2018年高中数学_第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件5 北师大版选修1-1

椭圆的定义及其方程与性质 1 椭圆的第一定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 几点说明 1 F1 F2是两个不同的定点 2 M是椭圆上任意一点 且 MF1 MF2 常数 3 通常这个常数记为2a 焦距记为2c 且2a 2c 4 如果2a 2c 则M点的轨迹是线段F1F2 5 如果2a 2c 则M点的轨迹不存在 由三角形的性质知 2 椭圆的标准方程 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 设焦点为 长轴长为2a 短轴长为2b a b 则椭圆的标准方程为 其中 其范围对称轴为x轴 y轴 顶点离心率类似的 可以写出焦点在y轴上的椭圆标准方程及其性质 O X Y F1 F2 M 如图所示 F1 F2为两定点 且 F1F2 2c 求平面内到两定点F1 F2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点M的轨迹方程 解 以F1F2所在直线为X轴 F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 c 0 c 0 x y 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则 MF1 MF2 2a O X Y F1 F2 M c 0 c 0 x y 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为2a 2c 即a c 所以a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式可得 b2x2 a2y2 a2b2 两边同时除以a2b2得 a b 0 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 O X Y F1 F2 M c 0 c 0 O X Y F1 F2 M 0 c 0 c 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 4 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 椭圆的标准方程 定义 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 小结 注意 3 若a2在x2之下 则焦点在x轴上 若a2在y2之下 则焦点在y轴上 2 a b c有关系式 c2 a2 b2 即 a2 b2 c2 a最大 1 在两种方程中 总有a b 0 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则三角形F2CD的周长为 5 4 3 3 0 3 0 6 20 F1 F2 C D 例题讲解 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 曲线上一点P到左焦点F1的距离为3 则点P到另一个焦点F2的距离等于 则三角形F1PF2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 1 满足a 4 b 1 焦点在X轴上的椭圆的标准方程为 2 满足a 4 c 焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为 教材例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10 解 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为 所求的椭圆的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 解 椭圆的焦点在y轴上 由椭圆的定义知 教材例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 设它的标准方程为 又 c 2 所求的椭圆的标准方程为 教材例2 已知B C是两个定点 BC 6 且 ABC的周长等于16 求顶点A的轨迹方程 分析 在解析几何里 求符合某种条件的点的轨迹方程 要建立适当的坐标系 为选择适当的坐标系 常常需要画出草图 解 建立如图坐标系 使x轴经过点B C 原点O与BC的中点重合 BC 6 AB AC 16 6 10 但当点A在直线BC上 即y 0时 A B C三点不能构成三角形 所以点A的轨迹方程是 O X Y B C A 经画图分析 点A的轨迹是椭圆 2c 6 2a 16 6 10 c 3 a 5 所以点A的轨迹是椭圆 教材例3 如图 已知一个圆的圆心为坐标原点 半径为2 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP 中点M的轨迹 解 设M x y P x0 y0 所以M点的轨迹是一个椭圆 例3 若方程4x2 ky2 1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆 求k的取值范围 解 由4x2 ky2 1 可得 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆 所以 即 0 k 4 所以k的取值范围为0 k 4 例4 化简 O X Y F1 F2 M 0 3 0 3 x y 答案 MF1 MF2 10 分析 点M x y 到两定点 0 3 0 3 的距离之和为定值10 3 椭圆的第二定义 性质补充 平面上到一个定点 焦点 和到一条定直线 准线 的距离之比为小于1的正常数 离心率 的点的轨迹是一个椭圆 准线方程为 设为椭圆上一点 则椭圆的左焦半径 右焦半径 椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线 经过椭圆反射后 反射光线会通过另一个焦点 例5给定 已知是椭圆上的点 F是左焦点 当取最小值时 求点B的坐标 例6已知椭圆C 的左右焦点分别