2018年高中数学_第二章 空间向量与立体几何 2.5.3 直线与平面的夹角课件10 北师大版选修2-1

5 3直线与平面的夹角 1 共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在 内的角叫作两直线的夹角 2 异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点A作AB l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角 s1 s2 s1 s2 cos s1 s2 n1 n2 n1 n2 cos n1 n2 cos n a 4 由于两条直线所成的角 线面角都是锐角或直角 因此可直接通过绝对值来表达 故可直接求出 而二面角的范围是 0 有时比较难判断二面角是锐角还是钝角 因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断 故这是求二面角的难点 5 异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角 而向量夹角的范围为 0 所以从范围上讲 这两个角并不一致 但却有着相等或互补的关系 所以它们的余弦值相等或互为相反数 向量夹角为0和 时除外 1 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 以上均错 答案 C 异面直线所成的角 总结反思 1 向量法求异面直线所成的角的特点是程序化 即建坐标系 设点 求向量 考查数量积 2 方法二是求两异面直线所成的角的一般方法 通常是平移变异面直线为相交直线 然后解三角形 在求两条直线所成的角时 容易忽略了两直线所成角的范围 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时 若向量夹角为锐角 或直角 则等于异面直线所成的角 若向量夹角为钝角 则它的补角等于异面直线所成的角 求二面角的大小 总结反思 本题考查空间中线面关系的判定 空间角的求法 在判断空间中直线位置关系时 常用勾股定理逆定理来证明线线垂直 求二面角的平面角是高考重点 可用空间向量来解决 还有面积法 异面直线法 作三垂线定理法等要灵活应用 证明 解法1 1 连接OC 因为OA OC D是AC的中点 所以AC OD 又PO 底面 O AC 底面 O 所以AC PO 因为OD PO是平面POD内的两条相交直线 所以AC 平面POD 而AC 平面PAC 所以平面POD 平面PAC 2013 新课标 理 18 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 直线与平面的夹角 1 证明 AB A1C 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 2 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值 解析 1 取AB中点O 连接CO A1B A1O AB AA1 BAA1 60 BAA1是正三角形 A1O AB CA CB CO AB CO A1O O AB 平面COA1 AB A1C 2 由 1 知OC AB OA1 AB 又 平面ABC 平面ABB1A1 平面ABC 平面ABB1A1 AB OC 平面ABB1A1 OC OA1 如图所示 已知直角梯形ABCD 其中AB BC 2AD AS 平面ABCD AD BC AB BC 且AS AB 求直线SC与底面ABCD的夹角 的余弦值 2014 天津理 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 点E为棱PC的中点 向量法的综合应用 1 证明 BE DC 2 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 3 若F为棱PC上一点 满足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 解析 解法一 依题意 以点A为原点建立空间直角坐标系 如图 可得B 1 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 由E为棱PC的中点 得E 1 1 1 方法二 1 证明 如图 取PD中点M 连接EM AM 3 解 如图 在 PAC中 过点F作FH PA交AC于点H 因为PA 底面ABCD 故FH 底面ABCD 从而FH AC 又BF AC 得AC 平面FHB 因此AC BH 在底面ABCD内 可得CH 3HA 从而CF 3FP 在平面PDC内 作FG DC交PD于点G 于是DG 3GP 由于DC AB 故GF AB 所以A B F G四点共面 由AB PA AB AD 得AB 平面PAD 故AB AG 所以 PAG为二面角F AB P的平面角 总结反思 1 当空间直角坐标系容易建立 有特殊的位置关系 时 用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 经过简单的运算即可求出 有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面