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秀枝一株 嫁接成林 一类三次函数零点个数的题案分析阳新一中 赵碧云【摘 要】：本文结合近几年各地高考调研试题以及高考真题，对三次函数的零点个数在高考题中的演变作跟踪分析，以期管窥试题命制的常用手段。【关键词】：三次函数 零点 极值点三次函数的零点个数，方程解的个数，两个函数图象的交点个数等问题在近几年的文科数学高考中屡屡出现，关于三次函数零点个数的研究，是高中文科数学教学的重要组成部分，见诸名大期刊的研究成果林林总总，精彩纷呈。反映研究的目的，我认为如何让研究成果更好地服务于中学数学教学，才是研究的出发点和归宿。本文拟结合近几年各地高考调研试题以及高考真题，对三次函数的零点个数在高考题中的演变作跟踪分析，以期管窥试题命制的常用手段。1、三次函数的零点个数的有关结论：设，令。（1）若有且只有一个零点。此时的图象如下图所示：（2）若分析：分别观察以下的几个图，便知上述结论成立。2、结论在考题中的演变2.1直接运用结论，体现试题命制的直观性题案1：（2011年全国100所名校单元测试）函数的零点个数及分布情况为（ ）A.一个零点，在内B.二个零点，分别在C.三个零点，分别在D.三个零点，分别在题案2、（2009年海口一中模拟题）求函数方程何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根（其中）？题案3、（2005年全国卷二（文）第21题）设（1）求的极值；（2）当轴仅有一个交点。略解：题案1：由结论（2）得到答案A题案2：由结论知当，有三个不同的实根；当。题案3、（1）。（2）依据本文结论，当有一个零点，即曲线轴仅有一个点。评注：无论是选择题，还是解答题，其问题的核心都是考查本文提及的三次函数的零点的个数的结论。不同之处是设问方式的改变，体题命题形式的多样性。题案1是一道选择题，突出知识立意，三次函数是给定的，直接套用结论即可；题案2、3作为解答题，侧重能力立意，都围绕上述结论设计问题，三次函数系统含参，通过上述结论转化为参数的不等式，从而求出参数的取值范围，比题案1多了一步转化。2.2逆向运用性质，体现试题命制的反思性。题案4、已知函数图象相切，。（1）求实数的极值；（2）若关于的值。题案5、（2009年江西）已知函数（1）对于任意实数的最大值；（2）若方程。略解：题案4：（1）（2）令由结论可知：不同的实数根。题案5：（2）易知由结论可知：当评注：上述两个题案正是上述性质的逆向运用，从利用性质直接判断三次函数零点的个数到本题案中逆用性质求参数的取值范围，体现了命题视角的多角度。2.3变式运用性质，体现试题命制的综合性。题案6、（2009年陕西20题）已知函数（1）求的单调区间；（2）若的图象有三个不同的交点，求的取值范围。题案7、（2009年安徽安庆）已知函数的导函数。（1）对满足的取值范围；（2）设只有一个公共点。题案8、（2010年湖北21题）设函数在点。（1）确定的值；（2）设曲线，证明：当；（3）若过点（0，2）可作曲线。略解：题案6：（1）略（2）易知，直线的图象有三个不同的交点，即函数有三个不同的零点，。题案7：（1）略（2）当共点，即函数，若，若点取得极大值，在点取得极小值，因此必须满足，即。综上可得题案8：（1） （2）略（3）由（2）知点，而点（0，2）在线线上，于是过点（0，2）可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程，要使。评注：题案6、题案7都是围绕直线与三次函数的交点个数设计问题，这里体现了函数与方程的思想，需要学生先把函数图象的交点个数转化为对应方程的根从而转化为函数的零点个数，最终回到本文的结论中来；题案8的隐蔽性则更强，过点（0，2）可作的三条切线，乍一看似乎与本文结论没有多大联系，可是当我们进一步分析可作三条切线的本质就是要求方程有三个相异的实根，于是思路豁然开朗，把结论的运用与导数的几何性质、切线有机结合，增强了解答题的综合性，使试题进一步向创新题型演变，对考生的阅读理解能力与化归转化能力提出更高要求。2.4类比运用性质，体现试题命制的变通性。题案9、（2008年四川卷（理）第22题）已知的一个极值点。（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若函数的取值范围。题案10、（2011年稳派教育模拟试题）已知函数。（1）若曲线的单调区间；（2）若对任意的的取值范围。（3）记两个不同的实根，求实数的取值范围。略解：题案9：（1） （2）增区间（3）设可以任意大，也可以任意小，故仍然有与三次函数图象类似的草图。易知的极值相同，所以当时，也三个零点，即函数函数的图象有三个交点，故。题案10：（1）（2）略。（3）当，令，当，要使方程在区间，解得。评注：其实本文中提及的结论不仅仅适合三次函数，通过类比，我们发现很多的函数都有类似的结论。题案9、题案10正是类比三次函数的性质得到的解法，通过类比我们可以更进一步看清这类题目本质，更好地揭示它的根源，从而能够更深刻理