2-3 - 2S2S4 cos2-4 - 2S3S4 cos3-4S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cos1-3 - 2S1S4 cos1-4 - 2S3S4 cos3-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S4 cos1-4 - 2S2S4 cos2-4S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S3 cos1-3 - 2S2S3 cos2-3特别地，当cos1-2 = cos1-4 = cos2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32 = S12 + S22 +S42，证明：S32 = S3S1cos1-3 + S3S2cos2-3 + S3S4cos3-4 = S1 S3cos1-3 + S2 S3cos2-3 + S3 S4cos3-4 = S1（S1 - S2cos1-2 + S4cos1-4）+S2（S2 - S1cos1-2 + S4cos2-4）+ S4（S4 - S1cos1-4 + S2cos2-4） = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S4 cos1-4 - 2S2S4 cos2-4二正四面体的性质设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积 S全= ；(2)体积 V=；(3)对棱中点连线段的长 d= ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)(4)相邻两面所成的二面角 =(5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=(7)外接球半径 R= ；(8)内切球半径 r= .(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).三直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：ABCDOH如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=,OB=,OC=.则 不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V= ；底面面积SABC=；S2BOC=SBHCSABC；S2BOC+S2AOB+S2AOC=S2ABC ; 外接球半径 R= ；内切球半径 r=三应用由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知，正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r,易知有如下结论：性质正四面体内接于一正方体，且a=性质V正四面体=V正方体=a3 性质R=R =a性质r=r= (证明略)利用上述结论可迅速解决如下各题: 例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)(A) 90 （B）60 （C）45 （D）30 分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体（如图2)，显然，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，由ASD=45，知选(C).例2.棱长为2的正四面体的体积为_.(98年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为.故V正方体=()3=2 V正四面体=V正方体= 。例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为_. (2000年全国高中数学竞赛试题)本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可知正四面体的棱切球即为正方体的内切球. 正四面体的棱长为a 正方体的棱长为a正方体的内切球半径 r=a V棱切球=r3=(a)3=a3 .例4.如图S-ABC 是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是_.(2000年春季高考题)分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知EF=GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6，所以EF=AB=2. 例5.正三棱锥A- BCD得侧棱长与底面边长相等,顶点A、B、C、D在同一个球面上，CC1和DD1是该球得直径，则平面ABC与平面AC1D1所成角的正弦值为_.(第十一届“希望杯”高一培训题)分析:利用习题结论可知,正三棱锥A-BCD与它外接正方体的各顶点共球面.故构造如图5的正方体AD1CB1- C1BA1D,易知CC1与DD1就是该球的直径.取AB的中点O,连D1O、CO，则COD1是平面ABC与平面AC1D1所成的锐角二面角，于是 sinCOD1=例6.半径为R的球的内接正四面体的体积等于_. (第十一届