Logistic模型在人口预测中的应用.doc

文章编号 :167421404 (2008) 0420333203Logist ic 模型在人口预测中的应用阎 慧 臻( 大连工业大学 信息科学与工程学院 , 辽宁 大连 116034 )摘要 : Lo gi stic 单种群模型是研究有限空间内生物种群增长规律的重要数学模型. 本文利用 Lo gi stic 模型对中国人口进行了预测 ,建立了人口预测公式 。通过与实际人口相比较 ,结果表明 ,利用该预测公式 进行人口预测是比较符合实际情况的 。关键词 : Lo gi stic 模型 ; 人口 ; 预测中图分类号 : O29 ; Q141文献标志码 : AAppl icat ion of logist ic model in populat ion predict ionYANHui2zhe n( School of Informational Scie nc e and Engine e ring , Dalian Polyte chnic Unive r sity , Dalian 116034 , China )Abstract : Lo gi stic si ngle pop ulatio n mo del i s i mpo r t a nt fo r st udyi ng t he i ncrea si ng law s of t he biolo gi2 cal pop ulatio n i n li mit ed sp ace . In t hi s p ap er , t he pop ulatio n of Chi na ha s bee n p redict e d u si ng Lo gi s2 tic mo del , a nd t he fo r mula of pop ulatio n p redictio n ha s bee n o bt ai ned . Co mp a red wit h t he act ual pop2 ulatio n , pop ulatio n p re dictio n u si ng t hi s fo r mula i s i n acco r da nce wit h t he real sit uatio n .Key words : lo gi stic mo del ; pop ulatio n ; p redictio n引言群增长过程并在相近领域得到广泛渗透和应用 。本文将 Lo gi stic 种群模型用于人类即为人口 增长模型 ,用此模型描述人口增长规律 ,其优点在 于此模型考虑了自然资源 ,环境条件等因素对人 口连续增长的阻滞作用 ,能够较好地描述当人口 增加到一定数量后 ,人口或其他生物种群的增长 规律 ,比较符合实际情况。0人口是反映国情 、国力基本情况的重要指标 ,是区域研究所必须考虑的重要因素之一 ,是分析 现状、制订规划时首先要考虑的基本问题。并且 , 人口是衡量城市化水平的决定性因素之一 。故对人口预测是制定和顺利实现社会经济各项战略设 想的基础和出发点 ,是制定正确人口政策的科学 依据 124 。预测人口的方法很多 ,目前最常用的是 自然增长率法 5 和年龄移算法 6 。这两种方法受 到人口政策、社会经济发展水平、文化教育和医疗卫生条件的严重影响 。而且随着社会经济情况和 医疗卫生条件的变化使人们的生育观念 、各年龄 段的死亡率也发生变化。所以这两种方法的预测 结果与实际往往有一定的差距 。Lo gi stic 模型是研究有限空间内生物种群增长规律的重要数学模型 ,其他各种生态模型都是 由 Lo gi stic 模型演 变而 来的。Lo gi stic 模型 自1938 年由荷兰数学生物学家 Ver h ul st 提出以来 至今 ,一直被生态学家用来模拟、描述各种生物种Logist ic 种群增长模型1Lo gi stic 模型曲线主要用来描述在环境资源受限制的情况下 ,生物种群的增长规律 。它的基 本形式是x ( t)d x1 -= rx ( t)( 1)d tN式中 , x ( t) 表示 t 时刻种群的数量 ; r 是种群的内禀增长率 ( 即增长率减去死亡率) ; N 为环境能容 纳的种群的最大数量。式 ( 1) 的平衡点为 : x = 0 或 x= N 。由微分方程稳定性理论 7 可知 : x = 0 是不收稿日期 : 2008206206 .作者简介 : 阎慧臻( 19652) ,女 ,教授.大连工业大学学报第 27 卷334稳定平衡点 , x= N 是稳定平衡点。1 . 1利用可分离变量法求 logist ic 模型的解析解 应用微分方程的分离变量法 , 可求得式 ( 1)的解析解为x1 = 80 . / 1 + (80/ 1 - 1) 3 e xp ( - 0 . 7 3 t ) ;x2 = 80. / 1 + (80/ 100 - 1) 3 exp ( - 0. 7 3 t) ; x3 = 80. / 1 + (80/ 20 - 1) 3 exp ( - 0. 7 3 t) ; x4 = 80. / 1 + (80/ 140 - 1) 3 exp ( - 0. 7 3 t) ; x5 = 80. / 1 + (80/ 80 - 1) 3 exp ( - 0. 7 3 t) ;p lo t ( t ,x1 ,t ,x2 ,t ,x3 ,t ,x4 ,t ,x5)执行程序后得出图像如图 1 。Nx ( t) =( 2)Ne- rt11 +-x 0式中 , x0 为初始时刻种群的数量 。下面给出两组 N 、r 及初值 x 0 ,NN= 50 ,= 80 ,x0x0= 10 , r = 0 . 5 ;= 30 , r = 0 . 7 。分别带入式 ( 2) , 得出结果见表 1 。Mat la b 计算程序如下 :t = 0 :1 :20 ;x = 50 . / 1 + (50/ 10 - 1) 3 e xp ( - 0 . 5 3 t ) t = 0 :1 :20 ;x = 80 . / 1 + (80/ 30 - 1) 3 e xp ( - 0 . 7 3 t ) 1 . 2用 Matla b 软件绘制解曲线下面利用 Mat la b 软件绘制 Lo gi stic 模型解 析解的图像。令环境容纳量 N = 80 , 内禀增长率 r = 0 . 7 。分别取初值 x01 = 1 , x02 = 20 , x03 = 80 , x04= 100 , x05 = 140 。其中 x01 , x02 小于 N , x03 等于 N , x04 , x05 大于 N 。Mat la b 程序如下 :t = 0 :1 :25 ;图 1解析解曲线图Fig. 1 Curve of a nalytic sol utio n在图 1 中 , 5 条曲线分别对应初值不同的 5 个解析解。无论初值 x0 n 大于 、等于还是小于环境容 纳量 N , 当时间 t + 时 , 种群数量 x ( t) 总会趋近于 N , 即平衡点 x= N 是稳定的 。1 . 3用四阶龙格2库塔方法求数值解 四阶龙格2库塔方法其每一步需要 4 次计算函数值 f , 可以直接验证它具有四阶精度。 这里用 Wi nt c 编程软件编制四阶龙格2库塔方法求解程序 。得出结果见表 1 。表 1Lo gi stic 模型解析解与数值解及其误差表Ta b. 1 A nalytic sol utio n 、numerical sol utio n a nd er ro r val ue of Lo gi stic mo delN = 50 , x 0 = 10 , r = 0 . 5N = 80 , x 0 = 30 , r = 0 . 7t/ 年解析解/ 万数值解/ 万误差/ 万解析解/ 万数值解/ 万误差/ 万01231014 . 593 020 . 230 526 . 419 81014 . 593 220 . 229 426 . 418 500 . 000 20 . 001 10 . 001 33043 . 772 256 . 697 666 . 440 03043 . 770 156 . 693 566 . 431 600 . 002 10 . 003 10 . 008 417181949 . 959 349 . 975 349 . 985 049 . 959 249 . 975 249 . 985 00 . 000 10 . 000 1079 . 999 179 . 999 679 . 999 879 . 999 179 . 999 579 . 999 800 . 000 10 20 49 . 990 9 49 . 990 9 0 79 . 999 9 79 . 999 9 0 N( 3)x1=利用 Logist ic 模型进行人口预测2 Ne- r11 +-x 0将 Lo gi stic 种群模型用于人类即为人口模型。现用该模型对我国人口进行分析预测 。 从文献 8 获得人口数据如表 2 , 为了计算式( 2) 中的 r 、N , 选择 t0 、t1 、t2 三年的人口数据 x0 、x1 、x2 , 其中 t1 - t0 = t2 - t1 = , 由N( 4)x2= Ne- r11 +-x 11111得e - r=+-,N x0Nx1阎慧臻 :Lo gi stic 模型在人口预测中的应用第 4 期335从表 2 可知 ,各年份预测值与实际人口数符合情况较好 。下面利用公式 (7) 分别对 2008 、2020 、2050 年 我国人口数进行预测。结果见表 3 。表 3我国人口预测值Ta b. 3 Predicted val ue of China pop ulatio n 11 1 = 1e - r1-+Nx1Nx2111e- r所以- =-( 5)x0x1x1 x2由式 ( 3) 、( 5) 得11- rr = 1 l nx0x11 - e( 6)N = 1 1 1 1 e- r年份200820202050-x1x2x1x0预测值/ 亿13 . 263 513 . 760 014 . 183 3由于数据取自 1985 2006 年 , 为此选择1985 、1995 、2005 间 距 相 等 的 3 个 年 份 x0 =结论310 . 585 1 、x1 = 12 . 112 1 、x2代入式 ( 6) 得= 13 . 075 6 , = 10 ,运用 Lo gi stic 模型 ,建立了中国人口的预测公式 ,利用该公式 ,对中国 19852006 年的人口 进行了检验 。通过与中国 1985 2006 年的实际 人口相比较 ,可以看出 ,用该公式对中国人口进行 预测的结果与中国实际人口符合情况较好 ,最大 误差为 0 . 26 % 。运用该公式 ,对我国 2008 、2020 、2050 年人口数进行了预测 ,预测结果为 : 2008 年 我国人口数约为 13 . 263 5 亿 ,2020 年我国人口数 约为 13 . 760 0 亿 , 2050 年我国人口数约为 14 .183 3 亿。N = 14 . 251 5 。r = 0 . 066 82 ,将 r 、N 、x0 代入式 ( 2) 得14 . 251 5x ( t) =( 7)1 + 0 . 346 4 e- 0 . 066 82 t式 (7) 即为我国人口数量的预测公式 。把各年份数据代入式 (7) ,通过计算机计算结 果见表 2 。表 2中国各年份实际人口数、预测值 及预测误差Tab. 2 Act ual val ue 、p redicted val ue a nd p re2 dictio n e r ro r of Chi na pop ulatio n 参考文献 :年份实际人口/ 亿预测人口/ 亿误差/ 亿百分比/ % 1 潘龙. 现阶段我国城市人口规模预测方法探讨 J .安徽建筑工业学院学报 :自然科学版 ,2001 ,9 ( 2) : 56258 . 2 门可佩 ,曾卫. 中国未来 50 年人口发展预测研究J .数量经济技术经济研究 ,2004 (3) :12217 . 3 蒋辉. 我国人口预测分析 J . 科技管理研究 , 2005 (11) :1422145 . 4 王梅莹. 再论城市人口规模预测方式J . 山西建筑 ,2008 ,34 (19) :1112112 . 5 胡庆灵 ,姚文辉 ,李红霞. 基于 Bo x2J enki ns 建模法的 人口自然增长率预测模 J . 统计与决策 , 2007 ( 3) :426 . 6 宋新华 ,张国彬. 用年龄移算法预测通州市 2010 年 老年人口状况J . 交通医学 , 2000 (5) :467 . 7 王高雄 ,周之铭 ,朱思铭. 常微分方程 M . 2 版. 北 京 :高等教育出版社 , 2004 . 8 张云海 ,王朔. 中国统计年鉴 M . 北京 :中国统计出 版社 , 2007 .19851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004200510 . 585 110 . 750 710 . 930 011 . 102 611 . 270 411 . 433 311 . 582 311 . 717 111 . 851 711 . 985 012 . 112 112 . 238 912 . 362 612 . 476 112 . 578 612 . 674 312 . 762 712 . 845 312 . 922 712 .