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图形的认识目录第32课时 圆的有关性质第33课时 直线与圆的位置关系第34课时 圆与圆的位置关系第35课时 圆弧、扇形和圆锥的计算问题第六单元 图形的认识（二）第32课时 圆的有关性质|考点聚焦|考点1 圆的有关概念 1圆是平面内到一个 的距离等于 的所有点组成的图形， 叫做圆心， 叫做半径 圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形2连结圆上任意两点的线段叫做 ；经过圆心的弦叫做 ；圆上任意两点间的部分叫 ；大于半圆的弧叫做 ；小于半圆的弧叫做 考点2 点和圆的位置关系 如果圆的半径是，点到圆心的距离为d，那么： 1. 点在圆外 ； 2点在圆上 ；3点在圆内 考点3 确定圆的条件 1过已知一点可作 个圆，过已知两点可作 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 个圆，这个圆叫做三角形的 圆，这个三角形叫这个圆的 三角形2外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形 的交点锐角三角形的外心在三角形的 部，直角三角形的外心是 的中点，钝角三角形的外心在三角形的 部考点4 圆的对称性圆是一个特殊的对称图形，它既是轴对称图形，任意一条 所在的直线都是它的对称轴，又是中心对称图形， 是它的对称中心；圆还是旋转对称图形，即圆绕 旋转任意角度，都能与自身重合考点5 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的 平分这条弦，并且平分弦所对的两条 【点拨】(1)平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等考点6 圆心角、弧、弧之间的关系 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧 ，所对的弦也 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【注意】本定理提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的转化方式，是圆的相关性质的核心内容应用圆心角、弧、弦的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”考点7 圆心角与圆周角圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；圆周角定理：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半；(2) 弧或 弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 的圆周角所对的弧相等；(3)半圆（或直径）所对的圆周角是 角；90的圆周角所对的弦是 |归类示例|归类示例 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径2三角形的外接圆的圆心的性质 例1【2010 河北】如图32-1所示，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( ) A.点P B.点Q C.点R D.点M解析 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q。类型之二 垂径定理及其推论 命题角度： 1. 垂径定理的应用 2垂径定理的推论的应用 例2 高速公路的隧道和桥梁最多如图32-2是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA等于 ( )A.5米 B.7米 c米 D. 米 解析这是一道关于垂径定理的题目，主要体现了半径、半弦、弦心距和拱高之间的关系，利用这四个量构造直角三角形，使用勾股定量解决线段之间的关系。在直角三角形ADO中，设AO=x，AD=5，OD=7-x，由勾股定理得x2=52+(7-x)2，解方程得x=垂直于弦的直径及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常添加垂直于弦的直径类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系 命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系 例32011 济宁如图32-3，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连结BD、 CD (1)求证：BD=CD;(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由等弧所对的弦相等，但等弦所对的弧不一定相等类型之四 圆周角定理及推论 命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角度数 2直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算例42011 哈尔滨如图 32-4，BC是O的弦 ，圆周角BAC=50，则OCB的度数是 度 解析由圆周角定理得BOC=2BAC=100，再由OA=OB，得OBC=OCB=40。圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角（圆心角和圆周角）的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法类型之五 直线型图形与圆的性质的综合运用 命题角度： 1. 在圆中寻找两角之间的关系 2在圆中寻找相似三角形与全等三角形 例52011 桂林如图32-5，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作O，交BC于E，过D作ODBC交O于D，连结AE、AD、DC. (1)注意从圆的有关性质的角度发现结论，不能只从直线型图形的角度寻找结论；(2)三角形的中线把这个三角形分成了面积相等的两个三角形第33课时 直线与圆的位置关系1在同一平面内，直线与圆的位置关系有： ， ， . 2判定直线与圆的位置关系有以下方法： (1)定义法：从直线与圆的公共点的个数入手进行判定，其关系如下： 直线l与O 公共点直线l与O相离； 直线l与O有 公共点直线l与O相切； 直线l与O有 公共点直线l与O相交 (2)d、r比较法：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与O的位置关系与d、r的关系如下： dr直线l与O ； d=r直线l与O ； dr，所以直线l与O相离。 在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法类型之二 圆的切线性质 命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论 2利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明 例22011 大连如图33-2，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C，BECD，垂足为E，连结AC、BC. (1)4BC的形状是 ，理由是 ； (2)求证：BC平分LABE;O)若A=60，OA=2，求CE的长遇切线，常添加过切点的半径，运用切线的性质定理类型之三 圆的切线的判定方法 命题角度： 1利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线2利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线 例3 2011 衡阳如图33-3，ABC内接于O，CA=CB，CDAB，且与OA的延长线交于点D (1)判断CD与O的位置关系，并说明理由； (2)若ACB=120，OA=2，求CD的长 要分清直线和圆的公共点是已知还是未知，再选择判定方法类型之四 三角形的内切圆 命题角度： 1三角形的内切圆的定义 2求三角形的内切圆的半径 例42011 遵义如图33-4，O是边长为2的等边ABC的内切圆，则O的半径为 解析将三角形的一个顶点与圆心连结，再过圆心作顶点所在边的垂线，如图，BD等于边长的一半，DBO=30。在三角形DOB中，BDO=90，DBO=30，BOD=60，且BD=1，解直角三角形得OD=。|回归教材| 教材母题湖南教育版九下P81B组 T1设菱形ABCD的两条对角线相交于点O，证明：如果圆O与AB相切，那么圆O与菱形的其他各边也相切证明：如图33-5，若圆O与AB相切于点E，连结OE，过点O作OFAD。四边形ABCD是菱形，AC平分DAB，圆O与AB相切于点E，OEAB。又OFAD，OE=OF。圆O与AD相切。同理可证圆O与BC、CD相切。 【点析】当己知直线和圆有公共点时，连结圆心和公共点，利用判定定理证明直线和圆相切；当未知直线和圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，利用d=r”证明 中考变式 2009 南川如图33-6，ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切解析过点O作AC的垂线OE，并连结OD，则ODAB，通过证明OBDOCE，得到OE=OD，所以OE是圆的半径，所以可以得到AC是O的切线，切点是E。证明：连结OD，过点O作OEAC于E点。AB切O于D，ODAB。ODB=OEC=90又O是BC的中点，OB=OCAB=AC，B=C，OBDOCE，OE=OD，即OE是O的半径，AC与O相切。繁34课时 圆与圆的位量关系|考点聚焦|考点1 圆和圆的位置关系在平面上，两圆的位置关系有且只有7种： 、 、 、 、内含但不同心、内含且同心、重合考点2 圆和圆的位置关系的判别 1. 方法一：根据两目的公共点的个数确定 (1)当两个圆没有公共点时，如果一个圆上点都在另一个圆的外部，这两个圆 ；如果其中一个圆的点都在另一个圆的内部，这两个圆位置关系是 (2)当两个圆有唯一的公共点，除这点外，一个圆上的其他各点都在另一个圆外，则这两个圆 ；当两个圆有唯一的公共点，除这点外，其中一个圆的其他各点都在另一个圆的内部，则这两个圆 (3)如果两个圆有两个公共点，则这两个圆 (4)如果两个圆有两个以上的公共点，则这两个圆 。2方法二：根据两目的圆心距与半径的数量关系确定设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距为d，则：(1)当dr1+r2时，两圆 ；(2)当d=r1+r2时，两圆 ；(3)当r2-r1dr1)时，两圆 ；(5)当0dr1)时，两圆 ；(6)当d=0且r1r2时，两圆 ；(7)当d=0，且r1=r2时，两圆 。【辨析】连心线是直线，圆心距是两个圆的圆心之间的距离|归类示例|类型之一 圆和圆的位置关系的判别 命题角度： 1根据两圆的公共点的个数确定 2根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定 例12011 达州如图34-1，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有( ) A内切、相交 B外离、相交 C.外切、外离 D.外离、内切类型之二 两圆位置关系中的“分类讨论” 命题角度： “分类讨论”在两圆位置关系研究中的应用 例2【2011肇庆】己知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为 解析圆的相切有内切和外切两种，内切时：O1O2=3-1=2；外切时O1O2=3+=4。类型之三 和相交两圆有关的证明或计算 命题角度： 1相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系2和勾股定理有关的计算 例2011 黄石己知Ol与O2相交于A、B两点，点Ol在O2上，C为O2上一点（不与A，B，Ol重合），直线CB与l交于另一点D. (1)如图，若AC是O2的直径，求证：AC=CD. (2)如图，若C是Ol外一点，求证：OlCAD. (3)如图，若C是Ol内的一点，判断(2)中的结论是否成立解：（1）连结COl，AB，AC是O2的直径，ABBD，ADCOl，AD经过点OlAOl=DOl，帮AC=CD（2）连结OlO2的并延长交AB于F，连结OlB，AB，AOl，OlO2AB，AOlO2+OlAB=90OlAB=C，又D=AOlB=AOlO2C+D=90，OlCAD。（3）成立 变式题 2009 庆阳如图34-3所示，两个等圆O与O外切，过点O作O的两条切线OA、OB，A、B是切点，则AOB= 解析连结OO、AO、BO，则三角形OAO是直角三角形，且OO=2AO，所以AOO=30，同理可得BOO=30，所以AOB=60在两圆背景下综合运用圆的直线型图形的性质第35课时 圆弧、扇形和圆锥的计算问题|考点聚集|考点1 圆的周长与弧长公式 圆的周长：若圆的半径是r，则圆的周长c= 弧长公式：半径是r的圆中，n的圆心角所对的弧长是l 【注意】在应用公式计算时，“n”和“180”不再写单位考点2 扇形的面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积是：s= ； 半径是r的圆中，弧长是l的扇形的面积是：s= 。 【辨析】当己知半径r和圆心角的度数求扇形的面积时，应选用公式；当己知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式考点3 圆锥的有关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，连结 与底面圆 的线段（或线段的长）叫圆锥的高，圆锥 与底面圆上任意一点的连线都叫做圆锥的母线【注意】(1)圆锥有无数条母线，圆锥的母线长都相等；(2)圆锥的母线长不等于圆锥的高考点4 圆锥的侧面积和全面积 一般地，把一个圆锥沿着 剪开，它的侧面可展成一个扇形，这个扇形叫做圆锥的侧面展开图 这个侧面展开图扇形的弧长等于圆锥 ，而扇形的半径等于圆锥的 长如图35-1所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积S侧= 全面积S全= 。 【辨析】圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径，注意与圆锥底面半径的区分|归类示例|类型之一 计算弧长 命题角度： 1己知圆心角和半径求弧长 2利用转化思想求弧长例2011 滨州如图35-2，在ABC中，B90,A30，AC4cm，将ABC绕顶点C顺时针方向旋转至ABC的位置，且A、C、B三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为( )A. 4cm B. 8cm C. cm D. cm解析点A所经过的最短路线是以C点为圆心，以AC为半径，圆心角为120的扇形弧长，即为4=（cm2）类型之二 计算扇形面积 命题角度： 1己知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积 2己知扇形的弧长和半径，求扇形的面积 例22009 衡阳圆心角都是90的扇形AOB与扇形COD如图35-3所示那样叠放在一起，连结AC、BD (1)求证：AOCBOD; (2)若AO=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积解析（1）把AOC旋转到BOD，可知这两个三角形全等；（2）把阴影面积化为两个扇形面积的差。求不规则图形的面积，常运用分割法、补充法、割补法把不规则图形转化为可直接用面积公式的规则图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差关系求出不规则图形的面积类型之三 和圆锥的侧面展开图有关的问题 命题角度： 1圆锥的母线长、底面半径等计算 2圆锥的侧面展开图的相关计算例3 2011 宁波如图35-4，RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，若把RtABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何