高数 1.2.1极限概念.ppt

2 极限 微积分 温州大学教育科学学院数学教研室 2 2极限 本节要求读者在复习中学数列极限基础上 掌握 理解 无穷小和无穷大 了解 初等函数的连续性 极限概念的应用 函数极限的直观意义和运算法则 两个重要极限 2 2极限 2 2 1极限概念 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 2 2 1极限概念 极限的直观意义 2 2 1极限概念 极限的分析定义 定义给定数列 xn 若项数无限增大时 记作n 通项xn无限地接近常数A 则称A为数列 xn 的极限 记作同时说数列 xn 收敛到A 否则称数列 xn 发散 2 2 1极限概念 24 12 6 3 2 598076211353 3 000000000000 3 105828541230 3 132628613281 2 2 1极限概念 数列极限的 N定义 一般地 对于数列 an 如果存在一个常数A 无论预先指定多么小的正数 都能在数列中找到一项aN 使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于 即当n N时 an A 恒成立 就把常数A叫做数列 an 的极限 记作an A 例1 2 3 随n无限增大时无限地逼近0 所以 例1 2 4 等比数列 a0qn 的极限 例1 2 5等比级数求和 把等比数列的所有项用加号连接起来就得到了等比级数 几何级数 即 级数是微积分学中与数列密切相关的概念 把无穷数列的所有项用加号连接起来就得到了级数 式子称为该等比级数的前n项部分和 记作sn 这是无穷多个数相加的问题 怎么加 考虑有限个数相加 现在研究数列 sn 的收敛问题 部分和又构成了新的数列 sn 此时也称之为级数收敛 称为级数发散 此时级数也发散 综上所述 此极限可理解为所有项相加的结果 称之为等比级数的和 并记作 解 等比级数 微积分的主要研究对象是函数 数列只是特殊的函数 而函数极限是微积分学的最基本工具 它贯穿微积分学的始终 更需要我们去研究 下面来看一般函数的极限 2 2 1极限概念 函数极限 数列是特殊的函数 自变量取正整数值 我们更需要研究一般函数在自变量向某个方向变化时函数 因变量 值是如何变化的 函数极限是微积分学的最基本工具 它贯穿微积分学的始终 先看两个例子 例1 2 6当 x 无限地逼近于0时 函数是如何变化的 这种情况记作 例1 2 7 这种情况记作 当x无限增大时 是如何变化的 这道题书上的图有误 函数极限的朴素定义 设y f x 是给定函数 如果自变量x在定义域内按照某种趋势 记作x 变化时 函数值f x 相应地变化而无限地逼近常数 则称 为函数在该变化过程中的极限 或说收敛到 简称y有极限或y收敛 记作 读作x趋于 时函数y的极限是 x 的六种不同情况 下一张 自变量趋向负无穷大时函数的极限 例1 2 8 自变量x趋向无穷大时函数的极限 例1 2 9 4 x x 无限地增大 如下例 在a点的左右极限 6 x a x小于a而无限地逼近a 读作x趋于a减 称为f x 在a点的左极限 例1 2 10 此题中左右极限有何差别 下一张 x a时f x 的极限与函数值f a 有没有定义 究竟如何定义无关 例1 2 11设f x 2x x 0 2 则 例1 2 12设g x 2x x 0 1 1 2 则 上述是三个不同的函数 三者的差别在于定义域或在x 1处的函数值 但x 1时的极限相同 说明上述的不同并不影响它们在x 1处的极限的存在与极限值 因为极限是研究x在a点附近并且不断趋近a点时函数的变化趋势 下一张 2 2 2极限的性质 设 c为常数 则有 下一张 二 求极限方法举例 解 例1 2 14 小结 下一张 代入法 解 消去零因子法 例1 2 15 下一张 解 先通分合并再求极限 这类极限称 型 要先相减合并后再求极限 下一张 例1 2 16 例1 2 17 解 消去零因子法 作业 P习题1 2 1 2 1 1 7 24 1 2 8 思考题 在某个过程中 若f x 有极限 g x 无极限 那么f x g x 是否有极限 为什么 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 思考题解答 补例2 解 左右极限存在且相等 极限的求法 续 函数的连续性 前面求分式极限的实例中 若分母的极限不为零时 往往可直接将代入式子 即得极限值 这是因为初等函数是连续的 下一张 定理 单侧连续 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 定理1 2 1一切初等函数在其定义区间内都是连续的 讨论 定义区间与定义域的区别 定义区间是指包含在定义域内的区间 定理1 2 1 基本初等函数在定义域内是连续的 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意2 初等函数求极限的方法代入法 注意1 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例3 例4 解 解 1 2 4两个重要极限 1 证明 略 补例 解 解 例1 2 20 于是 同理可得 解 注 此处运用了变量代换 即换元法 例1 2 21 e是与 一样重要的一个无理数 称为自然对数的底 以e为底的对数logex记作lnx 称为自然对数 它是以e为底的指数函数ex的反函数 2 此极限的实际背景是自然科学与社会经济领域中普遍存在的指数增长模型 比如化学 物理 生物 心理学 社会学 经济学与金融商业领域都有此类问题需要研究 教材中以人口问题为例说明了此重要极限的来历 请自行阅读 例1 2 24 解 解 解 例1 2 23 例1 2 22 解 例1 2 24 解 例1 2 25 三 小结 1 极限的性质 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极