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第十八章量子物理基础 MODERNPHYSICS 本章基本要求1 了解经典物理在说明热辐射时所遇到的困难及普朗克量子假设的内容及意义 2 掌握爱因斯坦的光量子假设 爱因斯坦方程和康普顿效应 3 理解微观粒子的波粒二象性 掌握德布罗意假设及不确定关系 4 掌握波尔氢原子理论及结论 5 掌握波函数的统计解释及性质 了解如何应用薛定格方程处理一维势阱问题 6 掌握原子的壳层结构及四个量子数 物理学是使人类对自然的认识一步一步深入 它与人们的日常生活密切相关 为人类的发展做出巨大贡献 1927年10月召开的量子物理国际研讨会 一排左二普朗克 左三居里夫人 左五爱因斯坦 二排左三布拉格 左五狄拉克 左七德布罗意 左九玻尔 三排左六薛定锷 左九海森堡 此时 正处于由量子论向量子力学转变的时期 JamesClerkMaxwellElectromagnetism 1865 thereisn tmuchphysicslefttodo 1900MaxPlanck 1858 1947 1918NobelPrizeWinner Oct 19 1900Planck E T Dec 14 1900 E nh n 1 2 h 6 55 10 34J S Planck purelyaformalassumptionandIreallydidnotgiveitmuchthought ItwasEinsteinwhogaveaseriousdeeperthinkingaboutit Electromagneticradiationinitsemission absorption couldonlybeinQuanta certaindiscrete fixedunitsofenergyh March1905 论光的产生和转化的一个启发性的观点 1921NobelinPhysics 依据 1905年3月17日 AnnalenderPhysik Leipzig 17 1905 1321906年 月 AnnalenderPhysik Leipzig 20 1906 199 AlbertEinstein 1879 1955 摄于1905年 1921Nobel photoelectriceffect Hertz 1887 1887H R Hertz PhotoelectricEffect Anexperimentalarrangementforobservingthephotoelectriccurrent V stoppingpotential Einsteinfoundin1905thatthereisstrongevidenceinfavorofconsideringalightbeamnotasacontinuousstreamofenergybutasabundleofparticles whichGilberLewis in1926 calledlightquanta Einstein sphotoelectricexperimentwasfirstdonebyRichardsonin1912 Iflightwasentirelywave like wewouldexpectthatturningdownthebrightnessofthelightwouldcauseslowerelectronstobeemitted Infact evenveryfaintlightproducesfastelectrons Slope h Einstein sexplanationforthephotoelectriceffect 现象 太阳 白炽灯 18 1热辐射普朗克量子假设一 热辐射 heatradiation 定义 物体中的分子 原子受到热激发而发射电磁波的现象 特征 热辐射与温度有关 随着温度升高 辐射的总功率增大 辐射的光谱中短波成分增加 1 热辐射的基本概念和基本定律 1 单色辐出度 表示在单位时间内从物体表面单位面积发射的在波长 到 d 内单位间隔的辐射能 M T 与 T有关 它反映了物体在不同温度下辐射能按波长分布的情况 M T 的单位为W m3 2 辐出度M T 单位时间内从物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射能 其单位为W m2 3 单色吸收比和单色反射比 单色吸收比 T 在波长 d 范围内吸收的能量与入射的能量之比 单色反射比r T 在波长 d 范围内反射的能量与入射的能量之比 对于不透明物体 T r T 1 4 绝对黑体 blackbody 若物体在任何温度下 对任何波长的辐射能的吸收比都等于1 即 T 1 则称此物体为绝对黑体 简称黑体 入射 吸收 5 基尔霍夫定律任何物体的单色辐出度M T 和单色吸收比 T 之比 等于同一温度T时的绝对黑体对同一波长的单色辐出度MB T 即 通俗地讲 好的吸收体也是好的辐射体 二 黑体辐射的实验规律1 黑体模型及实验装置 A是热力学温度为T的空腔 S是腔上小孔 P是起分光作用的棱镜 C是探测器 s 2 实验结果 曲线 结论 温度升高 单色辐出度MB T 的峰值对应的波长 m向短波方向移动 3 斯特藩 玻尔兹曼定律 讨论 上述两定律的意义 总辐出度 式中 5 67 10 8W m2 k4为斯特藩常数 4 维恩位移定律 4 经典解释及其失败 长波相符 短波发散 1 瑞利 金斯公式 2 维恩公式 短波相符 长波不符 紫外灾难 三 普朗克公式及其量子假设1 普朗克公式 Plankformula 式中h 6 626 10 34J s为普朗克常数 2 普朗克量子假设 黑体中的分子 原子的振动可看作谐振子 这些谐振子的能量状态是分立的 并不象经典物理学所允许的可具有任意性 相应的能量是某一最小能量的整数倍 即 2 3 4 n 称为能量子 n称为量子数 对于频率为 的谐振子 其最小能量为 这些谐振子辐射或吸收能量时 只能从一个状态跳跃到另一个状态 普朗克量子假设是量子力学的里程碑 18 2光电效应爱因斯坦方程一 光电效应的实验规律Photoelectriceffect 1 饱和光电流与入射光强成正比 光强越大 释放出的电子数越多 4 驰豫时间不超过10 9s 而不管光强如何 3 遏止电势差ua遏止光电流 使之降为零所外加的反向电势差 对不同金属来说 ua的量值不同 二 爱因斯坦的光子理论爱因斯坦认为光可看成是由光子组成的粒子流 单个光子的能量为 h 二 爱因斯坦的光子理论爱因斯坦认为光可看成是由光子组成的粒子流 单个光子的能量为爱因斯坦光电效应方程 式中 为入射光子的能量 为光电子的最大初动能 A为光电子脱离金属表面所需的逸出功 式中 h 为入射光子的能量 mvm2 2为光电子的最大初动能 A为光电子脱离金属表面所需的逸出功 光电效应的讨论 遏止频率 红限频率 1 光强增大 光子数增多 置换出更多电子 光电流增强 2 频率限制 只有当时才会发生光电效应 即 爱因斯坦的光子理论圆满地解释了光电效应 3 遏止电势差 外加反向的电势差恰能阻碍光电子到达阳极 称为遏止电势差 三 光的波粒二象性 等式的左边反映了光的粒子性 右边反映了光的波动性 光具有波粒二象性 Wave particledualism 例 用Na作为阴极做光电效应实验 用波长 1 300nm的光入射时 测出遏止电势差为ua1 1 85v 改用 2 400nm的光时 测出ua2 0 82v 求 1 普朗克常数h 2 逸出功A 3 红限波长 0 解 1 2 3 18 3康普顿效应一 康普顿效应 Comptoneffect 1920年起康普顿研究了X射线经物体散射的实验 发现散射束中除了有与入射束波长相同的射线 还有波长 的射线 实验规律 1 波长的偏移与散射角有关 2 与散射物体无关 二 经典电磁理论解释的困难根据经典电磁理论 带电粒子受到入射电磁波的作用而发生受迫振动 从而使它向各个方向辐射电磁波 散射束的频率应与入射束频率相同 带电粒子仅起能量传递的作用 与实验事实相违背 三 光子理论的解释入射光子与散射物质中束缚微弱的电子发生弹性碰撞 光子运动方向发生偏向 有一部分能量传给了电子 所以频率减小 波长变长 电子获得动能而反冲 如果光子与原子中束缚很紧的电子碰撞 或与整个原子发生弹性碰撞时 由碰撞理论知 散射光子的能量不会显著地减小 所以散射束中有与入射光波长相同的射线 由能量守恒定律 称为电子的康普顿波长 由动量守恒定律 可得 四 讨论1 理论结果与实验事实完全一致 有力地证实了光子理论的正确性 并且也表明在微观粒子领域的相互作用过程中也严格遵守能量守恒定律和动量守恒定律 2 由于为数量级 所以对波长较长的可见光 观察不到康普顿效应 只有对波长较短的X射线 这种量子效应才变得十分显著 3 光具有波粒二象性光既具有波动性 又具有子粒性 波粒二象性 一般而言 光在传递过程中 波动性较为显著 光与物质相互作用时 粒子性比较显著 例题 康普顿散射实验中 已知入射光子能量 散射角求 1 散射束波长偏移量 频率变化 光子能量的变化 2 反冲电子的动能 动量和反冲角度 解 1 散射束波长偏移量 光子能量的变化 频率变化 解 2 或由动量守恒定律的分量式 求出 反冲电子的 反冲角度 动量 动量 动能 18 4氢原子光谱玻尔的氢原子理论一 氢原子光谱的实验规律 定义 波数表示单位长度内所含波的数目 巴耳末系 可见光区 赖曼系 紫外区 帕邢系 红外区 布喇开系 红外区 氢原子巴耳末系 BalmerSeries 氢原子光谱的规律性深刻地反映氢原子的内在规律性 里德伯方程 Rydbergequation 式中R 1 0973732称为里德伯常数 里兹并合原理 光谱项 光谱项 玻尔 1885 1962 丹麦理论物理学家 现代物理学创始人之一 他坚信卢瑟福的有核模型 认为要解决原子的稳定性问题 必须用量子概念对经典物理来一番改造 终于在1913年发表了 论原子构造与分子构造 等三篇论文 提出了三条假设 完满地解释了氢原子光谱的规律 为此 玻尔于1922年获诺贝尔物理学奖 二 玻尔的氢原子理论1 从氢原子光谱看其结构 两边乘hc 得 原子辐射前后能量之差 发光的能量 原子能量表达式 1913年玻尔在卢瑟福的原子结构模型的基础上 将量子化概念应用于原子系统 提出 2 玻尔的氢原子理论 1 定态假设 原子系统只能处于一系列不连续的能量状态 在这些状态中 虽然电子绕核作加速运动 但不辐射电磁波 这些状态称为原子系统的稳定状态 简称定态 相应的能量分别为 2 频率公式 frequencycondition 当原子从一个能量为的定态跃迁到另一个能量为的定态时 要发射或吸收一个频率为的光子 当时 发射光子当时 吸收光子 3 量子化条件 quantizationcondition 在电子绕核作圆周运动中 其稳定状态必须满足电子的轨道角动量L等于的整数倍 即 式中n为正整数 称为量子数 上式称为角动量量子化条件 三 氢原子轨道半径和能量的计算1 轨道半径 由 得 为玻尔半径 核外最小轨道半径 2 能量 氢原子各定态电子轨道及跃迁图 氢原子能级图 四 玻尔理论的缺陷 无完整的理论体系 半经典半量子的理论 不能解释多电子原子的光谱 对谱线的强度 宽度 偏振等一系列问题无法处理 完整体系 量子力学 五 讨论1 电离能 把电子从氢原子的第一玻尔轨道上移到无限远处所需的能量值 结合能 2 激发态 最低能级 n 1 对应的状态叫基态 n 1的状态称为激发态 n 2称为第一激发态 3 线系极限 例1 根据玻尔氢原子理论 求氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时的速度大小之比V1 V3 解 例2 指P156 9 氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线用表示 其次波长的谱线用表示 则等于 A 9 8 B 16 9 C 27 20 D 20 27 解 例3由氢原子理论 当大量氢原子处于n 3的激发态时 原子跃迁将发出 A 一种波长 B 两种波长 C 三种波长 D 连续光谱 解 选 C 例4氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10 19ev 若氢原子从能量为 0 85ev的状态跃迁到上述定态时 所发出的光子的能量为 A 2 56ev B 3 41ev C 4 25ev D 9 95ev 解 例5根据玻尔理论 当氢原子处于第二激发态时 它可能发射的光子的能量分别为 解 12 1ev 10 2ev 1 9ev 10 2ev 1 9ev 12 1ev 1923年夏末的一天 在法国巴黎的一间设备精良的实验室里 德布罗意和他的哥哥莫里斯正在就X射线的性质进行着热烈的讨论 他们都认识到X射线既具有波的性质 又具有粒子的性质 这时 灵感的火花闪过德布罗意的脑际 他突然意识到 既然光波具有粒子的性质 那么实物粒子 尤其是电子 也应当具有波的性质 这个想法太美妙了 因为如果它是对的 那么将揭示出所有物质都具有的一种新的普适本性 波粒二象性 18 5德布罗意波波粒二象性 之后 德布罗意发展了他的想法 并提出了物质波理论 根据这一理论 每个实物粒子 如电子 都伴随着一种波 这种波被称为物质波 它的频率 和波长 与粒子的能量E和动量P之间存在关系 E h 及P h 式中h为普朗克常数 德布罗意进一步发现 与电子相伴随的波正可以解释玻尔原子中神秘的分立能态 因为对于束缚的电子 与它相伴随的波恰好是一种驻波 正如一列在两端固定的弦中运动着的波一样 这样的波将只具有分立的波长和频率 从而根据关系E h 电子的能量便只能是分立的或量子化的 德布罗意指出 物质波的存在可以通过实验来验证 他认为电子穿过很小的孔时将可以产生衍射现象 原来学习历史 随着作用量子h越来越深入到物质结构的各个领域 在求知欲的驱使下 他改学理论物理 他在1911年的日记中写道 我要将青春的热情投入到这些被深入研究过的有趣问题上 我发誓要不遗余力地去弄清楚这些神秘量子的真正本性 于是1924年完成 关于量子理论的研究 论文 五年后由此获的诺贝尔奖 德布罗意 1892 1987 法国物理学家 德布罗意认为实物粒子 静质量不为零的粒子 如电子 中子 原子等 和光子一样也具有波粒二象性 一 德布罗意波 deBrogliewave 德布罗意认为质量为m的粒子 以速度v匀速运动时 具有能量E和动量P 从波动方面来看 也具有波长和频率 其关系式为 德布罗意 D B 假设 德布罗意公式 粒子性 波动性 这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波 D B波 或物质波 例 设电子绕氢核旋转的波尔轨道的圆周长刚好为电子德布罗意波波长的整数倍 试从此点出发 推证玻尔的角动量量子化条件 解 指P160 12 例 能量为15ev的光子被处于基态的氢原子吸收 使氢原子电离发射一光电子 求光电子的德布罗意波长 解 例 一电子经过100v的电势差加速 其德布罗意波长为多少 解 1 戴维孙 革末实验电子束在单晶晶体上反射的实验结果符合X射线衍射中的布拉格公式 二 德布罗意波的实验验证 2 GP汤姆逊的电子衍射实验电子束穿越多晶薄片时出现类似X射线在多晶上衍射的德拜图样 3 约恩逊的电子单缝 双逢实验得到与杨氏双逢实验十分类似的结果 应用举例 利用电子的德不罗意波的波长比可见光波长短得多 目前电子显微镜的分辨率已达0 2nm 1932年由德国人鲁斯卡研究成功 电子显微镜下的蚊子 1986年鲁斯卡与制成扫描隧道显微镜的两人 德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔 共获诺贝尔物理学奖 三 德布罗意波的统计解释以单缝衍射为例 根据波的观点 明暗条纹 反映光强大小 而光强大小对应光波振幅大小I A2 故衍射图样中 明处 波振幅平方 A2 大暗处 波振幅平方 A2 小 根据光子的观点 每个光子都具有确定的能量 明暗条纹反映到达屏上的光子数目分布 明处 光子数多 即光子到达该处的几率大 暗处 光子数少 即光子到达该处的几率小 由于一个光子的能量极小 故我们观察到的屏上显示的衍射图样即光强分布是许许多多光子在屏上出现的位置分布 不同位置光子数目不同 即光子到达不同位置的几率不同 明处几率大 暗处几率小 光子在屏上各处有一定的几率分布 对应确定的光强分布 从而呈现衍射图样 由此得到光波的强度 振幅的平方 对应于光子在该处出现的几率 同样分析电子衍射图样强处 到达的电子数多 即几率大 对应的电子D B波的强度大 弱处 到达的电子数少 即几率小 对应的电子D B波的强度小 电子出现的几率大小反映了该处D B波的强度 这对于一切实物粒子具有普遍性 所以说某处德布罗意波的强度 即振幅平方 与粒子在该处出现的几率成正比 这就是物质波的统计解释 18 6不确定度关系 一 海森堡坐标和动量的不确定关系以单缝衍射为例 设电子动量为P 缝宽为 只考虑中央明纹区 电子x坐标的测不准量为电子x方向上动量的测不准量为 物理意义 微观粒子不可能同时具有确定的坐标和动量 即对粒子的坐标和动量不可能同时准确测量 或 以单缝衍射为例 缝越窄 衍射图样分布越宽 缝越大 衍射图样分布越窄 二 讨论1 对宏观物体而言 与相比小得多 又由于h很小 可以认为 所以可以同时具有确定的坐标和动量 对微观粒子而言 h不能忽略 不能同时具有确定值 此时 只有从概率统计角度去认识其运动规律 在量子力学中 将用波函数来描述微观粒子 见书P261例1 例2 2 不确定度关系的根本实质 是微观粒子的波粒二象性 3 不确定度关系是量子力学的基础 三 能量和时间的不确定度关系 或 例 指P160 14 证明 如果确定一个低速运动的粒子的位置时 其不确定量等于这粒子的德布罗意波波长 则同时确定这粒子的速度时 其不确定量将等于或大于这粒子的速度 证明 例 指P158 13 波长为4000的平面光波朝X轴正向传播 若波长的相对不确定量为 求动量的不确定量和光子坐标的最小不确定量 解 1 波函数 wavefunction 由于微观粒子具有波粒二象性 其位置与动量不能同时确定 所以无法用经典物理方法去描述其运动状态 用波函数来进行描述 18 7波函数薛定谔方程 一 波函数及其统计解释 波函数 描述微观粒子波动性的物质波的数学表达式 2 波函数的统计解释 a 概率密度 表示某一时刻 x y z 处 单位体积内粒子出现的概率 b 表示某一时刻在范围内 即体积元dV dxdydz内 粒子出现的概率 德布罗意波 物质波 与机械波 电磁波不同 是一种概率波 c 波函数的归一化条件和标准条件 波函数必须是单值 连续 有限的函数 归一化条件 整个空间内粒子出现的总概率等于1 标准条件 波函数是 单值 连续 有限 归一化的函数 二 薛定谔方程 Schrodingerequation 2 一维势场中粒子含时间的薛定谔方程 1 一维自由粒子含时间的薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学的基本方程 其地位相当于经典力学中的牛顿定律 3 三维势场中粒子含时间的薛定谔方程 即一般的薛定谔方程 4 定态薛定谔方程 分离变量 得 式中是波函数中仅与坐标x y z有关的因子 称为振幅函数或定态波函数 与时间无关 称为定态 例如 对氢原子 定态方程为 5 一维定态薛定谔方程 18 8势阱中的粒子势垒一 一维无限深势阱其势能分布 由定态薛定谔方程可知 阱外 0 阱内 符合下式 令于是方程改写为其通解为 必须符合边界条件 由归一化条件求A 可得 可得 B 0 波函数为 讨论 1 能量是量子化的由可得 2 粒子的最小能量不等于0 基态能量为 势阱中的能级 3 由概率密度分布曲线可知 粒子出现的概率是非均匀的 表几率密度 例如 当n 1时 由上式得 粒子在x a 2处出现的几率最大 如图 4 波函数为驻波形式 阱壁处为波节 波腹的个数与量子数n相等 如图 二 一维势垒和隧道效应势垒的势能分布 当粒子能量时 从经典理论来看 粒子不可能穿过区域II 但用量子力学分析 粒子有一定概率穿透势垒 事实表明 量子力学是正确的 此现象称为隧道效应 E u0 Oax III I II 18 9量子力学中的氢原子问题一 氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数 薛定谔方程 转化为球坐标 分离变量法求解 得 设 二 量子化条件和量子数 quantumnumber 求解上述方程时可得以下一些量子数及量子化特性1 能量量子化和主量子数 n 1 2 3 主量子数 l 0 1 2 n 1 称为角量子数或副量子数 例如 n 2时 2 角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为 相应的 l 0 1 3 角动量空间量子化和磁量子数当氢原子置于外磁场中 角动量L在空间取向只能取一些特定的方向 L在外磁场方向的投影必须满足量子化条件 称为磁量子数 例如 l 1时 相应的 4 小结电子的稳定状态用一组量子数n l 来表示n 1 2 3 分别表示K L M等壳层 分别表示s p d f 电子轨道概率分布 即电子云 反映了如置于磁场中 轨道角动量出现空间取向 此时原先一个能级会分裂成几个不连续的能级 其可能的取向有 2l 1 个 l 0 1 2 n 1 18 10电子的自旋 spin 1 施特恩 格拉赫实验施特恩 格拉赫实验表明 原子具有磁矩 而且在外磁场中只有两个取向 而轨道角动量量子化的理论是不能解释的 其实质是由于电子自旋磁矩在磁场中的空间量子化的体现 2 电子的自旋电子的自旋角动量 式中自旋量子数s 1 2 即 称为自旋量子数 自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量 18 11原子的电子壳层结构 一 四个量子数及相关的量子化条件 原子中的电子的状态由四个量子数 确定 1 主量子数n n 1 2 3 4 大体上决定原子中电子的能量 原子系统能量 能量量子化 2 副 角 量子数l n相同l不同的状态中的电子 能量略有不同 l 0 1 2 n 1 决定原子的轨道角动量 角动量量子化 3 磁量子数ml ml 0 1 2 l 决定轨道角动量在外磁场方向的分量 空间量子化 塞曼效应 1896年 例如 l 1时 相应的 4 自旋磁量子数ms ms 1 2 决定电子自旋角动量在外磁场方向的分量 电子自旋 施特恩 格拉赫实验 1921年锂原子射线在磁场中分裂为对称的二条 说明电子自旋有二个取向 自旋角动量S 自旋量子数s 在一个原子系统内 不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态 亦即不可能具有相同的一组 四个 量子数 二 泡利不相容原理 三 原子中电子的壳层结构 n给定 l取0 1 2 n 1 共n个 l给定 ml取0 1 2 l 共2l 1个 n l ml都给定 ms取 1 2 共2个 原子中具有相同主量子数n的电子数目 状态 最多为 n能级共有2n2个量子态 允许容纳的电子数最多只能是2n2 n相同 同一壳层 n 1 2 3 4 对应 K L M N 壳层 n同l不同 分壳层l 0 1 2 3 对应 s p d f 分层 阅课本中表 原子系统中 每个电子趋向占有最低的能级 电子的排列次序 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 6d 电子在原子中的分布遵循以下泡利不相容原理能量最小原理两个原理 四 能量最小原理 例题 在主量子数n 2的电子壳层上 最多可能有多少个电子 写出每个电子所具有的四个量子数 解 最多可能有的电子数 四个量子数的取值 每个电子所具有的四个量子数为 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 英国杂志 物理学世界 在100位著名物理学家中选出的10位伟大人物中包含了本章所提到的六位物理学家 他们是爱因斯坦 排名第一 玻尔 排名第四 海森伯 排名第五 以及排名八 九 十的狄拉克 薛定谔和卢瑟福 这足以可见20世纪量子物理的建立和发展在物理学中所占的重要地位 练习题1 图示为光电效应的实验曲线 1 求证对不同材料的金属 AB线的斜率相同 2 由图上数据求出普朗克常数 2 解 2 已知一单色光照射在钠表面上 测得光电子的最大动能为1 2ev 而钠的红限波长为5400 求入射光的波长 解 金属的光电效应的红限依赖于 A 入射光的频率 B 入射光的强度 C 金属的逸出功 D 入射光的频率和金属的逸出功 解 康普顿效应的主要特点是 D 散射光中有些波长比入射光波长长 且随散射角增大而增大 有些与入