2018-2019学年八年级数学下册_第一部分 基础知识篇 第14课 三角形中位线的应用例题课件 （新版）浙教版

例1 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 点E F分别是AO AD的中点 若AB 6cm BC 8cm 则 AEF的周长 cm 重点中学与你有约 解题技巧 四边形ABCD为矩形 ABC 90 AC BD AD BC AB 6cm BC 8cm AEF的周长 AE AF EF 9cm 故答案为9 点E F分别是AO AD的中点 EF是 AOD的中位线 举一反三 思路分析 根据矩形的性质 可以得到 AOB是等边三角形 则可以求得OA的长 进而求得AC的长 再利用三角形中位线定理得出 BEF的周长为 BOC周长的一半求出即可 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O AOB 60 点E F分别是BO BC的中点 若AB 6cm 则 BEF的周长为 cm 失误防范 三角形中位线的概念 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 例2 如果三角形的两边长分别是方程x2 8x 15 0的两个根 那么连接这个三角形三边的中点 得到的三角形的周长可能是 A 5 5B 5C 4 5D 4 重点中学与你有约 解题技巧 解一元二次方程x2 8x 15 0 得三角形两边分别为3和5 由三角形中位线定理得中点三角形周长m的范围是 5 m 8 故选A 设三角形第三边长为a 则2 a 8 三角形的周长l范围是 10 l 16 举一反三 思路分析 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 因式分解法解一元二次方程 三角形的三边关系 熟记定理以及各性质并求出中点三角形的周长的取值范围是解题的关键 如果三角形的两边分别是方程x2 9x 20 0的两个根 那么以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长可能是 A 5 5B 5C 4 5D 4 失误防范 利用三角形中位线求周长 如果三角形的两边分别是一元二次方程的两个根 那么先解出一元二次方程 求出三角形的两边 再根据三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围 然后求出原三角形的周长 然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求出中点三角形的周长的取值范围 再根据各选项的数据选择即可 例3 如图 ABC的周长为26 点D E都在边BC上 ABC的平分线垂直于AE 垂足为Q ACB的平分线垂直于AD 垂足为P 若BC 10 则PQ的长为 A B C 3D 4 重点中学与你有约 解题技巧 BQ平分 ABC 且BQ AE 在 ABQ和 EBQ中 ABQ EBQ AQ EQ BA BE 同理 CD CA AP DP ABC的周长 AB BC CA AB 10 CA 26 AB CA 16 BE CD 16 10 DE 16 DE 6在 ADE中 AQ EQ AP DP PQ是 ADE的中位线 PQ DE 3 故选C 举一反三 思路分析 根据等腰三角形三线合一的性质可得AE DE 然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 然后判断出 AFE的周长 1 2 ABD的周长 如图 在 ABC中 BC AC 点D在BC上 且DC AC ACB的平分线CE交AD与E 点F是AB的中点 若 ABD的周长是20 则 AFE的周长为 A 5B 10C 12D 15 举一反三 失误防范 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 与中点有关的概念 等腰三角形底边的中线三线合一 底边的中线 顶角的角平分线 底边的高重合 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 例4 点O是 ABC所在平面内一动点 连接OB OC并将AB OB OC AC中点D E F G依次连接起来 设DEFG能构成四边形 1 如图 当点O在 ABC内时 求证 四边形DEFG是平行四边形 2 当点O在 ABC外时 1 的结论是否成立 画出图形 指出结论 无须说明理由 3 若四边形DEFG是菱形 则点O的位置应满足什么条件 试说明理由 重点中学与你有约 解题技巧 1 证明 AB OB OC AC中点分别为D E F G DG EF分别为 ABC和 OBC的中位线 DGBC EFBC DGEF 四边形DEFG是平行四边形 2 如图所示 成立 理由 由 1 知 DGBC EFBC DGEF 四边形DEFG是平行四边形 3 当点O满足OA BC 四边形DEFG是菱形 理由 由题意 DG BC DE OA OA BC DG DE 四边形DEFG是菱形 举一反三 已知 如图 在菱形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O 点E F G H分别是OA OB OC OD的中点 求证 四边形EFGH是菱形 思路分析 由菱形的性质结合三角形中位线定理 可得EF FG GH HG 可证明四边形EFGH是菱形 答案 E F为OA OB的中点 EF为 OAB的中位线 EF 0 5AB 同理可得FG 0 5BC GH 0 5CD HE 0 5AD 又 四边形ABCD为菱形 AB BC CD DA EF FG GH HE 四边形EFGH为菱形 失误防范 菱形常用三种判别方法 定义 四边相等 对角线互相垂直平分 例5 如图 M是 ABC的边BC的中点 AN平分 BAC BN AN于点N 且AB 10 BC 15 MN 3 则 ABC的周长等于 A 38B 39C 40D 41 重点中学与你有约 解题技巧 延长BN交AC于点D AN平分 BAD BAN DAN 又AN BD于点N ANB AND 90 ABD ADB AD AB 10 BN ND 又 BM NC CD 2MN 2 3 6 AC AD CD 10 6 16 ABC的周长为 AB AC BC 10 16 15 41 故选D 5 如图 M是 ABC的边BC的中点 AN平分 BAC BN AN于点N 且AB 10 BC 15 MN 3 则 ABC的周长等于 A 38B 39C 40D 41 举一反三 如图 D是 ABC的BC边的中点 AE平分 BAC AE CE于点E 且AB 10 AC 16 则DE的长度为 思路分析 延长AB CE交于点F 通过ASA证明 EAF EAC 根据全等三角形的性质得到AF AC 16 EF EC 进一步得到BF 6 再根据三角形中位线定理即可求解 答案 延长AB CE交于点F AE平分 BAC AE CE EAF EAC AEF AEC 又 AE AE EAF EAC ASA AF AC 16 EF EC BF 6 又 D是BC中点 BD CD DE是 BCF的中位线 DE 0 5BF 3 故答案为 3 失误防范 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于三角形的第三边 且等于第三边的一半 例6 如图 在 ABC中 B 2 C AD BC于D M为BC的中点 AB 10cm 则MD的长为cm 重点中学与你有约 解题技巧 如图 取AB中点N 连接DN MN AD BD N为AB中点 AB 10 DN 0 5AB BN 5 NDB B 又 M N分别是BC AB的中点 MN AC NMD C 又 B 2 C NDB 2 NMD 又 NDB NMD DNM NMD DNM DM DN 5 故DM的长为5 6 如图 在 ABC中 B 2 C AD BC于D M为BC的中点 AB 10cm 则MD的长为cm 举一反三 如图 在 ABC中 AB 12 AC 18 AD是 BAC的平分线 过点B作AD的垂线 交AD于D M是BC的中点 求MD的长 思路分析 延长BD交AC于点N 易证 ADN ADB 则AN AB DN BD 则DM是 BCN的中位线 根据三角形的中位线定理即可求解 答案 延长BD交AC于点N 在 ADN和 ADB中 NAD BAD AD AD ADN ADB ADN ADB AN AB 12 ND ND CN AC AN 18 12 6 ND BD CM BM DM 0 5CN 0 5 6 3 失误防范 与中点有关的辅助线 秘籍一 倍长中线解读 凡是出现中线或类似中线的线段 都可以考虑倍长中线 倍长中线的目的可以旋转等长度的线段 从而达到将条件进行转化的目的 失误防范 秘籍二 构造中位线解读 凡是出现中点 或多个中点 都可以考虑取另一边中点 或延长三角形一边 从而达到构造三角形中位线的目的 失误防范 秘籍三 构造三线合一解读 只要出现等腰三角形 或共顶点等线段 就需要考虑构造三线合一 从而找到突破口 失误防范 秘籍四 构造斜边中线解读 只要出现直角三角形 或直角 则考虑连接斜边中线段 第一可以出现三条等线段 第二可以出现两个等腰三角形 从而转化线段关系 例7 如图 以 ABC的边AB AC边为斜边向形外作Rt ABD和Rt ACE 且使 ABD ACE M是BC的中点 求证 DM ME 重点中学与你有约 解题技巧 如图 取AB中点P 连接DP PM 取AC中点Q 连接QE QM 由题意 得DP AB QE AC PMAC MQAB DP QM PM QE 又 DPM 1 2 2 DAB BAC MQE 3 4 2 EAC BAC ABD ACE DAB EAC DPM EQM DPM MQE 故DM ME 7 如图 以 ABC的边AB AC边为斜边向形外作Rt ABD和Rt ACE 且使 ABD ACE M是BC的中点 求证 DM ME 举一反三 如图 以任意 ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE F G分别是线段BD和CE的中点 求CD FG的值 举一反三 思路分析 取BC的中点H 连接BE FH GH 求出 BAE DAC 然后利用 边角边 证明 ABE和 ADC全等 根据全等三角形对应边相等可得BE CD 全等三角形对应角相等可得 ABE ADC 然后求出BE CD 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FH CD且FH 0 5CD GH BE且GH 0 5BE 然后求出 HFG是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形的性质可得FH FG的值 然后求出CD FG的值即可 答案 如图 取BC的中点H 连接BE FH GH BAD CAE 90 BAD BAC CAE BAC 即 BAE DAC 又AB AD AC AE ABE ADC SAS BE CD ABE ADC BDC DBE BDA ABD 90 BE CD 又 F G分别是线段BD和CE的中点 FH GH分别是 BCD和 BCE的中位线 FH CD且FH 0 5CD GH BE且GH 0 5BE HFG是等腰直角三角形 如图 以任意 ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE F G分别是线段BD和CE的中点 求CD FG的值 失误防范 1 构造三角形中位线 考点说明 凡是出现中点 或多个中点 都可以考虑取四边形对角线中点 等腰三角形底边中点 直角三角形斜边中点或其他线段中点 延长三角形一边 从而达到构造三角形中位线的目的 题中有中点 莫忘中位线 与此很相近的几何思想是 题中有中线 莫忘加倍延 这两个是常用几何思想 但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来 平移也有类似功效 失误防范 2 三角形中位线辅助线的应用 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理 它不仅反映了图形间线段的位置关系 而且还揭示了线段间的数量关系 利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题 借助中位线定理选择结论 借助中位线定理求长度 借助中位线定理说理 失误防范 3