直线与平面垂直的判定和性质.doc

直线与平面垂直的判定和性质1.定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面2. 直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3.直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行4.唯一性定理（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。5.距离（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离（2）直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离6、平面的斜足、斜线、斜线在平面内的射影（1）直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交。此时叫平面的斜线；直线与平面斜交于点，点叫斜足。（2）点的射影：直线于，点是点在内的射影。是到平面的垂线段。（3）直线在平面上的射影：直线叫作直线在平面上的射影。射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影较长；（3） 垂线段比任何一条线段都短。7、直线与平面所成的角：（1）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（2）直线和平面垂直，它们所成的角是；（3）直线在平面内或与平面平行，它们所成的角是；注：一条直线和平面所成的角的范围是直线和平面所成角的步骤 ： 作图找出或作出直线在平面上的射影 证明证明所找或所作的角即为所求角 计算通常在三角形中计算角8三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面上的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直例题： 1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A 垂直 B 平行 C 相交不垂直 D 不确定2、下列命题中错误的是（ ）A若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线B若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直C若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则此直线垂直于这一平面D若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直3.如图，已知正四棱柱中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C平面BDE；4.如图，四面体ABCD中，O分别是BD的中点，求证：平面BCD；5.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是()A30 B45 C60 D1506.如图，已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA底面ABC，SA3，那么直线SB与平面SAC所成角的正弦值为_7如图，直线l是平面的斜线，AB，B为垂足，如果=45，AOC=60，则BOC=（）A45B30C60D158.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求： DCABA1B1D1C1（1）直线与平面ABCD所成角的正弦值。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角；课堂练习：1.若直线与异面，则过且与垂直的平面（）A 有且只有一个 B 可能有一个也可能不存在C 有无数多个 D 一定不存在2.若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（） A B ， C D ，3.以下条件中，能判定直线垂直平面的是（） A与平面内的一条直线垂直 B与平面内的一个三角形的两边垂直C与平面内的两条直线垂直 D与平面内的无数条直线垂直4.已知直线，则直线与所成角的大小为 5.正方体中，、分别是棱和上的点，若是直角， 6.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且，分别为的中点（）求证：；（）求与平面所成的角7.已知直线a与平面所成的角为30，P为空间一定点，过P作与a、所成的角都是45的直线l，则这样的直线l可作（）条A2B3C4D无数8.已知PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，且，求：（1）直线与平面ABCD所成角；（2）直线与平面PAB所成角；课后作业：1正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为（）ABCD2、在下列四个正方体中，能得出的是（ ）3、在直四棱柱中，当底面四边形满足条件_时，有。 (注：填上你认为正确的一种条件即可）4.如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一矩形。（1）求证：CD平面EFGH；（2）求异面直线AB、CD所成的角5、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，作交于点，（1）证明平面；（2）证明平面；6、如图，几何体ABCDE中，ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD平面ABC；（2）求证：AFBD；7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点求证：(1)MN平面ABCD； (2)MN平面B1BG. 8.如图，