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第三章 LTI离散系统的时域分析 Chapter3 Discretesystems 本章要点 单位序列响应和阶跃响应 F F LTI离散时间系统的响应 卷积和 F 引言 什么是线性非移变离散系统 then 非移变系统 then 3 1LTI离散系统的响应 线性系统 if If 3 1LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程 设有序列f k 则 f k 2 f k 1 f k 1 f k 2 等称为f k 的移位序列 1 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式 1 一阶前向差分定义 f k f k 1 f k 2 一阶后向差分定义 f k f k f k 1 和 称为差分算子 无原则区别 3 差分的线性性质 af1 k bf2 k a f1 k b f2 k 4 二阶差分定义 2f k f k f k f k 1 f k f k 1 f k f k 1 f k 1 f k 2 f k 2f k 1 f k 2 5 m阶差分 mf k f k b1f k 1 bmf k m 3 1LTI离散系统的响应 对离散时间信号而言 信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率 定义为 3 1LTI离散系统的响应 2 差分方程 包含未知序列y k 及其各阶差分的方程式称为差分方程 将差分展开为移位序列 得一般形式y k an 1y k 1 a0y k n bmf k b0f k m 例1 若描述某系统的差分方程为y k 3y k 1 2y k 2 f k 已知初始条件y 0 0 y 1 2 激励f k 2k k 求y k 解 y k 3y k 1 2y k 2 f k y 2 3y 1 2y 0 f 2 2y 3 3y 2 2y 1 f 3 10 一般不易得到解析形式的 闭合 解 4 变换域法 Z变换法 逐次代入求解 概念清楚 比较简便 适用于计算机 缺点是不能得出通式解答 1 迭代法 2 时域经典法 3 全响应 零输入响应 零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解 十分重要 求解过程比较麻烦 不宜采用 求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种 全响应 齐次通解 特解 自由响应强迫响应 3 1LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解 y k an 1y k 1 a0y k n bmf k b0f k m 与微分方程经典解类似 y k yh k yp k 1 齐次解yh k 3 1LTI离散系统的响应 例2 一阶齐次方程的解 的级数 c是待定常数 有初始条件决定 是个公比为 齐次方程y k an 1y k 1 a0y k n 0其特征方程为 n an 1 n 1 a0 0其根 i i 1 2 n 称为差分方程的特征根 特征根 单实根 重实根 齐次解 不同特征根所对应的齐次解 3 1LTI离散系统的响应 2 特解yp k 特解的形式与激励的形式雷同 一般情况不同激励所对应的特解 特征根 重等于的特征根 特征根 特征单根 重特征根 3 1LTI离散系统的响应 例3 若描述某系统的差分方程为y k 4y k 1 4y k 2 f k 已知初始条件y 0 0 y 1 1 激励f k 2k k 0 求全解 解 特征方程为 2 4 4 0可解得特征根 1 2 2 其齐次解为yh k C1k C2 2 k特解为yp k P 2 k k 0代入差分方程得P 2 k 4P 2 k 1 4P 2 k 2 f k 2k P 1 4特解yp k 2k 2 k 0 3 1LTI离散系统的响应 故全解为y k yh yp C1k C2 2 k 2k 2 k 0代入初始条件 求得C1 1 C2 1 4 故全解为y k k 1 4 2 k 2k 2 k 0 yh t 自由响应 yp t 强迫响应 y k yzi k yzs k 设激励f k 在k 0时接入系统 初始状态 y 1 y 2 y n 初始值 y 0 y 1 y 2 y n 1 由yzi k 和yzs k 的定义可知 其初始状态分别为yzs 1 yzs 2 yzs n 0y 1 yzi 1 y 2 yzi 2 y n yzi n 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yzi j 和yzs j j 0 1 2 n 1 3 1LTI离散系统的响应 三 零输入响应和零状态响应 例4 若描述某离散系统的差分方程为y k 3y k 1 2y k 2 f k 已知激励f k 2k k 0 初始状态y 1 0 y 2 1 2 求系统的零输入响应 零状态响应和全响应 解 1 yzi k 满足方程yzi k 3yzi k 1 2yzi k 2 0其初始状态yzi 1 y 1 0 yzi 2 y 2 1 2首先递推求出初始值yzi 0 yzi 1 yzi k 3yzi k 1 2yzi k 2 3 1LTI离散系统的响应 yzi k 3yzi k 1 2yzi k 2 yzi 0 3yzi 1 2yzi 2 1yzi 1 3yzi 0 2yzi 1 3方程的特征根为 1 1 2 2 其解为yzi k Czi1 1 k Czi2 2 k将初始值代入并解得Czi1 1 Czi2 2所以yzi k 1 k 2 2 k k 0 yzs k 3yzs k 1 2yzs k 2 f k yzs 1 yzs 2 0递推求初始值yzs 0 yzs 1 yzs k 3yzs k 1 2yzs k 2 2k k 0yzs 0 3yzs 1 2yzs 2 1 1yzs 1 3yzs 0 2yzs 1 2 1分别求出齐次解和特解 得yzs k Czs1 1 k Czs2 2 k yp k Czs1 1 k Czs2 2 k 1 3 2k代入初始值求得Czs1 1 3 Czs2 1所以yzs k 1 k 3 2 k 1 3 2k k 0 3 1LTI离散系统的响应 2 零状态响应yzs k 满足 3 1LTI离散系统的响应 零输入响应 零状态响应 Czii Ci 仅由系统的初始状态决定 由初始状态和激励决定 3 2单位序列响应和阶跃响应 3 2单位序列响应和阶跃响应 3 2单位序列响应和阶跃响应 3 2单位序列响应和阶跃响应 二 单位序列响应 由单位序列 k 所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应 或简称单位响应 记为h k 例1 求如图所示离散系统的单位序列响应h k 方法一 若方程右端只有f k 而无移位项 经典法 3 2单位序列响应和阶跃响应 根据h k 的定义有h k h k 1 2h k 2 k 1 h 1 h 2 0递推求初始值h 0 和h 1 h k h k 1 2h k 2 k h 0 h 1 2h 2 0 1h 1 h 0 2h 1 1 1 方程 1 移项写为 解 1 列差分方程 求初始值对加法器列方程y k y k 1 2y k 2 f k 写成差分方程的形式 y k y k 1 2y k 2 f k 2 求h k 对于k 0 h k 满足齐次方程h k h k 1 2h k 2 0特征方程 1 2 0所以h k C1 1 k C2 2 k k 0将初始值代入 有h 0 C1 C2 1 h 1 C1 2C2 1解得C1 1 3 C2 2 3h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 0或写为h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 3 2单位序列响应和阶跃响应 方法二 方程右端除f k 外 还有f k 的移位项 分两步 1 设只有 k 作用时 单位序列响应为h1 k 2 由时不变性 k i h1 k i bm i k i 由齐次性 bm ih1 k i 由叠加性 3 2单位序列响应和阶跃响应 例2 求如图所示离散系统的单位序列响应h k 解 1 列差分方程 求初始值 x k x k 1 x k 2 即x k x k 1 2x k 2 f k y k x k 1 x k 2 2 消去x k 得y k y k 1 2y k 2 f k 1 f k 2 x k f k x k 1 2x k 2 1 3 2单位序列响应和阶跃响应 分别对2个加法器列方程 解 2 求h k h k 满足h k h k 1 2h k 2 k 1 k 2 令只有 k 作用时 系统的单位序列响应h1 k 满足h1 k h1 k 1 2h1 k 2 k 由上例可知h1 k 1 3 1 k 2 3 2 k k 根据线性和时不变性h k h1 k 1 h1 k 2 1 3 1 k 1 2 3 2 k 1 k 1 1 3 1 k 2 2 3 2 k 2 k 2 3 2单位序列响应和阶跃响应 三 阶跃响应 由于 k k k 1 k 所以 h k g k 3 2单位序列响应和阶跃响应 由单位阶跃序列 k 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应简称阶跃响应 记为g k 3 2单位序列响应和阶跃响应 求g k 的方法经典法由h k 求出例3 已知某系统的差分方程为y k y k 1 2y k 2 f k 求单位阶跃响应g k 经典法 g k g k 1 2g k 2 k g 1 g 2 0对k 0 g k g k 1 2g k 2 1齐次解 gh k c1 c2特解 gp k p0 g k c1 c2 k 0 g 0 c1 c2 1c1 1 6g 1 c1 2c2 2c2 4 3 g k k 利用h k 求g k h k k g k 3 2单位序列响应和阶跃响应 求和公式 3 2单位序列响应和阶跃响应 g k k 0 3 2单位序列响应和阶跃响应 3 3卷积和 一 卷积和 1 序列的时域分解 f k f 1 k 1 f 0 k f 1 k 1 f 2 k 2 f i k i 任意离散序列f k 可表示为 2 任意序列作用下的零状态响应 根据h k 的定义 k h k 由时不变性 k i h k i f i k i 由齐次性 f i h k i 由叠加性 f k yzs k 卷积和 3 3卷积和 3 卷积和的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 k 和f2 k 则定义和 为f1 k 与f2 k 的卷积和 简称卷积 记为f k f1 k f2 k 注意 求和是在虚设的变量i下进行的 i为求和变量 k为参变量 结果仍为k的函数 3 3卷积和 例1 f k ak k h k bk k 求yzs k 解 yzs k f k h k 当ik时 k i 0 注意 k k k 1 k 3 3卷积和 例2 3 3卷积和 二 卷积的图解法 卷积过程可分解为四步 1 换元 k换为i 得f1 i f2 i 2 反转平移 由f2 i 反转 f2 i 右移k f2 k i 3 乘积 f1 i f2 k i 4 求和 i从 到 对乘积项求和 注意 k为参变量 3 3卷积和 3 3卷积和 3 3卷积和 相乘 取和 3 3卷积和 例4 f1 k f2 k 如图所示 已知f k f1 k f2 k 求f 2 解 1 换元 2 f2 i 反转得f2 i 3 f2 i 右移2得f2 2 i 4 f1 i 乘f2 2 i 5 求和 得f 2 4 5 f2 i f2 2 i 3 3卷积和 三 卷积和的性质 重点 3 3卷积和 卷积和运算满足交换律 分配律 结合律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 2 f k k k1 f k k1 5 f k k 4 f1 k k1 f2 k k2 f1 k k1 k2 f2 k 6 f1 k f2 k f1 k f2 k f1 k f2 k 3 3卷积和 与 k 卷积和 1 f k k f k 3 f1 k k1 k k2 f1 k k1 k2 例5 3 3卷积和 例6 如图复合系统由三个子系统组成 其中h1 k k h2 k k 5 求复合系统的单位序列响应h k 解 根据h k 的定义 有 h k k h1 k k h2 k h1 k h1 k h2 k h1 k h1 k h1 k h2 k h1 k k k k 5 k k 1 k k 1 5 k 5 k 1 k k 4 k 5 3 3卷积和 例7如