零件的参数设计.doc

【摘要】 本题采用非线性规划的思想建立模型,将零件的标定值和容差作为一个整体的解看待,通过求解有约束的非线性规划的最小值问题,找到一组最优解。在模型中还给出了一个合理的质量损失的函数表示，使求解时避免了复杂的概率计算。在具体实现算法时，我们采用了将离散变量和连续变量进行分离处理的方法，综合考虑了算法对最优解的逼近程度和时间开销，得到比较满意的解。在解题时我们应用了Matlab 5.3软件。【关键字】非线性规划 期望 方差 一、问题重述 一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素：1、 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。2、 零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法。粒子分离器某参数（y）由7个零件的参数（记作x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验公式为y的目标值（记作y0）为1.50，当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1，000元，当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9，000元。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%,B等为5%,C等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无此等级零件）标定容许范围C等B等A等X10.075,0.125/25/X20.225,0.3752050/X30.075,0.1252050200X40.075,0.12550100500X51.125,1.87550/X612,201025100X70.5625,0.935/25100现成批生产，每批生产1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、x6=16、x7=0.75;容差均选最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。二、问题的假设 1、假设组成产品的各个零件互不影响。即若将各零件的参数视为随机变量，它们相互独立。 2、生产过程中除质量损失外不再有其它形式的损失。 3、题目所给经验公式在给定的参数变化范围内有效。 4、在大批量生产当中,假设整批零件都处于同一等级。本题中可视1000个零件都是A等、B等、或C等。三、参数的说明y 表示粒子分离器的某参数y0 表示粒子分离器的该参数的目标值, 为1.50X0 表示七个零件参数的标定值向量X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) 表示第i种零件的容差 i=1 27 表示第i种零件的均方差 i=1 27 表示第i种零件的相对容差 i=1 27 表示参数y的期望值 表示参数y的均方差f(X) y关于X的经验公式F(y) 表征质量损失的函数 相对容差为的第i种零件的成本 i=1 27C(m) 产品的总成本函数P(X,m) 总费用函数E(F(y) F(y)的期望四、模型的建立1、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。”这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要y不等于y0那麽就有质量损失;损失值与|y-y0|成正比。因此,给出如下函数 F(y)=k其中,k是常数。将题目中所给的两组损失数值代入上式,求得k=100000。因此 (1)(1) 式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。2、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和y偏离y0造成的质量损失。零件成本只取决于零件的相对容差，设第i种零件的成本为，则七种零件总成本为y是由零件参数X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)决定的，即经验公式y=f（X0），由假设xi可视为相互独立的随机变量，那麽y也是随机变量。大量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表征质量损失的函数F(y)的期望来度量。而该期望又由各种零件参数的标定值X0和相对容差决定。设总费用函数为P,那麽 (2)3、下面讨论(2)的具体表达式。由 其中是y的期望值, 是的y方差。现在来推导与。 将y=f(X0)在X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)处进行Taylar展开,并略去二阶以上各项。则y=+那麽 = =D =()D() =()D() = (3)其中 = 是的均方差从题目中以知,零件的容差 , 相对容差 ,将这些代入上式(3),则目标函数的最终表达式为=+ (*)五 模型的求解由于所求解中,包含连续变量标定值X0,也包括离散变量相对容差mi,因此给求解带来困难，我们采用分离方法求解。从容差表中可知,七种零件的容差共有1233132=108种组合,可以采用穷举法,求出每种容差组合m0=(m1,m2,m7)下的最优解X0和P1,此时求P1的表达式为:Min =+s.t. i=1,2,3,4,5,6,7 、是标定值的上下限 而此种组合下的总成本为P=P1+C(m0)再对108个总费用进行比较，找出其中最小的，其对应的X0和m0组合，既是所要找的解。六、结果与分析原设计的单位零件费用为: 6507.2元求得最优的零件标定值和相对容差为:x1x2x3x4x5x6x70.07500.36430.12500.10891.276115.98340.6328m1m2m3m4m5m6m75%5%5%10%10%5%5%对应的单个零件的最小费用为:P=751.0918元参数分析:为了了解各参数对最优设计方案的影响，有必要将各参数对优化设计方案的影响进行分析。在求得的最优解的基础上，有规律的变化其中某一变量值，而保持其它参数值不变，观察其对目标函数值的影响。下面为目标函数在最优解附近对各参数的敏感程度曲线。从上图可以看到，x1，x2，x3的变化对目标函数值的影响较大；而x4，x5，x6，x7的变化对目标函数值的影响较小。而且各参数标定值在减小和增大时对目标函数的影响亦不同。再考虑各参数的容差的变化对目标函数的影响。在最优解容差的基础上，改变一个参数的相对容差，可求得对应的一组参数标定值和单个零件的最小费用。列表如下：相对容差m2=10%m3=1%m4=1%m6=1%m7=1%单个产品费用（元）845858.87531186.8808.8808.8相对容差m3=10%m4=5%m6=10%单个产品费用（元）853.5556792.3693780.4050由表格可以看到，m4的变化对目标函数值的影响最大，其次为m3、m2，而m6、m7影响最小。七、 模型的评价优点：1、模型有概率理论作基础，得到的结果将总费用从原来的6507.2(元/单个产品)降低到751.0918(元/单个产品), 降幅达88.46%,这个结果是令人十分满意的。同时，报告中所采用的模型对求解这一类问题有一定的通用性。2、该模型对于质量损失函数的计算,采用了y对y0的偏离会连续的影响最终产品的质量这一思路。也可以采用如下的分段函数形式。 (*)若采用上述形式,得到的结果会小些,但并不完全符合质量损失函数的两个特点,并且采用(*)式建模需要进行复杂的概率计算。所以我们采用(*)式作为表征质量损失的函数,无论目标函数的形式还是算法都大为简化。3、 在用Matlab编程求解时，先使用了符号变量的形式对公式进行运算，再将数值代入求解非线性最优化问题的解。这样有利于提高运算速度和计算精度。缺点：1、 在对时间和计算复杂性综合考虑的基础上，