近三年高考中的线性规划问题赏析.doc

中学数学月刊2010第4期近三年高考中的线性规划问题赏析 顾日新 苏州新区第一中学 2150111 问题的提出线性规划问题在近三年全国及各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求。下面，我们先来了解一下线性规划在近三年高考中各省市的命题情况。2线性规划在近三年高考中各省市的命题情况统计表北京山东上海天津湖北全国全国浙江安徽重庆07约束条件含参距离截距截距可行域约束条件含参距离截距08截距目标函数含参最值截距可行域截距截距面积面积09截距截距、最值截距截距截距截距参数/面积陕西湖南江苏广东江西海南宁夏四川福建辽宁07截距约束条件含参面积可行域截距斜率08约束条件含参截距截距斜率截距09目标函数含参截距截距面积根据上表统计，07、08两年线性规划问题在高考试题中都出现了14次，09年是11次。知识点的考查以截距型背景为主；考查难度上，各省市表现并不均衡，大部分省市（如北京、天津、辽宁等）的试题则比较简单平和，而北京、上海、浙江、山东等省市的试题曾以压轴题的形式出现过，考查难度明显加大，对学生的能力要求明显提高。下面择其中的典型试题进行归类分析，以帮助同行进行线性规划的专题复习。3典例简析3.1截距型问题例1（08北京文6）若实数满足则的最小值是 （ ）A0 BC1D2解析：如图1，阴影部分表示不等式组对应的可行域，其中，分别代入，得，答案选A。评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值。结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得。掌握此规律可以有效避免因草图太草而造成的视觉误差。3.2 距离型问题例2（07安徽理7）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为 （ ）A. B. C. D.解析：如图2，阴影部分为点所在的平面区域，点在圆上，则的最小值为圆心到直线x2y+1=0的距离减去半径1，即为1，答案选A。评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间的距离的取值。结合图形易知，可行域的顶点及定点在可行域边界线上的垂足是求解距离取值的关键点。3.3 斜率型问题例3（08福建理8）若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）A.(0,1) B.C.(1,+)D. 解析：如图3，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，答案选C。评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值。结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点。在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1。3.4 平面区域的面积问题例4（09安徽文3）不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）A. B. C. D. 解析：如图4阴影部分所示，平面区域的面积为：。评注：本小题属于基本题，主要考查了简单的线性规划问题，考查学生的画图能力，以及数形结合的思想方法。 例5（07江苏10）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 （ ）A B C D解析：令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图5阴影部分，则平面区域的面积为211，答案选B。评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域。例6（08安徽卷理15）若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 。解析：如图6，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中：。当从2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：。评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键。例7（08浙江卷理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于_。解析：如图7，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1。评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可。作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单。例8（09福建文9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 （ ）A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：如图8所示，阴影部分为不等式组所对应的平面区域，其中点，则即。答案选D。评注：直线过定点，画出不等式组所对应的三角形区域是解决本题的关键。3.5 约束条件中的参数问题例9（07北京理6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 。解析：如图9，阴影部分为不等式且且对应的可行域，其中过点、分别作斜率都等于-1的直线、，结合图形易知，要使得原不等式组表示的平面区域是一个三角形， 则直线应位于直线与之间（包括），或位于直线的右上方（包括），所以或。评注：题设不等式组对应的平面区域随参数的变化而变化，先局部后整体是突破的关键。因考虑不周而造成漏解是学生易犯的错误之一。作为该试卷的一道压轴题，有着较好的区分度。例10（07浙江17）设为实数，若，则的取值范围是_。解析：如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是。评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对学生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求，确实是一道内涵丰富、波澜壮观的压轴好题。3.6 目标函数中的参数问题例11（09陕西理11）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）A（，2） B（，2） C D 解析：如图11，阴影部分三角形ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，根据题意，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则有且，解之得a的取值范围是（，2 ）,答案选B。评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的关键点的规律。 例12（08山东理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（ ） A1,3 B2, C2,9 D,9解析：如图12，阴影部分为不等式组所对应的平面区域M，其中，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M，由图易知，只须区域M的顶点不位于函数yax图象的同侧，即不等式(a0，a1)恒成立，所以，答案选C。评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律。作为压轴题，体现了较好的区分度。3.7其它例13（2008上海文11）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为。如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是。解析：如图13，因为，则对于点，其横坐标的值固定时，纵坐标的值越大，的值就越大。所以，当取到最大值时，点一定在三角形区域的边界边，或边上。又，则当点在边上时，=（当时取“=”）；当点在边上时，=（当时取“=”）。所以，此时点的坐标是。评注：结合图形，找出取最大值时对应的点必在区域的上边界是本题最为关键的突破口；另外，在与两个变量中，通过先固定一个变量，再变化另一个变量去寻找规律的方法也是值得去用心体会的。例14（09山东理12）设x，y满足约束条件 ，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4解析：如图14，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中：，显然，当直线过点时，目标函数取得最大值12，即，=,答案选A。评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问