走出解题“假设”的误区.doc

高中数学教学应走出解题“假设”的误区乐亭县教育局教研室 周学军河北 063600 20001.7 在数学解题中，根据题目的需要，常需提出假设，借助于假设的参与，形成新的思路，从而使问题获解。但因假设不当或假设不慎，导致解题错误的现象经常发生，因此，本文拟通过对几例的剖析，引导大家走出“假设”的误区。 1.误区之一：忽视“假设”的存在性 例1：已知椭圆x2 + =1，过点A(1,1)能否作一条直线与所给椭圆交于两点Q1、Q2 ,且点A恰好为线段Q1Q2的中点？ 错解：设Q1(x1,y1) 、Q2(x2,y2),线段Q1Q2的中点为A(1,1)，2x12+y12=22x22+y22=2 由 得 2(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 . 又x1+x2=2 ，y1+y2=2，代入上式得4(x1-x2)+2(y1-y2)=0， 所以， ,即所求直线的斜率为 - 2 ， 故的方程为y - 1 = - 2(x - 1) ，即2x+y - 3=0 . 因此，满足题设条件的直线存在且其方程为2x+y - 3=0 。 剖析：上述解法“设”而不求，简捷明快，也是解几解题常用的方法，但若将所求直线的方程与椭圆方程联立2x2+y2=22x+y-3=0 得2x2+(3 - 2x)2=2 即6x2 - 12x+7=0 所以， = - 240 , 即方程组无解，所以直线与椭圆无交点，因此这样的直线不存在。 事实上，点A位于椭圆的外部，不能作一条直线满足题设条件。 启示：在解决有关存在性问题时，往往先假设符合条件的对象存在，然后进行推理求得结论。然而，上述假设仅仅是题目的必要条件，经代入检验显然不是充分条件，假设实际上变成了“无中生有”。因此，解决这类问题时必须注意“假设”的存在性。 2.误区之二：忽视“假设”的等价性 例2：设Sn 、Tn分别为等差数列an、bn的前n项和，若对一切自然数n，有 , 求的值。Sn=k(7n+1)Tn=k(4n+27) 错解：因为 故可设 (k为常数) 所以a11=S11 - S10=k(711+1) - k(710+1)=7k b11=T11 - T10=k(411+27) - k(410+27)=4k 因此 . 剖析：上述解法中，假设Sn=k(7n+1) 、Tn=k(4n+27) 是把 k看成与n无关的常数，其实k是与n相关的，由等差数列的前n项和公式知：当公差d 0时，Sn是n的二次函数且常数项为0，而上述假设中，Sn是关于n的一次函数，导致错误的原因是假设与已知条件不等价。Sn=kn(7n+1)Tn=kn(4n+27) 启示：解题时，要准确把握概念、定理和性质，只有“假设”与已知条件等价，才能保证正确顺利的解题。 正解：依题意，不妨设 则a11=S11 - S10=11k(711+1) - 10k(710+1)=148k b11=T11 - T10=11k(411+27) - 10k(410+27)=111k 故 。 3.误区之三：忽视“假设”的可靠性 例3：已知4个数成等比数列，这4个数的积为1，第二项与第三项之和为 - ,求这4个数。 错解：设这4个数分别为aq-3、aq-1、aq 、aq3(a、q为常数）a4=1 (1)a(q+)=- (2) 依题意得 由（1）知a=1 ,代入（2）得 q + = . 因为| q+| 2 ,所以此题无解。 剖析：上述解法看起来似乎是几个数成等比（积一定）问题的巧设，其实，这样设的结果使四个数所成数列的公比为q2,从而导致这四个数必须同号，这显然违背了题意，故这种设法是不可靠的，是错误的。 启示：一些巧妙的假设往往可以使解题更加简捷、明了，但是，如果一味追求巧妙，不注意假设的可靠性、合理性，往往导致解题的错误。 正解：设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3（a、q为常数）依题意得 a4q6=1 (1)aq(1+q)=- (2) 不难解得q= - 或 - 4 ，q= -代入（2）得a=8 .q= - 4代入（2）得a= - .则所求四个数为8 ，- 2 ， , - 或 - ， ，- 2，8 . 4.误区之四：“假设”存在盲目性 例4：求函数y= +的最小值. 错解：原函数可化为y= + 设z1=(x+1)+4i , z2=(x - 3)+2i 则y=|z1| +|z2| 由| z1|+| z2| z1 - z2| 得 y=| z1|+| z2|=|(x+1)+4i|+|(x - 3)+2i|4+2i|=2 . 故所求函数的最小值为2 . 剖析：上述解法中，| z1|+| z2| z1 - z2|取等号的条件是z1、z2两复数对应的向量共线且方向相反，由 得 x=7，此时，z1=8+4i、z2=4+2i,两向量方向相同，不等式等号成立的条件不具备，解法当然也是错误的。 启示：解题中，往往需要通过“假设”的勾通，与一些定理或公式建立联系，借助定理或公式去解题。但这种“假设”必须符合定理或公式的使用条件，盲目去设，必然会导致错误的发生。 正解：设z1=(x+1)+4i ,z2=(x - 3) - 2i , 则y=|(x+1)+4i|+|(x - 3) - 2i| 由 | z1|+| z2| z1 - z2|得 y|(x+1) - (x - 3)+4i - (- 2i)|=|4+6i|=2 . 故所求函数最小值为2 。当, x= , 即z1=+4i ,z2= - - 2i 时取等号。综合以上可以