几种特殊函数的图象及应用.doc

几种特殊函数的图象及应用函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征，并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路先了解这四个基本函数：函数（图1）；函数（图2）；函数（图3）；函数（图4）xyO图1xyO图4xyO1-1图3xyO1-1图2从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用一、形如的函数可利用函数（或）的性质当时，函数的图象可看成由函数的图象左右、上下平移得到，在区间、上分别递减；当时，函数的图象可看成由函数的图象左右、上下平移得到，在区间、上分别递增例1函数在上单调递增，求实数的取值范围解析：令，由复合函数单调性及题意可得:需满足两个条件：在上单调递增；在上恒成立考虑当时，不合题意，舍去；当时，在上均递减，不合题意，舍去；当时，在上均递增，也在上递增，且当时，即，综上所述，实数的取值范围是xyOx图5二、形如的函数可利用函数的性质类似地，如图5，函数在区间、上递增，在区间、上递减其中，和由时解得例2 已知,函数在区间-1,1上有零点,求实数的取值范围解析：“函数在区间-1,1上有零点”等价于“方程在区间-1,1上有解”显然，可得，令，可得,解得例3 已知集合，如果，求实数的取值范围解析：，即方程与方程（）的图象有公共点，消去得关于的方程在上有解，显然不是方程的解，当可得xyOxx图6，即三、形如的函数可利用函数的性质类似地，如图6，函数在区间、上分别递增其中，和由时解得例4 函数在区间上的最大值、最小值分别为M、，记，求的最小值解析：由题得的对称轴，由 图象易得在上递增，四、形如的函数可利用函数的性质当时，函数在区间上递减、在区间上递增；当时，函数在区间上递增、在区间上递减例5 若函数在为增函数，分别确定实数的取值范围解析：函数在上递减、上递增；函数在上递增、在上递减函数的图象可由的图象经过平移伸缩变换得到，不难得到例6 若关于的不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围t1t2Pxyo图7解析：考察函数与的图象，如图7，当在区间内变化时，两函数的图象在y轴左侧有交点，至少有一个负数解当时，两图象相切，由=0，可求得，当时，经过点P(0,2)，解得，所以五、综合应用例7 已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围解析：由题意得在上恒成立，分离变量可得在上恒成立，令，由图象特征可得，在上单调递增，在上递减、在上递增，的最大值为，的最小值为，从而得例8求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时相应的值解析：实数应分三类情形来讨论图象的特征当时，在上递增，从而有不存在；当时，由可得，所以，当时，在上递减，从而有不存在；当时，在上递减、在上递增，从而有不存在从上述几类问题的应用可以看出，如果能够熟练掌握四类函数的基本图象及性质，在解题中便能有效地避免复杂的运算过程，把思维集中在数形结合思想的运用上，深刻理解函数图象与方程之间的联系总结而言，一般地，形如的函数均可向