2018年高中数学_第一章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用课件4 新人教b版选修2-2

1 3 3导数的实际应用 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积V x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 如果函数f x 在开区间 a b 上只有一个极值点 那么这个极值点必定是最值点 问题1 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128cm2 上下边各空2cm 左右空1cm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128cm2 上下边各空2cm 左右空1cm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 求导数 有 解得 x 16 x 16舍去 因此 x 16是函数s x 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16cm 宽为8cm时 能使四周空白面积最小 答 当版心高为16cm 宽为8cm时 海报四周空白面积最小 解法二 由解法 一 得 练习1 一条长为l的铁丝截成两段 分别弯成两个正方形 要使两个正方形的面积和最小 两段铁丝的长度分别是多少 则两个正方形面积和为 由问题的实际意义可知 例3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 1 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 2 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 背景知识 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 问题 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为 cm时 利润最小 这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 半径为 cm时 利润最大 解决优化问题的方法之一 通过搜集大量的统计数据 建立与其相应的数学模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有利的工具 其基本思路如以下流程图所示 方法小结 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 表面积 设半径为R 则高为h 表面积写成R的函数 问题就转化求函数的最值问题 解 设圆柱的高为h 底半径为r 则表面积S 2 rh 2 r2 由V r2h 得 则 令 解得 从而 即h 2r 由于S r 只有一个极值 所