数学建模输油管的布置模型.doc

输油管的布置模型摘要为了解决两家炼油厂到地铁站台运送成品油使用管线费用最省问题，本模型根据不同情况，作出相应的输油管的几何布置方案。利用数学中将图形建立直角坐标系的思想、两点间距离公式，采用最优化模型，以及matlab软件中的最小多变量函数，求出相应的最小值和最小值点，利用比较法得出管线费用最省方案。1、对于问题一，针对共用管线与非共用管线两种情形，设计出两类模型作为最优方案的参考。 2、对于问题二，根据数学模型采用车站建在郊区且选择共用管线方法，可计算出最省费用为282.6973万元。3、在问题三中，车站建在郊区且采用公用管线方法，可计算出最省费用为251.9685万元。关键字：几何布置 最优化模型 最小多变量函数 比较法一、 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、 问题分析铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。需要管道来进行成品油的输送。本模型的建立需要解决管道线费用问题，尽量使其费用最少，达到最大的经济效益。为了更好解决本问题，将A、B两炼油厂和车站当做几何点点，车站视为几何直线，建立直角坐标系，输油管的布置的路线在图形中清晰可见，为了使所有费用最省，不仅要考虑到路线最短问题，还要在运输中使用哪种类型管线，以及是否为共用，是否在一些地区还收取附加费，即：l 当不存在共用管道，A、B两炼油厂管线费用单价相同和不同情况l 当存在共用管线时，A、B炼油厂两地的管线和共用管线价格的不同l 在存在或不存在共用管道时，考虑某区域收取拆迁和工程补偿等附加费用总上所述，针对不同情形，本模型设计不出方案来满足各种要求。三、 模型假设1、甲级资质的工程咨询公司估算的正确率是乙级资质的工程咨询公司的两倍。2、两炼油厂位置不重合，且它们之间的铁路（CD段）为直线3、忽略输油管接口处所用的多余管线，且管线为直线。4、输送成品油过程中，不受外界因素，比如恶劣的环境突变。四、 符号说明A炼油厂离铁路的垂直距离B炼油厂离铁路的垂直距离A、B两炼油厂的距离AB线段到铁路的映射即DF距离建立管线总费用非共用管道费用，单位为每千米/万元共用管道费用,单位为每千米/万元拆迁和工程补偿等附加费用五、 模型的建立将A、B两炼油厂和车站当作几何点，车站视为几何直线，建立直角坐标系，如下模型。5.1模型一（只存在非共用管线） 图一 如图一所示炼油厂分别在铁路一侧的A，B位置，其中到铁路的垂直距离分别为、即, 为了运输送成品油，节省费用，达到经济最大化，需在铁路上寻找出适合位置。图二当A，B炼油厂不共用管线时，在铁路线上增建一个车站,分别连接,在运输过程中，因为不共用管线而要达到费用最省，则需两厂到车站距离最短，及+的值最小。作点关于所在直线对称点连接,其中连线与铁路相交于点如图二所示。因为是关于点的对称点。则有关系式=,，同理+=+,在三角形中两边之和大于第三边，即+,由上面的推论结果可知，,本模型要求最短距离，则点P为最优点。 图三 为了找出上述最优点，我们不妨以为轴、为轴、为原点、建立直角坐标系。则有为、为、为，并设为。 对于直角，由勾股定理易得：,由于平行并且等于。则有 （1）最短距离为： 则总费用： 综上所述： （2） 对于此模型，、分别表示A、B炼油厂到铁路的距离，及两厂之间距离，非共用管道费用，视为固定值，当给出相应的、值。可直接求解。 即当时，有最小值。 5.2、模型二（非共用管线与共用管线并用）图四如图四所示，A、B炼油厂在和路线段时采用非共用管线，相交于点时，共用一段垂直管线。图五 用跟模型一相同的方法，将图四建立在直角坐标系中，以D点位原点，DF所在直线为轴，以AD所在直线为轴，如图五所示。设Q点坐标为，因为PQ垂直于轴，所以P点左边为，其中AB 由坐标系中两点距离公式可知: （3） （4） （5）有题设条件可知，非共用管线与共用管线铺设费用分别为、，结合（1），（3），（4）,(5) 可得出总费用为： (6)同理，此模型中，、为固定值，借助MATLAB软件的最小化多变量函数(fminsearch)1,就能求出当、为何值时有最少费用（附录一）。5.3车站建在郊区的模型建立表1工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420由题中假设条件甲级的估算正确率是乙级公司的两倍，则在题中分别占有比例为，以及根据加权平均法的思想可以推出： 万元由题中所给条件可知a = 5，b = 8，c = 15，l = 20，且图六 当A、B炼油厂车站建在P点郊区，且不共用管道时，画出大致图像如图六A厂需要付费AP段管道费，B炼油厂付费BC段和CP段，以及附加费用。同理将图形建立在直角坐标系中。 图七设P点离原点D的距离为，各点的坐标分别为，,由两点距离公式可知： （7） 因为A厂需要付费AP段管道费，B炼油厂付费BC段和CP段，以及附加费用，所以，总费用为： 将已知值代入，利用MATLAB软件中最小多变量函数（附录二）得出：图八当A、B炼油厂车站建在点郊区，且需要共用管道时，画出大致图像如图六A厂需要付费段管道费，B炼油厂付费段和段，以及附加费用。以及两厂都付段的共用管道费，将图形建立在直角坐标系中。如图 图九设P点离原点D的距离为，C点到轴的距离为，则各点坐标为，。同样用两点距离公式得出： （8）因为厂需要付费段管道费，炼油厂付费段和段和段的附加费用。以及两厂都付段的共用管道费，所以总费用为：将确定值带入则为表达式，同样用MATLAB软件（附录三）得出5.4、车站建在城区的模型建立 当、炼油厂车站建在点城区，且不共用管道时，画出大致图像如图六厂需要付费与段管道费，炼油厂付费段管道费，以及在城区中的管道费附加费用。根据题意，建立在如下直角坐标系。 图十 设点坐标为，点坐标为，根据已知条件，分别求出线段:因为A厂需要付费AP与CP段管道费，B炼油厂付费BP段管道费，以及在城区中的管道费附加费用。所以总费用为： 用MATELAB软件（附录四）得出数据：5.5、解决实际问题当、炼油厂车站建在点城区，且需要共用管道时，画出大致图像如下图十一的厂需要付费段与段不共用管道费与段共用管道费，炼油厂付费的非共用段管道费和段共用管道费，以及、付费在城区中的管道的附加费用。根据题意，建立在如下直角坐标系。 图十一由上图设点位，点为则为，同理有距离公式有：因为厂需要付费与段不共用管道费与段共用管道费，炼油厂付费不共用段管道费和段共用管道费，以及、付费在城区中的管道的附加费用，所以需要费用：代入数据，用MATELAB软件（附录五）得出：为了求出管线最佳布置及相应的费用，本题可以借用模型一、二的方法。在实际问题中，由常识可知，当车站建立在城区时，不仅要收取管线费还有附加费用，相对于车站建立在郊区时，费用要多些，所以我们将车站选在郊区的铁路道上。设A厂成品油的每千米万元，输送B厂成品油的每千米万元，共用管线费用为每千米万元，拆迁等附加费用为每千米万元当不共用管线时，结合图七，和方程组(7)可知，厂需要付费段管道费，炼油厂付费段和段，以及附加费用.即：厂需付费： 厂需付费：总费用为：用MATLAB软件中的多变量最小值函数（附录六）求出：当、存在共用管道时，结合图形九和方程组（8）厂需要付费段管道费，炼油厂付费段和段，以及附加费用。以及两厂都付段的共用管道费。厂的费用为：厂的费用为：共用管费用：所以全部费用： 代入已知值，用MATLAB软件（附录七）得出：六、 模型的求解针对问题一，根据两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，建立本模型时，考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情况，而做出不同的解决设计方案。当共用管线时，车站的建立如图二所示，当最小费用为时，P点中为此点离两炼油厂的距离最近，即达到题中所要求的最省钱要求。当存在非共用管线时，有关系式当在实际生活中给出相应值时用多变量最小值方法就能得到最省费用。针对问题二，当车站建立在郊区且不共用管道时，有表达式有用MATELAB软件得出，当车站建立在郊区且共用管道时，有表达式：此时最省费用（万元）；当车站建立在城区且不共用管道时，关系为最省费用（万元），当车站建立在城区且不共用管道时，关系式为此时最省费用则为，为了达到经济最大值，选用车站建在郊区且共用输油管，最少费用为282.6973万元。 正对问题三，同样分为共用输油管和非共用情况，前者表达式为最小费用为251.9755，后者的数学表达式则为最小费用为251.9685，所以最省费用为251.9685七、 模型的评价本模型在实际问题中有很多优点：l 模型思路清晰，简洁明了，易于理解l 利用MATLAB软件的多变量最小值来计算结果，答案具有科学性l 本模型的结论可以作为实际生活的费用最省问题参考的设计方案本模型也存在一些不可避免缺点，没有考虑道现实中的其他因素影响管线问题，比如天气的变化引起的维检，输油管道路不一定全是直线。八、 参考文献1、 江世宏，MATLAB语言与数学实验，北京，科学出版社，20072、 徐东艳，孟晓刚，MATLAB函数库查询辞典，北京，中国铁道出版社，2005，,12九、 附录附录一function w=f1(p)x=p(1);y=(2);syms n m l;w=d*(sqrt(x2+(m-y)2)+sqrt(x-l)2+(n-y)2)+y*e;w=fminsearch(f1,6 7);附录二function w=f2(p)x1=p(1);y1=p(2);a=5;b=8;c=15;d=7.2;f=21.5; %附加费l=20;w=d*(sqrt(x12+a2)+sqrt(x1-c)2+y12)+(d+f)*(sqrt(l-c)2+(b-y1)2);w,z=fminsearch(f2,7 4)附录三function w=f3(p)x2=p(1);y2=p(2);y3=p(3);a=5;b=8;c=15;d=7.2;e=7.2;f=21.5; %附加费l=20;w=d*(sqrt(x22+(a-y2)2)+sqrt(x2-c)2+(y3-y2)2)+y2*e+(d+f)*(sqrt(l-c)2+(b-y3)2);w,z=fminsearch(f3,7 4 4)附录四function w=f4(p)x4=p(1);y4=p(2);a=5;b=8;c=15;d=7.2;e=7.2;f=21.5; %附加费l=20;w=d*sqrt(c2+(a-y4)2)+(d+f)*(sqrt(x4-c)2+y42)+sqrt(x4-l)2+b2);w,z=fminsearch(f4,7 4)附录五function w=f5(p)x6=p(1);y5=p(2);y6=p(3);a=5;b=8;c=15;d=7.2;e=7.2;f=21.5; %附加费l=20;w=d*sqrt(c2+(a-y5)2)+y6*e+(d+f)*(sqrt(x6-c)2+(y5-y6)2)+sqrt(x6-l)2+(y6-b)2);w,z=fminsearch(f5,7 4 4)附录六function w=f6(p)x1=p(1);y1=p(2);a=5;b=8;c=15;f=21.5; %附加费g=5.6;h=6;l=20;r=7.