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2020 2 16 张醒洲 大连 1 完全信息静态博弈 博弈的标准式和纳什均衡古诺模型和贝特兰德双头垄断模型 2020 2 16 张醒洲 大连 2 1 1基本理论 博弈的标准式和纳什均衡博弈的标准式表述重复剔除严格劣势策略纳什均衡的导出和定义 2020 2 16 张醒洲 大连 3 博弈的标准式表述 静态博弈每个参与人同时选择一个策略 所有参与人选择的策略的组合决定了每个参与人的收益 用一个经典的例子说明囚徒困境两个参与人 1 行参与者 2 列参与者每个人都要做出一个选择两种可能的策略选择 坦白 或招认 不坦白 或沉默 收益由一个双变量矩阵表示 2020 2 16 张醒洲 大连 4 囚徒的困境 2020 2 16 张醒洲 大连 5 博弈的标准式表述 博弈的标准式包括 博弈的参与人每个参与人可供选择的策略集针对所有参与人可能选择的策略组合 每个参与人可以获得的收益 2020 2 16 张醒洲 大连 6 n人博弈的标准式 参与人参与人从1到n排序 设其中任一特定参与人的序号为i参与人i的策略空间Si参与人i可以选择的策略集合用表示策略是策略集中的要素参与人i的收益函数定义在一个n人博弈的标准式表述中 参与人的策略空间为 收益函数为 我们用表示此博弈 2020 2 16 张醒洲 大连 7 重复剔除严格劣势策略 推导理性的囚徒1 2020 2 16 张醒洲 大连 8 重复剔除严格劣势策略 推导理性的囚徒2 2020 2 16 张醒洲 大连 9 重复剔除严格劣势策略 理性的囚徒对第i个囚徒来讲 沉默相比招认来说是劣策略 对囚徒j可以选择的每一策略 囚徒i选择沉默的收益都低于选择招认的收益 2020 2 16 张醒洲 大连 10 重复剔除严格劣势策略 2020 2 16 张醒洲 大连 11 重复剔除严格劣势策略 理性的参与人会最大化他的收益 因此他不会选择任何劣策略 尝试解决如下的博弈 2020 2 16 张醒洲 大连 12 纳什均衡的导出 导出纳什均衡的途径之一 是证明如果博弈论可以为博弈问题提供一个唯一解 此解一定是纳什均衡 原因如下 设想在博弈论预测的博弈结果中 给每个参与人选择各自的策略 为使该预测是正确的 必须使参与人自愿选择理论推导为他提供的策略 这样 每一参与人要选择的策略必须是针对其他参与人选择策略的最优反应 这种理论推测结果可以叫做 策略稳定 或 自动实施 因为没有参与人愿意离弃他所选定的策略 我们把这一状态称为纳什均衡 2020 2 16 张醒洲 大连 13 纳什均衡的定义 2020 2 16 张醒洲 大连 14 纳什均衡 思想和举例 思想如果在一对策略中 每一参与人的策略都是对方策略的最优反应策略 则这对策略满足不等式 NE 的条件 亦即双变量矩阵相应单元的两个收益值下面都被画了横线 举例说明囚徒的困境图1 1 4 囚徒1对对方策略的最优反应 2020 2 16 张醒洲 大连 15 纳什均衡 囚徒的困境 2020 2 16 张醒洲 大连 16 纳什均衡 囚徒的困境 囚徒2对对方策略的最优反应 2020 2 16 张醒洲 大连 17 纳什均衡 囚徒的困境 招认 招认 是囚徒困境的纳什均衡 2020 2 16 张醒洲 大连 18 纳什均衡 举例 如图1 1 4在这个博弈中 没有任何严格劣策略被剔除 纳什均衡 在重复剔除劣策略后可能有多个解 这时你会发现纳什均衡是一个更强的解概念 图1 1 4 2020 2 16 张醒洲 大连 19 纳什均衡 举例 找到最优反应 下 右 是唯一满足NE的策略 2020 2 16 张醒洲 大连 20 另一个经典例子 性别战博弈 此博弈有多个纳什均衡 歌剧 歌剧 和 拳击 拳击 都是纳什均衡 性别战博弈 2020 2 16 张醒洲 大连 21 命题 命题A在个参与者的标准式博弈中 如果重复剔除严格劣策略剔除掉除策略组合外的所有策略 那么这一策略组合为该博弈的纳什均衡 命题B在个参与者的标准式博弈中 如果策略组合是一个纳什均衡 那么它不会被重复剔除严格劣策略剔除 2020 2 16 张醒洲 大连 22 纳什均衡的应用 不完全竞争的古诺模型 1838 不完全竞争的贝特兰德模型 1883 连续策略空间最优反应函数 把一个博弈的非正式描述转化成一个博弈的标准式表述 求解 代数 微积分几何 重复剔除严格劣策略 2020 2 16 张醒洲 大连 23 古诺的双头垄断模型 问题 令q1 q2分别表示企业1 2的同质产品的产量 市场中该产品的总供给Q q1 q2 令P Q a Q表示市场出清时的价格 更为精确的表述是 Qa时 P Q 0 设企业i生产qi的总成本为Ci qi c qi 即企业不存在固定成本 且生产每单位产品的边际成本为常数c 这里我们假定c a 根据古诺假设 两个企业同时进行产量决策 2020 2 16 张醒洲 大连 24 古诺的双头垄断模型 问题 转化为博弈的标准式参与人 两个竞争的垄断企业每个企业的策略选择是其产量假设产品是连续可分割的定义每个企业的策略空间Si 0 i 1 2 qi 0因为Q a时 P Q 0 因此对企业i 1 2 qi a收益函数ui si sj 2020 2 16 张醒洲 大连 25 纳什均衡 条件 2020 2 16 张醒洲 大连 26 古诺的双头垄断模型 最优反应函数 假设qj a c 企业i最优化问题的一阶条件即使必要条件 也是充分条件 其解为 1 2 1 那么 如果产量组合 qi qj 要成为纳什均衡 企业的产量选择必须满足且 2020 2 16 张醒洲 大连 27 古诺的双头垄断模型 最优反应函数 一个策略组合 si sj 是纳什均衡当且仅当si bi sj fori 1 2其中 bi sj sj Si 是参与人i的最优反应函数 对于古诺问题解这一方程组得均衡解的确小于a c 满足上面的假设 2020 2 16 张醒洲 大连 28 古诺的双头垄断模型 纳什均衡 2020 2 16 张醒洲 大连 29 图形解决古诺问题 图1 2 1 2020 2 16 张醒洲 大连 30 贝特兰德双头垄断模型 贝特兰德 1883 提出企业在竞争时选择的是产品价格 而不是像古诺模型中选择产量 2020 2 16 张醒洲 大连 31 贝特兰德双头垄断模型 问题 2020 2 16 张醒洲 大连 32 贝特兰德双头垄断模型 标准式 两个参与者 企业1 企业2策略集pj Si 0 i 1 2 收益我们仍然假定每个企业的收益函数等于其利润很熟 当企业i的选择价格为pi 其竞争对手选择价格pj时 企业i的利润为解的概念 纳什均衡 2020 2 16 张醒洲 大连 33 贝特兰德双头垄断模型 找到纳什均衡 最优化问题 BRF那么价格组合 p1 p2 若是纳什均衡 对每个企业i pi 应是以下最优化问题的解 对企业i求此最优化问题的解为 2020 2 16 张