第十一章群、环、域.doc

第十一章 群、环、域11.1半群内容提要11.1.1半群及独异点 定义 11.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 * 运算满足结合律当半群含有关于 * 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群 定理11.1 设为一半群,那么 （1）的任一子代数都是半群，称为的子半群（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点 定理11.2设,是半群,h为S到S的同态,这时称h为半群同态对半群同态有 （1）同态象为一半群（2）当为独异点时，则为一独异点. 定理11.3设为一半群,那麽 （1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，为函数的合成运算（2）存在S到SS的半群同态 11.1.2自由独异点 定义 11.2 称独异点为自由独异点（free monoid）,如果有AS使得 （1）eA （2）对任意uS，xA,u*x e .自由独异点（free monoid）,如果有AS使得 （3）对任意u,vS，x,yA,若u*x = v*y,那么u = v,x = y（4） S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者为A的成员的“积”: ai1*a i2*aik (ai1,a i2,aikA)集合A称为S的生成集顺便指出，当半群有生成集Aa时，称为循环半群（cyclic semigroups）。N，+，0是循环半群。 定理11.4设为一自由独异点，A为它的生成集，g:SAMM为一已知函数，m为M中已知元素，那么下列等式组定义了一个S到M的函数f； 其中wS,xA。 定理11.5 设和为两个自由独异点，A，B分别为它们的生成集，且| A|=| B|，那么和同构。 *11.1.3半群及高斯半群 定义11.3设为一半群，那么 （l）当 * 满足交换律时，称为交换半群（commutative semigroups）。 （2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群（cancelable semigroups） （3）称S中元素a是b的因子（factor），如果有S中元素c，d，使 b = a*c，bd*a（4）在可约交换独异点中，若a是b的因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴（correlate） 定理11.6设为可约交换独异点,那么S中相伴关系为上同余关系 定理11.7设为可约交换独异点。 （1）S中元素a，b相伴，当且仅当有可逆元c（c有逆元）,使 a = b*c （2）S中所有可逆元构成一个相伴类（相伴关系等价类）（3）S的相伴类具有相同的基数 定理11.8 可约交换独异点的商半群（为相伴关系）为一可约交换独异点，且 |S/| =|S|/|e| 。 定义11.4 设为可约交换独异点若a是S中不可逆元素，且除了a及所有可逆元为其因子外没有别的因子，那么称a为既约元，否则称a为可约元 定义11.5 可约交换独异点称为高斯半群(Gauss semigroup)，如果S中不可逆元素均可分解为若干个（有限个）既约元素的积，且这种分解在相伴意义下是唯一的，即若a有两个分解 a = p1*p2*pr= q1*q2*qs 则r = s,且（适当变换运算次序）总可使pi与qi相伴。习题解答练习11.1 1 证明：含么半群的可逆元素集合构成一子半群，即为半群的子半群 证. 对任意x，y inv（S）, 则存在x-1,y-1S使x*x-1=x-1*x=e, y*y-1=y-1*y= e。又半群中*运算满足结合律，因而 (x*y)*(y-1*x-1)=x*(y*y-1)*x-1=x*e*x-1=x*x1=e同理(y-1*x-1) *(x*y)= y-1*(x-1*x)*y= e，于是 (x*y)-1=y-1*x-1S，即inv（S）对*封闭,从而 为的子代数 。由定理11.1， 为的子半群。 2 设为一半群，zS为左（右）零元证明：对任一xS,x*z(z*x)亦为左（右）零元。证.因为z为S的左（右）零元，于是，对任意a S,z* a = z（a*z = z）。考虑任一xS，由于是半群，于是*满足结合律，因而 (x*z)* a=x*（z* a）=x*z， a * (z *x) =（a *z）* x= z * x故x*z(z *x)为的左（右）零元。 3设为一半群，a，b，c为S中给定元素，证明:若a，b，c满足 a*c = c*a , b*c = c*b那么，(a*b)*c = c*(a*b).。证.因为为一半群，于是*运算满足结合律，又由已知a*c = c*a , b*c = c*b，故(a*b)*c=a*(b*c)=a*(c*b)=(a*c)*b=(c*a)*b=c*(a*b) 4设为一半群，且a*a = b 证明: （1）a*b = b*a （2）b*b = b证. (1)因为为一半群，于是*运算满足结合律，又a*a=b，因而 a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a(2)因为为半群，于是*运算封闭.设b*bb则 b*b=a。于是 若令a*b = b*a = a，则 b*b = b*a*a = a*a = b 。 若令a*b = b*a = b， 则 b*b = a*a*b = a*b = b综合 ，b*b=b。 5代数结构中运算 * 如表11.1规定 表 11.1 *abcdaabcdbbcdaccdabddabc （1）已知 * 运算满足结合律，证明为一循环独异点（2）把a,b,c,d中各元素写成生成元的幂证.（1）由运算表11.1知，a为代数结构的幺元，又b2=c，b3=b2*b=c*b=d b4=b3*b=d*b=a故b为其生成元。又*运算满足结合律，因此为循环独异点。（2）解：由（1）知，b为其生成元，a=b0, b=b1, c=b2, d=b3， 同理可验证，d也为其生成元，a=d0, b=d3,c=d2, d=d1。 6证明：循环半群必定是交换半群（参阅定义11.3之（1）。证.设为循环半群，a为其生成元，则对任意x,y S均有K1，K2N,使 x= a K1 , y = a K2从而x* y = a K1 * a K2= a K1+ K2= a K2+ K1= a K2* a K1= y *x，因而为交换半群。 7证明：独异点元素可逆当且仅当它是么元的因子（参阅定义11.3之（3）。证.()设代数结构为独异点，x S可逆，则x -1 S，且x * x -1= x -1* x = e，于是x是e的因子。()设x S为幺元e的因子，则存在a,bS使e= a* x，e= x * b，这说明a,为x的左逆元， b为x的右逆元。又的独异点，*满足结合律，由定理10.6 a=b为 x的逆元.，即x可逆。 8.设为一半群，且对任意x,yS，若x y则x*y y*x . （1）求证S中所有元素均为等幂元（a称为等幂元,如果a*a = a）。 （2）对任意元素x，yS，x*y*x = x , y*x*y = y。 证.（1）对任意aS,假设a*aa,则由已知,(a *a)*aa*(a*a) 此与半群结合律矛盾,故a*a= a，即S中所有元素均为等幂元。（2）假设 x*y*xx，则由已知，(x*y*x)*xx*( x*y*x) ,但 (x*y*x)*x=(x*y)*(x*x)= x*y*x，x*( x*y*x)= (x*x)*(y*x)= x*y*x,矛盾，故x*y*xx。 同理可证y*x*y = y。 *9。设为一半群,且S中有元素a ,使得对于任意xS ,均有S中元素u，v满足 a*u = v*a = x证明 ：为一独异点。（提示:考虑x = a时的u和v。）证. 考虑x = a时的 u和v。由题意知,对元素a S,有u a, v aS满足：a*u a= v a* a= a。由题意，对于任意xS ,均有ux, vxS满足： a* ux,= vx*a=x由为半群，运算*满足结合律， 从而有 v a*x = v a*(a* ux) = (v a*a)* ux =a* ux = x x *ua = (vx*a)* ua = vx*(a* ua ) = vx*a = x这说明v a，ua分别为的左右幺元，再由定理10.1，有幺元e = v a= ua，故 半群为独异点。 10.问是否为自由独异点？为什么？问是否为自由独异点？为什么？其中S N(自然数集)归纳定义如下:（1）0,4,6S. （2）如果x,yS则x+yS.（3）S中元素仅此而已.。解. 不是自由独异点，因为只有唯一生成集A=1,-1，但A不满足自由独异点的条件。 也不是自由独异点，因为显然S只有唯一生成集A= 4,6，但A不满足自由独异点的条件之（3）。 *11设为一由A生成的自由独异点，是一独异点。证明：对任一函数h：AT，均存在唯一的函数H:ST,使得 （1）对任意xA,h(x) = H(x)（2）H为S到T的同态证.对任一函数 h:AT，设函数H：ST 满足H（e1）=e2。 A生成S， 对任意x S 或x = e1 ,或x =ai1* ai2* aik , ai1 ai2 aikA , k1，又令，当x A时H(x) =h(x)，此外 H(x)=H(ai1* ai2* aik)=h(ai1) *h( ai2 )*h( aik)显然H为ST 的映射，且对任意u1 ,u2 S 若u1 e1 ， 则 H(u1 *u2)=H(u2)= e2* H(u2)= H(e1 )*H(u2)= H(u1 )*H(u2)若 u2= e1 则 H(u1 *u2) = H(u1) = H(u1) * e2= H(u1)*H(e1)若 u1A,u2 A 则 H(u1 *u2) = h(u1)* h(u2) = H(u1 )*H(u2)若 u1= ai1* ai2* aik ， ai1 ，ai2 ，aikA u2 A 则H(u1 *u2)=H(ai1* ai2* aik*u2) =h (ai1)* h(ai2)* h(aik) *h( u2) = H(u1 )*H(u2)若u1A,u2= ai1* ai2* aik 同理可证。若u1= ai1* ai2* aik，u2= ai1* ai2* ail，ai1，ai2，aik ，ai1， ai2，ailA则 H(u1 *u2) =H(ai1* ai2* aik* ai1* ai2* ail) =h (ai1)* h(ai2)* h(aik)*h(ai1)* h(ai2)* h(ail) = H(u1 )*H(u2)(由于,都为独异点,故*都可结合)即H为S到T的同态 且对任意x A, h(x) = H(x)。假设另有H: ST 也满足对任意x A, h(x) = H(x)且为S到T的同态，则一定有 H(e1)= e2= H(e1)且对任意x A,H(x) = h(x)= H(x)，而对与其余x S， 设 x = ai1* ai2* aik ， ai1 ，ai2， ，aikA则 H(x) = H(ai1* ai2* aik*u2) = H (ai1)* H(ai2)* H(aik) *H( u2) = h (ai1)* h(ai2)* h(aik) *h( u2) = H(x)故 H= H ，即满足条件的函数是唯一的. 12证明：可约交换独异点上的相伴关系为一等价关系证.在可约交换独异点中，对任意a,b,cS,(1) a=a*ea是a的因子,即a与a相伴， S上相伴关系具有自反性。(2) 设a与 b具有相伴关系 ,则a是b的因子，同时b又是a的因子,于是b与a也相伴。 即S上相伴关系具有对称性,(3) 设a与b相伴，b与c相伴。则a是b的因子，b又是a的因子；b是c的因子，c也是b的因子,于是存在x，x1，m，m1使得 b=a*x,b=x*a,a=b*x1,a=x1*b c=b*m,c=m*b,b=c*m1,b=m1*c从而 c=(a*x)*m=a*(x*m), c=m*(x*a)=(m*x)*a a=(c*m1)*x1=c*(m1*x1)， a=x1*(m1*c)=(x1*m1)*c即a是c的因子,同时c又是a的因子，故a与c相伴。因而相伴关系具有传递性。综上，相伴关系是等价关系。13设S = | m,n为自然数，（1）求证 （为数乘）为一可约交换独异点（2）写出S的所有可逆元,所有既约元（3）将分解成既约元的乘积 .（4） 是否为高斯半群？为什么？(1) 证明： 由于 故运算在S中封闭。 由于对任意 故运算满足结合律。 对于 有 为中的幺元. 由于对任意 ， 有 故运算满足交换律. 由于对任意 若 即 则 ，从而 m+m1=m+m2，n+n1=n+n2，于是 m1=m2, n1=n2 即x=y同理若 xa=y 则x=y，故 a为可约元综上,为一可约交换独异点. (2)解：S中可逆元只有幺元 所有既约元为： （3） （4）为高斯半群。因为:对于任意 若m=n则 若mn则 若mn则 即S中不可逆元素均可分为解若干个(有限个)既约元素的积,且这种分解是唯一的.故为高斯半群. 11.2 群内容提要11.2.1 群及其基本性质 定义11.6称代数结构为群（groups）,如果 （1）为一半群 （2）中有么元e.（3）中每一元素都有逆元 定义 11.7设 为一群 （1）若 * 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的 +不是数加，而泛指可交换二元运算回忆: *常被称为乘）加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group） 定理1l.9 设为群，那麽 （1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元 （2）关于x的方程a*xb，x*ab都有唯一解 （3）G的所有元素都是可约的 （4）当G e时, G无零元（5）么元是G的唯一的等幂元素. 定理11.10对群的任意元素 a,b， （1）(a*b)-1b-1*a-1 （2）(ar)-1 = (a1)r（记为ar）（r为整数）定理11.11 对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n, （l）a m*a n= am+n （2）(a m)n = amn 定理 11.12设为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga 特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列定义11.8 设为群，aG，称 a的阶(order)为n，如果an = e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶。 定理11.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数 | G| 。 定理11.14 设为群,G中元素a的阶为k,那么,an = e当且仅当k整除n。 定理11.15设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶 11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理 定义11.9 设为群称为G的子群(subgroups)，如果为G的子代数 ，且为一群 定理11.16设为群，那么为子群的充分必要条件是 （l）G的么元eH （2）若a，bH ，则a*bH （3）若aH，则a-1H显然,对任何群G , 及均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群 定理11.17 设为有限群,那么当G的非空子集H对 * 运算封闭时, 即为G的子群。 定义11.10 设为的子群，那么对任一 gG，称gH为H的左陪集(left coset)称Hg为H的右陪集(right coset).这里 gH = g*h| hH，Hg = h*g | hH 定理11.18设为的子群，那麽 （1）当gH时， gH = H（Hg = H）。（2）对任意gG，| gH| =| H |（ | Hg| =| H | ）. 定理ll.19 设为的子群，a，bG，那么,或者aH = bH（Ha = Hb），或者aHbH =（HaHb =） 定理11.20 拉格朗日定理（Lagrange theorem）设为有限群的子群，那么H的阶整除G的阶 定义11.11 设为群的子群。定义 G上H的左(右)陪集等价关系。对任意a,bG ab当且仅当a，b在H的同一左（右）陪集中 定理11.21 设为群G上H的左（右）陪集等价关系，那么ab当且仅当 a-1*bH 11.2.3正规子群、商群和同态基本定理 定义11.12 设为群的子群，称H为正规子群（normal subgroup），如果对任一gG , gH Hg 定理11.22 设为群的正规子群，那么H的左（右）陪集等价关系为上的同余关系. 定理11.23 群G的上述商代数结构为一群。 定理11.24设h为群到群的同态映射,那么h(e1) = e2 . 定理11.25设h为群到群的同态映射,那么h的核K(h)构成的正规子群.(为简明计,以下用K表示K(h)。 定理11.26设h为群到群的同态映射,K = K(h),那么商群与同态像同构。习题解答练习 11. 21 设为群若在G上定义运算 ,使得对任何元素x,yG，xy = y*x。证明：也是群。证.（1） 由于为群，故xy=y*xG。因此，运算在G中封闭。又对任意 x,y,zG，由于*运算可结合，从而 ( xy)z = (y*x)z = z*(y*x) = (z*y)*x= x(z*y)= x (yz)即运算可结合。因此为一半群。（2）G,*为群, G对*运算有幺元e。从而对任意 xG，x*e=e*x=x，进而 xe=e*x=x， ex=x*e=xe也为G对运算的幺元。（3）对任意 xG，由于为群，x关于*运算有逆元x-1，于是x* x-1= x-1*x=e，从而xx-1= x-1*x=e x-1x=x* x-1=e。即x关于运算也有逆元x-1。综上（1），（2），（3），为群. 2 设是有限交换独异点，且S可约，即对任意a,b,cS,a*b = a*c蕴涵b = c。证明为一阿贝尔群。证.为证为一阿贝尔群，只要证S的每一元素均有逆元。设S为n个元素的集合a1,a2,an-1,e。对任意xS,若x=e , x有逆元。若xe，考虑 x , x2 ,x3, ,xn其中必有i,j1,2,n，ij，使得xi = xj，从而据S可约，xi-j= e (或xj -i= e) ,进而 x* xi-j-1= xi-j-1* x = e可知 x有逆元xi-j-1。故 为阿贝尔群。 3 证明定理11.11证.注意，群中*运算可结合。an(n是自然数)定义如下 (1) 当n是自然数时，对n归纳（视m为参数）。当 n=0时，显然 当 n=k+1时， 设 当 n是负整数时，。由于-m,-n均为正整数，故 (2) 当n是自然数时，对n归纳（视m为参数）。当 n=0时，显然 当 n=k+1时， 设 当 n是负整数时，由于-n均为正整数，故 4设为一群证明：（1） 若对任意aG有a2= e，则 G为阿贝尔群（2）若对任意a，bG有(a*b)2 = a2*b2，则G为阿贝尔群。证.（1）对任意x,yG， 由已知得 x2=e,y2=e。于是 x-1=x y-1=y。从而(x*y)2=e，(x*y) -1=x*y。又由定理11.10之（1），(x*y) -1=y-1*x-1=y*x，故x*y=y*x。因此*运算满足交换律。为阿贝尔群得证。 (2)对任意a,bG，(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b又由题设 (a*b)2=a2*b2=(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b从而a*(b*a)*b=a*(a*b)*b。两边同时左乘a-1，右乘b- 1得： a*b=b*a 因此，*运算满足交换律，故 为阿贝尔群。 5 设a是群中的无限阶元素，证明：当m n时，am an证.假设存在 mn但am=an 不妨设mn。于是 am-n=am*a-n=an*a-n=e从而元素 a的阶不超过m-n，与a为无限阶元素矛盾。故当mn时，aman。 6 设为群，| G|为偶数证明G中必定有二阶的元素，且二阶元素的个数为奇数。证.假设G中无二阶元素，即对任意aG，ae a2e。于是G中除幺元e外无其它自逆元。或者说G中除幺元e外都为互逆元（a,b互逆，且ab）。而 G中互逆元个数一定为偶数，e为自逆元，于是G为奇数，与G为偶数矛盾。故G中必定存在除e以外的元素为自逆元，即有bG，使b-1=b， 从而b2=b*b-1=e，即b的阶为2。 由于G为偶数，G中互逆元（非2阶元）为偶数个，而e为自逆元，故G中除e以外的自逆元个数一定为奇数，即2阶元素个数为奇数个。 7 求证：有限群中阶大于2的元素个数必为偶数证.阶大于2的元素一定为互逆元，而有限群中互逆元个数一定为偶数， 有限群中阶大于2的元素必定为偶数个。 8 设p为质数。求证：在阿贝尔群中，若a，b的阶都是p的方幂，那么 a*b的阶也必是p的方幂。证.设a的阶为pk1 , b的阶为pk2，k1,k2N+那么 又因为阿贝尔群中运算*可交换 于是 由定理11.14，a*b的阶整除 pk1+k2，而p为质数，因此a*b的阶必为p的方幂。 9 求出，的所有子群解. 的所有子群为：，的所有子群为： ，。 10 设为群，定义集合s = x| xGy(yGx*y = y*x)。证明为的子群证.（1）对群的幺元e，y(yGe*y = y*e)真，故e S。（2）对任意u, v S，yG，有u * y = y * u，v * y = y * v从而 （u * v）* y = u *（v * y）= u *（y * v）=（u * y）* v =（y * u）* v = y *（u * v）故u * v S（3）对任意x S，yG有x * y = y * x。两端同时左乘x -1，右乘x -1得： y * x -1 = x -1 * y于是x 1 S。由定理11.16，为的子群。 11 设为群，H为G的非空子集。证明： 为的子群当且仅当对任意元素a，b H有a*b-1 H。证.必要性。设为的子群。则对任意a，b H，由定理11.16（3）b -1 H，再由11.16（2）a * b -1 H。充分性。H为G的非空子集，有a H，从而由已知得a * a 1= eH。对任意b H，又由eH及已知得e * b -1= b 1 H。最后，对任意a，b H，有aH，b -1 H，再由已知得 a *（b 1）1= a * b H由定理11.16知为的子群。 12设是群的子群, 为的子群，求证: （1）为的子群 （2）KH = HK H（这里KH =k*h| kKhH, HK仿此）证.（1）为的子群，的幺元eH，且为的幺元。又为的子群，的幺元e K，且为的幺元。此外，对任意a，bK，由于为的子群， 故a * b K，a 1 K。综上，由定理11.16,为的子群。 （2）对任意k*h KH，k K，h H，由于为的子群，K H，故k H。又为的子群，对k H，h H，有k * h H。故k H H 另一方面对任意hH，由于e K，有e * h = h K H。故H k H。因此K H = H。 同理可证HK = H。 综上，K H = HK = H 13设，都是群的子群,求证： （1）为的子群。 （2）为的子群当且仅当H1H2或H2H1。证明：（1）由于H1，*，H2，*为的子群，故群的幺元e H1，e H2，从而e H1 H2。对任意x，y H1 H2，有x，y H1，x，y H2，x -1 H1，x -1 H2，于是 x * y H1 H2，x -1 H1 H2 因此，H1 H2，*为群的子群。 （2）充分性是显然的。 必要性。设H1不是H2的子集，且H2不是H1的子集，那么有h1 H1，但h1 H2，同时有 h2 H2，但h2 H1。而此时h1H1 H2，h2H1 H2。 由于为群的子群 ，故h1* h2 H1 H2。于是h1* h2 H1或h1* h2 H2。 当h1* h2 H1时， 因为H1，*为的子群，以及h1 H1 ，所以 h1-1 H1 ， 从而h1-1* h1* h2= h2 H1，此与h2 H1矛盾。当h1* h2 H1时，同样会导致矛盾。故 H1 H2或H2 H1 14含无限阶元素的群必为无限群，且必有无限多个子群.试证明之。证.设群G有无限阶元素a。若群G为有限群，由定理1113，G中每个元素的阶都有限，产生矛盾，因此群G必为有无限限群。 由于无限群G必有无限多个元素，而对任意a，b G e，a，a -1，a 2，a -2，,e，b，b -1，b 2，b -2，都是G的子群。当ba，ba-1时， e，b，b -1，b 2，b -2，e，a，a -1，a 2，a -2，故群G必有无限多个子群。 15证明：对有限群中任意元素a，有aG= e。证.由定理11.13，有限群G中任意元素a的阶一定有限，设a的阶为k（kN+），则a k= e于是 H = a 1，a 2，a k-1，a k= e 为G的子群，其中a -1= a k-1。由定理11.20（Lagran定理）可知 |H|= k，且k整除|G|。设 |G| = kn，nN+，于是a|G| = a kn =（a k）n = e n = e。 16求证：一个子群的左陪集元素的逆元组成这个子群的一个右陪集。证.设H，*为的子群，g G。则gH= g*h| h H 为H的一个左陪集。对任意g*h gH，由于（g*h）-1 = h-1*g 1 ，H，*为的子群，故h -1 H，进而 （g*h）-1 = h-1*g 1 Hg - 1 因此gH中元素的逆元在右陪集Hg - 1中。 反之，对任意 h*g - 1 Hg - 1 h*g 1 =（g * h-1）-1 而 g * h-1 gH因此右陪集Hg - 1 中任意元素又为左陪集gH中一个元素的逆元。 综上所述，一个子群的左陪集元素的逆元组成这个子群的一个右陪集。 17设，都是群的子群,求证：子群的任一左陪集必为H1的一个左陪集与H2的一个左陪集的交。证.由本节13题（1）知，为群的子群。令g G，由于 g（H1 H2）= g * h| h H1 H2 = g * h| h H1hH2 = g * h| hH1 g * h| hH2 即子群的任一左陪集必为H1的一个左陪集与H2的一个左陪集的交。 18设p为质数，证明pn 阶的群中必有p阶的元素，从而必有p阶的子群(n为正整数)证.设G，为p n阶群，元素a的阶整除G的阶p n，又p为质数，因此元素a的阶必为p i（i为正整数），即api = e (e为群G中幺元)。若 i = 1，则a的阶为p，从而子群e，a，a 2，a p-1即为G的一个p阶子群；若 i 1，则令b = api-1，于是 b p=（api-1）p= api = e 由于G，为p n阶群，从而元素b的阶必为p。故子群e，b，b 2，b p-1即为G的一个p阶子群。命题得证。 19.设为群的子群，求证：H为正规子群当且仅当对任何元素gG有 g-1Hg H证.必要性。设H为正规子群， 则对任意gG，gH = Hg，于是对任意hH h*g Hg蕴涵h*g gH 从而，有 h1 H，使h*g = g* h1 ，从而g -1* h*g= h1 H ,故g -1 Hg H。 充分性。对任意gG，hH，h*gHg，由于g -1* h*g g -1 Hg，而g -1 Hg H，故 g -1* h*g H。从而有h2 H，使g -1* h*g = h2，因此h*g = g* h1 gH。Hg gH得证。 另一方面，对任意gG，hH，g*hgH，由于（g -1）-1 H g -1 H，（g -1）-1* h*g -1 = g* h*g -1（g -1）-1 H g 1 。故g* h*g -1 H。于是有 h3 H使 g* h*g 1= h3，从而g* h = h3* gHg。gHHg得证。综上，对任意 g G，gH = Hg，即H为正规子群。 20利用第19题的结论，证明定理11.25。证.首先由定理11.24知，群G1的幺元e1 k（h）。又由定理10.10知k（h）对*1封闭，再由定理10.9（3）知对任意x G1 h（x）-1= h（x -1）。当x k（h）时，h（x）= e 2，h（x -1）= h（x）-1= e 2，故有x -1 k（h）。综上，为的子群。 设u为g 1 k（h）g任一元素，那么u= g 1*1 x*1 g，其中g G1，x k（h）。由于h为同态映射，故h（x）= e2 。因此 h(g 1*1 x*1 g ) = h(g1)*2 h（x）*2 h(g ) = h(g1)*2 e2*2 h(g ) = h(g1)*2 h(g ) = e2 故g 1*1 x*1 g k（h）。g1 k（h）g k（h）得证。由本节题19知：k（h）为的正规子群。 21设，都是群的正规子群，证明: 必定是群的正规子群。证.由于，为群的正规子群，故对任意 g G，gH = Hg，g k = k g。而 g（H k）= g* x x H k = g* x x Hx k = g* x x H g* x x k = gH g k = Hg k g = x*g x H x*g x k = x*g x Hx k = x*g x H k =（H k）g 因此，必定是的正规子群。22设为一偶数阶的群，是群的子群，且 | H|。证明正规子群证.由于为一偶数阶的群，G至少有两个元素。对任意非幺元的元素 gG，由定理11.19，gHH=，HgH=。由于H=G/2,又由定理11.18之 (2)， gH=H=Hg，因此gH=Hg=G-H。故为的正规子群。 23设为群,a为G中给定元素定义函数f：GG，使得对每一xG有 f(x)=a*x*a-1证明：f是到的自同构.证. f显然为 GG的一个函数。对任意x1,x2G，若f(x1)=f(x2)，则a*x1*a-1=a*x2*a-1，于是x1=x2。故f为单射。 对任意 yG取x= a-1*y*aG，那么 f(x)=f(a-1*y*a)=a*( a-1*y*a) *a-1=y故f为满射，从而f为双射又对任意x1,x2G f(x1*x2)=a*( x1*x2)* a-1 f(x1)*f(x2)=( a*x1*a-1 )*(a*x2*a-1 )= a*( x1*x2)* a-1故f(x1*x2)=f(x1)*f(x2)，即f保运算。 因此f为到的自同构映射。 24设为群，f：GG为一同态映射。证明:对任一元素aG，f(a)的阶不大干a的阶。 证. 设a的阶为k(kN),于是 ak =e (e为群中幺元)。由于f为同态映射 (f(a) k= f(ak) =f (e) = e这说明f(a)的阶至多