2019高考数学二轮复习_专题三 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系课件

第2讲空间点 线 面的位置关系 高考定位1 以几何体为载体考查空间点 线 面位置关系的判断 主要以选择 填空题的形式 题目难度较小 2 以解答题的形式考查空间平行 垂直的证明 并常与几何体的表面积 体积相渗透 1 2017 全国 卷 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的是 真题感悟 解析法一对于选项B 如图 1 所示 连接CD 因为AB CD M Q分别是所在棱的中点 所以MQ CD 所以AB MQ 又AB 平面MNQ MQ 平面MNQ 所以AB 平面MNQ 同理可证选项C D中均有AB 平面MNQ 因此A项中直线AB与平面MNQ不平行 法二对于选项A 其中O为BC的中点 如图 2 所示 连接OQ 则OQ AB 因为OQ与平面MNQ有交点 所以AB与平面MNQ有交点 即AB与平面MNQ不平行 A项中直线AB与平面MNQ不平行 答案A 图 1 图 2 解析如图 依题意 平面 与棱BA BC BB1所在直线所成角都相等 容易得到平面AB1C符合题意 进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意 答案A 3 2017 全国 卷 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PA PD AB DC APD 90 且四棱锥P ABCD的体积为 求该四棱锥的侧面积 1 证明 BAP CDP 90 AB PA CD PD AB CD AB PD 又 PA PD P PA PD 平面PAD AB 平面PAD AB 平面PAB 平面PAB 平面PAD 2 解取AD的中点E 连接PE PA PD PE AD 由 1 知 AB 平面PAD PE 平面PAD 故AB PE 又AB AD A 可得PE 平面ABCD 1 直线 平面平行的判定及其性质 1 线面平行的判定定理 a b a b a 2 线面平行的性质定理 a a b a b 3 面面平行的判定定理 a b a b P a b 4 面面平行的性质定理 a b a b 考点整合 2 直线 平面垂直的判定及其性质 1 线面垂直的判定定理 m n m n P l m l n l 2 线面垂直的性质定理 a b a b 3 面面垂直的判定定理 a a 4 面面垂直的性质定理 l a a l a 热点一空间点 线 面位置关系的判定 例1 2018 成都诊断 已知m n是空间中两条不同的直线 是两个不同的平面 且m n 有下列命题 若 则m n 若 则m 若 l 且m l n l 则 若 l 且m l m n 则 其中真命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 若 则m n或m n异面 不正确 若 根据平面与平面平行的性质 可得m 正确 若 l 且m l n l 则 与 不一定垂直 不正确 若 l 且m l m n l与n不一定相交 不能推出 不正确 答案B 探究提高1 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结合有关定理 进行肯定或否定 2 两点注意 1 平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 2 当从正面入手较难时 可利用反证法 推出与题设或公认的结论相矛盾的命题 进而作出判断 训练1 1 2018 石家庄调研 如图 在三棱台ABC A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面 设 平面ABC l 若l A1C1 则这3个点可以是 A B C A1B B1 C1 AC A1 B1 CD A1 B C1 2 2018 菏泽模拟 已知m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列正确的是 A 若m n 则m nB 若 则 C 若m n 则 D 若m n 则m n 解析 1 在棱台中 AC A1C1 l A1C1 则l AC或l为直线AC 因此平面 可以过点A1 B C1 选项D正确 2 结合长方体模型 易判定选项A B C不正确 由线面垂直的性质 当m n 时 有m n D项正确 答案 1 D 2 D 热点二空间平行 垂直关系的证明 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD AB AD CD 2AB 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分别是CD和PC的中点 求证 1 PA 底面ABCD 2 BE 平面PAD 3 平面BEF 平面PCD 证明 1 平面PAD 底面ABCD 且PA垂直于这两个平面的交线AD PA 平面PAD PA 底面ABCD 2 AB CD CD 2AB E为CD的中点 AB DE 且AB DE 四边形ABED为平行四边形 BE AD 又 BE 平面PAD AD 平面PAD BE 平面PAD 3 AB AD 而且ABED为平行四边形 BE CD AD CD 由 1 知PA 底面ABCD 且CD 平面ABCD PA CD 且PA AD A PA AD 平面PAD CD 平面PAD 又PD 平面PAD CD PD E和F分别是CD和PC的中点 PD EF CD EF 又BE CD且EF BE E CD 平面BEF 又CD 平面PCD 平面BEF 平面PCD 迁移探究1 在本例条件下 证明平面BEF 平面ABCD 证明如图 连接AC 设AC BE O 连接FO AE 四边形ABCE为平行四边形 O为AC的中点 又F为PC的中点 则FO PA 又PA 平面ABCD FO 平面ABCD 又FO 平面BEF 平面BEF 平面ABCD 迁移探究2 在本例条件下 若AB BC 求证 BE 平面PAC 证明连接AC 设AC BE O AB CD CD 2AB 且E为CD的中点 AB綉CE 又 AB BC 四边形ABCE为菱形 BE AC 又 PA 平面ABCD 又BE 平面ABCD PA BE 又PA AC A PA AC 平面PAC BE 平面PAC 探究提高垂直 平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 1 证明线面 面面平行 需转化为证明线线平行 2 证明线面垂直 需转化为证明线线垂直 3 证明线线垂直 需转化为证明线面垂直 4 证明面面垂直 需转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 训练2 2018 北京卷 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 平面PAD 平面ABCD PA PD PA PD E F分别为AD PB的中点 1 求证 PE BC 2 求证 平面PAB 平面PCD 3 求证 EF 平面PCD 证明 1 因为PA PD E为AD的中点 所以PE AD 因为底面ABCD为矩形 所以BC AD 所以PE BC 2 因为底面ABCD为矩形 所以AB AD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD AB 平面ABCD 所以AB 平面PAD 且PD 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD 且PA AB A 所以PD 平面PAB 又PD 平面PCD 所以平面PAB 平面PCD 3 如图 取PC中点G 连接FG DG 因为F G分别为PB PC的中点 因为ABCD为矩形 且E为AD的中点 所以DE FG DE FG 所以四边形DEFG为平行四边形 所以EF DG 又因为EF 平面PCD DG 平面PCD 所以EF 平面PCD 热点三平面图形中的折叠问题 例3 2016 全国 卷 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 证明由已知得AC BD AD CD 由此得EF HD 故EF HD 所以AC HD 所以OH 1 D H DH 3 由 1 知AC HD 又AC BD BD HD H 所以AC 平面BHD 于是AC OD 又由OD OH AC OH O 探究提高1 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量 一般情况下 线段的长度是不变量 而位置关系往往会发生变化 抓住不变量是解决问题的突破口 一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化 不在同一个平面上的图形的性质发生变化 2 在解决问题时 要综合考虑折叠前后的图形 既要分析折叠后的图形 也要分析折叠前的图形 善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解 训练3 2018 全国 卷 如图 在平行四边形ABCM中 AB AC 3 ACM 90 以AC为折痕将 ACM折起 使点M到达点D的位置 且AB DA 1 证明由已知可得 BAC 90 即BA AC 又BA AD AC AD D AC AD 平面ACD 所以AB 平面ACD 又AB 平面ABC 所以平面ACD 平面ABC 由已知及 1 可得DC 平面ABC 所以QE 平面ABC QE 1 1 空间中点 线 面的位置关系的判定 1 可以从线 面的概念 定理出发 学会找特例 反例 2 可以借助长方体 在理解空间点 线 面位置关系的基础上 抽象出空间线 面的位置关系的定义 2 垂直 平行关系的基础是线线垂直和线线平行 常用方法如下 1 证明线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是利用