梁的受力分析.ppt

第二章箱梁分析 箱形截面具有良好的结构性能 因而在现代各种桥梁中得到广泛应用 在中等 大跨预应力混凝土桥梁中 采用的箱梁是指薄壁箱型截面的梁 其主要优点是 截面抗扭刚度大 结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性 顶板和底板都具有较大的混凝土面积 能有效地抵抗正负弯矩 并满足配筋的要求 适应具有正负弯矩的结构 如连续梁 拱桥 刚架桥 斜拉桥等 也更适应于主要承受负弯矩的悬臂梁 T型刚构等桥型 适应现代化施工方法的要求 如悬臂施工法 顶推法等 这些施工方法要求截面必须具备较厚的底板 前言 箱梁的主要优点 承重结构与传力结构相结合 使各部件共同受力 达到经济效果 同时截面效率高 并适合预应力混凝土结构空间布束 更加收到经济效果 对于宽桥 由于抗扭刚度大 跨中无需设置横隔板就能获得满意的荷载横向分布 适合于修建曲线桥 具有较大适应性 能很好适应布置管线等公共设施 第一节箱梁截面受力特性 箱梁截面变形的分解 箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移 可分成四种基本状态 纵向弯曲 横向弯曲 扭转及扭转变形 即畸变 因弯扭作用在横截面上将产生纵向正应力和剪应力 因横向弯曲和扭转变形将在箱梁各板中产生横向弯曲应力与剪应力 箱梁应力汇总及分析 纵向正应力 剪应力 横向正应力 对于混凝土桥梁 恒载占大部分 活载比例较小 因此 对称荷载引起的应力是计算的重点 1 1箱梁截面变形的分解纵向弯曲 对称荷载作用 产生纵向弯曲正应力 弯曲剪应力 横向弯曲 局部荷载作用 产生横向正应力 扭转 反对称荷载的作用下的刚性转动 分为自由扭转与约束扭转 产生自由扭转剪应力 翘曲正应力 约束扭转剪应力 扭转变形 即畸变 反对称荷载的作用下的扭转变形 产生翘曲正应力 畸变剪应力 横向弯曲应力 1 1 1纵向弯曲纵向弯曲产生竖向变位 因而在横截面上引起纵向正应力及剪应力 见图 图中虚线所示应力分布乃按初等梁理论计算所得 这对于肋距不大的箱梁无疑是正确的 但对于肋距较大的箱形梁 由于翼板中剪力滞后的影响 其应力分布将是不均匀的 即近肋处翼板中产生应力高峰 而远肋板处则产生应力低谷 如图中实线所示应力图 这种现象称为 剪力滞效应 对于肋距较大的宽箱梁 这种应力高峰可达到相当大比例 必须引起重视 1 1 2横向弯曲箱形梁承受偏心荷载作用 除了按弯扭杆件进行整体分析外 还应考虑局部荷载的影响 车辆荷载作用于顶板 除直接受荷载部分产生横向弯曲外 由于整个截面形成超静定结构 因而引起其它各部分产生横向弯曲 如下图 箱梁的横向弯曲 可以按下图a 所示计算图式进行计算 图示单箱梁可作为超静定框架解析各板内的横向弯曲应力 其弯矩图如下图b 所示 1 1 3扭转箱形梁的扭转 这里指刚性扭转 即受扭时箱形的周边不变形 变形主要特征是扭转角 箱形梁受扭时分自由扭转与约束扭转 所谓自由扭转 即箱形梁受扭时 截面各纤维的纵向变形是自由的 杆件端面虽出现凹凸 但纵向纤维无伸长缩短 自由翘曲 因而不产生纵向正应力 只产生自由扭转剪应力 当箱梁端部有强大横隔板 箱梁受扭时纵向纤维变形不自由 受到拉伸或压缩 截面不能自由翘曲 则为约束扭转 约束扭转在截面上产生翘曲正应力和约束扭转剪应力 产生约束扭转的原因有 支承条件的约束 如固端支承约束纵向纤维变形 受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化 使截面各点纤维变形不协调也将产生约束扭转 如等厚壁的矩形箱梁 变截面梁等 即使不受支承约束 也将产生约束扭转 在箱壁较厚或横隔板较密时 可假定箱梁在扭转时截面周边保持不变形 在设计中就不必考虑扭转变形 即畸变 所引起的应力状态 但在箱壁较薄 横隔板较稀时 截面就不能满足周边不变形的假设 在反对称荷载作用下 截面不但扭转而且要发生畸变 扭转变形 即畸变 即受扭时截面周边变形 其主要变形特征是畸变角 薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后 无法保持截面的投影仍为矩形 畸变产生翘曲正应力和畸变剪力 同时由于畸变而引起箱形截面各板横向弯曲 在板内产生横向弯曲应力 如图所示 1 1 4扭转变形 1 2箱梁应力汇总及分析一箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移 可分成四种基本状态 纵向弯曲 横向弯曲 扭转及扭转变形 即畸变 他们引起的应力状态为 纵向弯曲 纵向弯曲正应力 弯曲剪应力横向弯曲 横向正应力扭转 自由扭转剪应力 翘曲正应力 约束扭转剪应力扭转变形 翘曲正应力 畸变剪应力 横向弯曲应力因而 综合箱梁在偏心荷载作用下 四种基本变形与位移状态引起的应力状态为 在横截面上 纵向正应力剪应力在纵截面上 横向弯曲应力 第二节箱梁对称挠曲时的弯曲应力 弯曲正应力 根据材料力学的一般梁理论可直接求解 初等梁理论 顶底板应力均匀分布 空间梁理论 顶底板应力不均匀 有剪力滞作用 弯曲剪应力 开口截面 由材料力学中一的般梁理论直接求解 闭口截面 根据变形协调条件求解 2 1弯曲正应力箱梁在对称挠曲时 仍认为服从平截面假定原则 梁截面上某点的应力与距中性轴的距离成正比 因此 箱梁的弯曲正应力为 应指出 如同T梁或I梁一样 箱梁顶 底板中的弯曲正应力 是通过顶 底板与腹板相接处的受剪面传递的 因而在顶 底板上的应力分布也是不均匀的 这一不均匀分布现象由剪力滞效应引起 2 2弯曲剪应力开口截面 由材料力学中的一般梁理论 可直接得出 闭口单室截面 问题 无法确定积分起点 解决方法 在平面内为超静定结构 必须通过变形协调条件赘余力剪力流q方可求解 闭口多室截面 每一室设一个切口 每个切口列一个变形协调方程 联合求解可得各室剪力流 2 2 1开口截面一般梁理论中 开口截面弯曲剪应力计算公式为 式中 b 计算剪应力处的梁宽 是由截面的自由表面 剪应力等于零处 积分至所求剪应力处的面积矩 或静矩 2 2 2闭口单室截面图a所示箱梁 在截面的任一点切开 假设一未知剪力流 对已切开的截面可利用式计算箱梁截面上各点的剪力流 由剪力流与的作用 在截面切开处的相对剪切变形为零 即 a 此处是沿截面周边量取的微分长度 符号表示沿周边积分一圈 剪应变为 b 而剪力流 c 将式 b 与式 c 代入式 a 则得 而代入上式得 于是 箱梁的弯曲剪应力为 式中时的超静定剪力流 可见 单箱梁的弯曲剪应力的计算公式在形式上与开口截面剪应力计算公式相似 唯静矩计算方法不同 实质上 静矩计算式包含着确定剪应力零点位置的计算 它的物理含义与并没有什么区别 2 2 3闭口多室截面如是单箱多室截面 则应将每个室都切开 如图所示 按每个箱室分别建立变形协调方程 联立解出各室的超静定未知剪力流 其一般式为 图示的单箱三室截面 可写出如下方程 从联立方程中解出超静定未知剪力流 和 则最终剪力流为 则 各箱室壁上的弯曲剪应力 第三节箱梁的剪力滞效应 基本概念 宽翼缘剪切扭转变形的存在 而使远离梁肋的翼缘不参予承弯工作 也即受压翼缘上的压应力随着离梁肋的距离增加而减小 这个现象就称为 剪力滞后 简称剪力滞效应 剪力滞效应与截面纵桥向位置 荷载形式 支承条件 横桥向宽度 截面形状都有关系 矩形箱梁剪力滞解析 引入梁的竖向挠度与纵向位移两个广义位移 应用最小势能原理分析箱梁的挠曲 得到剪力效应的基本微分方程 可求得结构的剪力滞效应 引入剪力滞效应系数 来描述箱梁剪力滞效应 剪力滞的分析与讨论 有横向效应 纵向效应 当结构约束条件与荷载形式确定以后 剪力滞效应随箱梁的跨宽比和惯矩比变化 3 1基本概念如下页图所示 T梁受弯曲时 在翼缘的纵向边缘上 在梁肋切开处 存在着板平面内的横向力和剪力流 翼缘在横向力与偏心的边缘剪力流作用下 将产生剪切扭转变形 再也不可能与梁肋一样服从平面理论的假定 剪切扭转变形随翼缘在平面内的形状与沿纵向边缘剪力流的分布有关 一般已知 狭窄翼缘的剪切扭转变形不大 其受力性能接近于简单梁理论的假定 而宽翼缘因这部分变形的存在 而使远离梁肋的翼缘不参予承弯工作 也即受压翼缘上的压应力随着离梁肋的距离增加而减小 这个现象就称为 剪力滞后 简称剪力滞效应 为了使简单梁理论 即平面假定 能用于T梁的分析 包括I梁 一般采取 翼缘有效分布宽度 的方法处理 我国公路桥梁规范中规定为或或 取最小值 式中L为简支梁计算跨径 为肋宽 为加腋长度 为主梁间距 为翼板厚度 不计承托 箱梁在对称荷载作用下的弯曲也同样存在这种剪力滞现象 特别是大跨度预应力混凝土桥梁中所采用的宽箱梁 腹板间距较大的单箱单室的箱梁 剪力滞效应较为明显 这种现象也是由于箱梁上下翼板的剪切扭转变形使翼板远离箱肋板处的纵向位移滞后于肋板边缘处 因此 在翼板内的弯曲应力呈曲线分布 梁的简单弯曲理论固已不适用于宽箱梁的翼板受力分析 而T梁翼缘有效分布宽度的计算方法也不能直接应用 因此 必须研究宽箱梁的剪力滞效应 寻求符合实际情况的计算方法 3 2矩形箱梁剪力滞解析假定广义位移 由于宽箱梁在对称挠曲时 翼板不能符合简单梁平面假定 故引入两个广义位移 即梁的竖向挠度w x 与纵向位移u x y 假定翼板内的纵向位移沿横向按二次抛物线分布 最小势能原理 梁腹板应变能扔按简单梁理论计算 梁上 下翼板按板的受力状态计算应变能 并认为板的竖向纤维无挤压 剪力滞效应基本微分方程 用变分法可得剪力滞效应求解的基本微分方程 包括边界条件 根据求解剪力滞效应的基本方程和箱梁结构体系的不同边界条件 可求得结构的剪力滞效应 考虑剪力滞效应后的翼板应力 求得考虑剪力滞效应后的挠曲微分方程和翼板纵向正应力 剪力滞系数 考虑剪力滞效应所求得的翼板正应力 按简单梁理论所求得的翼板正应力 3 2 1假定广义位移宽箱梁在对称挠曲时 因翼板不能符合简单梁平面假定 应用一个广义位移 即梁的挠度来描述箱梁的挠曲变形已经不够 在应用最小势能原理分析箱梁的挠曲时 引入两个广义位移 即梁的竖向挠度与纵向位移 且假定翼板内的纵向位移沿横向按二次抛物线分布 国内有关文献 46 中 对此假定以三次抛物线作修正 得 式中 翼板紧大纵向位移差函数 1 2翼板净跨 竖向座标 板厚 或梁高 3 2 2最小势能原理根据最小势能原理 在外力作用下结构处于平衡状态时 当有任何虚位移时 体系的总势能的变分为零 即有 式中 体系的应变能 外力势能 梁受弯曲时的外力势能 梁的应变能为梁腹板部分与上 下翼板部分的应变能之和 梁腹板部分仍采用简单梁理论计算其弯曲应变能 对上 下翼板按板的受力状态计算应变能 并认为板的竖向纤维无挤压 板平面外剪切变形与及横向应变均可略去不计 即 梁腹板部分应变能为 梁上 下翼板应变能为 3 2 3剪力滞效应基本微分方程由变分法可得剪力滞效应求解的基本微分方程 包括变分所要求的边界条件 即 式中 箱梁惯矩 翼板惯矩 为由于剪力滞效应产生的附加弯矩 它是纵向最大位移差值的一阶导数的函数 且与翼板的弯曲刚度成正比关系 3 2 4考虑剪力滞效应后的翼板应力为由于剪力滞效应产生的附加弯矩 它是纵向最大位移差值的一阶导数的函数 且与翼板的弯曲刚度成正比关系 因而 箱梁考虑剪力滞效应的挠曲微分方程变为 而考虑剪力滞效应的翼板中应力为 3 2 5剪力滞系数为了更简便描述与讨论箱梁剪力滞效应的影响 可引入剪力滞系数 箱梁翼板与腹板交角处的剪力滞系数为 当 1为正剪力滞 如 1则为负剪力滞 如图所示 3 3剪力滞的分析与讨论横向效应 连续梁受集中荷载或均布荷载时的剪滞系数 沿箱梁截面上 下翼板上的分布情况 它显示出剪力滞的影响 纵向效应 连续梁受均布荷载 在纵向正弯矩区里的变化 其值要比相应同跨径的简支梁大 在负弯矩区则变化剧烈 并出现负剪力滞效应的现象 参数影响 结构约束条件与荷载型式确定后 剪力滞效应随 变化 箱梁跨宽比越小或比值越大 剪力滞影响越严重 3 3 1横向效应连续梁受均布荷载时的剪滞系数 沿箱梁截面上 下翼板上的分布情况 跨中截面 下页左图所示 内支点载面 下页右图所示 显示出剪力滞的影响 工程设计者从这一现象中可对箱型梁的弯曲应力分布有一个较清楚的认识 以便在设计中考虑这一因素 使预应力钢筋布置得更合理 3 3 2纵向效应下图所示是连续梁受均布荷载的情形 在纵向正弯矩区里的变化 如同简支梁的情况 但其值要比相应同跨径的简支梁大 在负弯矩区则变化剧烈 并出现负剪力滞效应的现象 这与悬臂梁情况相似 3 3 3参数影响当结构约束条件与荷载型式确定后 剪力滞效应随 变化 而参数是箱翼板总惯矩与梁总惯矩的比值 参数是箱的跨宽比 L 2b 的函数 当为一定值时 由连续梁在均布荷载的作用下 与L 2b 下页左图所示 或与的关系 下页右图所示 可见 箱梁跨宽比越小或比值越大 剪力滞影响越严重 实际上 在桥梁结构中的变化幅度不是很大 一般在0 7 0 8左右 而跨宽比的变化幅度较大 因而 在短与宽的箱梁桥中 对剪力滞效应要加以注意 第四节箱梁的自由扭转应力 单室箱梁的自由扭转 利用内外力矩平衡 求得自由扭转剪应力 多室箱梁的自由扭转 多室箱梁扭转时 截面内是超静定结构 必须将各室切开 利用切口变形协调条件求解超静定剪力流 4 1单室箱梁的自由扭转扭转剪应力 剪应力沿截面厚度方向相等 在全截面环流 根据内外力矩平衡 可求得自由扭转剪应力 扭转变形与位移 根据剪切变形计算式 得出纵向位移计算式 然后引入封闭条件 即 始点纵向位移与终点位移相同 求得单室箱梁自由扭转时的变形与位移 4 1 1扭转剪应力等截面箱梁在无纵向约束 仅受扭矩作用 截面可自由凸凹时的扭转称为自由扭转 也即圣 维南 St Venat 扭转 箱梁截面因板壁厚度较大 或具有加腋的角隅使截面在扭转时保持截面周边不变形 自由扭转即是一无纵向约束的刚性转动 可以认为 在扭矩作用下只引起扭转剪应力 而不引起纵向正应力 梁在纵向有位移而没有变形 如图所示单箱梁在外扭矩作用下 剪力流沿箱壁是等值的 建立内外扭矩平衡方程 即得 或式中 箱梁薄壁中线所围面积的两倍 截面扭转中心至箱壁任一点的切线垂直距离 4 1 2扭转位移与变形已知自由扭转剪应力为 a 如图所示 假设为梁轴方向 为纵向位移 为箱周边切线方向位移 则可得剪切变形计算式为 b 式中 截面扭转角 由上式积分可得纵向位移计算式 c 式中 积分常数 为初始位移值 引用封闭条件 对上式积分一周 由于始点纵向位移与终点位移是相同的 则 d 将式 a 代入上式得 e 式中抗扭刚度 说明箱梁在自由扭转时 扭率为常数 引用式 a 和式 e 的关系 代入式 c 纵向位移计算式可简化如下 式中 广义扇性座标 至此 箱梁自由扭转时的应力 变形和位移都可求解 4 2多室箱梁的自由扭转对于单箱多室截面 则可根据单室箱梁的扭转微分方程 并考虑到箱壁中相邻箱室剪力流所引起的剪切变形 则可对每室写出各自的方程 其一般形式为 式中 第箱室的剪力流 第箱室周边中线所围面积的两倍 而内外扭矩平衡方程为 解上述联立方程 即可求得 和 而各箱梁壁处的自由扭转剪应力也可求出 在所求得 z 的关系式中 令 z 1时所需的值 即为该箱梁的抗扭刚度 第五节箱梁的约束扭转应力 基本假定 周边不变形 应力沿臂厚方向均匀分布 沿梁纵轴方向的纵向位移同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化 约束扭转正应力 应用基本假定和截面上合力的平衡条件求解 约束扭转剪应力 根据微元上力的平衡方程式和截面内外力矩的平衡式来计算 约束扭转扭角的微分方程 应用截面上内外扭矩平衡和截面上纵向位移协调求解 截面约束系数 反映了截面受约束的情况 5 1基本假定当箱梁端部有强大横隔板 扭转时截面自由凸凹受到约束 使纵向纤维受到拉伸或压缩 从而产生约束扭转正应力与约束扭转剪应力 此正应力在断面上的分布不是均匀的 这就引起了杆件弯曲并伴随有弯曲剪应力流 这样 箱梁在约束扭转时除了有自由扭转的剪应力外 还有因弯曲而产生剪应力 在箱梁截面比较扁平或狭长 或在变截面箱梁中 都有这种应力状态存在 这里只简要介绍箱梁截面约束扭转的实用理论 它建立在以下假设的基础上 1 箱梁扭转时 周边假设不变形 切线方向位移为 2 箱壁上的剪应力与正应力均沿壁厚方向均匀分布 3 约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移 即截面的凸凹 假设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化 即 式中 初始纵向位移 为一积分常数 截面凸凹程度的某个函数 扭转函数 5 2约束扭转正应力由基本假定 约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移 即截面的凸凹 假设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化 即 知纵向应变与正应力为 由此可见 截面上的约束扭转正应力分布和广义扇性座标成正比 为确定截面计算扇性座标的极点 也即扭转中心 和起始点 可应用截面上的合力平衡条件 因只有外扭矩MK的作用 为 即 扇性静力矩 扇性惯性积 如令为主扇性惯性矩和为约束扭转双力矩 即 则正应力计算式可表示为 这一形式与一般梁的弯曲正应力计算式相似 5 3约束扭转剪应力如图 取箱壁上A点的微分单元ds dz 根据力的平衡得到方程式 如图所示 a 将纵向应变与正应力的表达式 代入上式 并积分得 b 根据内外力矩平衡条件可确定初始剪应力值 积分常数 为 c 式中为扇性静矩 将式 c 代入式 b 即可得约束扭转时的剪应力 d 式中 从式 d 可见 约束扭转时截面上的剪应力为两项剪应力之和 第一项是自由扭转剪应力 第二项是由于约束扭转正应力沿纵向的变化而引起的剪应力为 或可表示为 此式在形式上与一般梁的弯曲剪应力公式相似 5 4约束扭转扭角的微分方程为确定约束扭转正应力及剪应力 都必须确定扭转函数 为此 根据假设 可得到的剪应变公式 a 再应用内外扭矩平衡方程 可得到微分方程 b 式中 截面极惯矩 截面约束系数 或称翘曲系数 截面约束系数反映了截面受约束的程度 对圆形截面 因此 0 式 b 为自由扭转方程 即圆形截面只作自由扭转 事实上 任何正多角形等厚度闭口断面对其中的扭转时也不发生翘曲 对箱形截面 箱梁的高宽比较大时 与差别也越大 值就大 截面上约束扭转应力也相应要大一些 又引用封闭条件 即对式 a 中代入的关系式 沿周边积分一圈 利用的条件 可导得另一微分方程 c 式中 式 b 与式 c 是一组联立微分方程组 可以解出与 如在外扭矩是的二次函数的条件下 则式 b 对微分三次 可得 代入式 c 得 或写成 式中 为约束扭转的弯扭特性系数 此四阶微分方程的全解是 函数的各阶导数也可求出 积分常数C1 C2 C3 C4的值 可根据箱梁边界条件确定 如 固端 0 无扭转 0 截面无翘曲 铰端 0 无扭转 0 可自由翘曲 自由端 0 可自由翘曲 0 无约束剪切 显然也可随之而解 约束扭转正应力与剪应力都可解出 如箱梁为变截面梁 可以把梁分成阶段常截面梁求解 或用差分法求解 第六节箱梁的畸变应力 弹性地基梁比拟法基本原理 利用箱梁的畸变角微分方程与弹性地基梁的微分方程的相似形式 用受横向荷载的弹性地基梁来比拟箱梁的畸变 根据比拟关系可以计算箱梁的畸双力矩和畸变角 应用影响线计算畸变值 弹性地基梁的弯矩与挠度影响线可以通过查表获得 6 1弹性地基梁比拟法基本原理畸变角微分方程 根据最小势能原理 在外力作用上结构处于平衡状态时 当有任何虚位移时 体系的总势能的变分为零可求得畸变角微分方程 弹性地基微分方程 已知弹性地基微分方程 物理量的相似关系 畸变角微分方程与弹性地基微分方程有相似的形式 其方程中各物理量之间都有着相似的关系 边界条件的相似比拟 剪力刚性 可自由翘曲的横隔板 简支支座 剪力柔性 可自由翘曲的横隔板 弹性支座 剪力刚性 又翘曲刚性的横隔板 固端支座 畸变应力 采用和弹性地基梁相同的方法 即初参数法 解畸变角微分方程 求得畸变应力 6 1 1畸变角微分方程根据变分法的最小势能原理 可推导出箱梁截面畸变角的微分方程 如不考虑剪切变形的应变能 体系的总势能为 式中 箱梁周壁横向弯曲应变能 箱梁截面翘曲应变能 反对称荷载的荷载势能 根据最小势能原理 在外力作用下结构处于平衡状态时 当有任何虚位移时 体系的总势能的变分为零即 如选择梁