高中数学必修2第二章专题辅导二.doc

挖井就要挖到水为止!高中数学必修2第二章专题辅导二 垂直1、 斜线和平面所成的角:斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角2、 二面角:(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角3、垂直的定理（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（2）直线与平面垂直的性质定理： 如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. （3）平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（4）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE. (2015江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.题型三线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积 如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB？并说明理由题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.高中数学必修2第二章专题辅导二1、 斜线和平面所成的角:斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角2、 二面角:(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角3、垂直的定理（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（2）直线与平面垂直的性质定理： 如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. （3）平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（4）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE. 题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE. (2015江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.题型三线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积思维启迪：(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离(1)证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2.在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，四边形ABCD为梯形在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形的高S四边形ABCD24.VPABCD24216. 如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB？并说明理由(1)证明E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)解当时，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分别是BD1，CC1的中点，FMAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1为正方形F为BD1的中点，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值 (1)解在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为. 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边