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例说两条直线交点轨迹的求解策略河北唐山第六十二中学 张俊如 063030求两条直线交点的轨迹是轨迹问题中的重要题型，但学生由于不能灵活运用知识间的相互联系，选择适当的方法，解题时困难较大。下面结合实例说明此类问题的解题策略。例1：（2000年春季高考）已知抛物线， ，O为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足，如果于，求点的轨迹方程。xyOMBAQ图1分析一：因点是直线与的交点，所以，联想到写出直线与的方程，用方程组消参的方法求解，其中可转化为解法1：（方程组消参法）设，则，因为，所以解得：又因为所以，直线AB的方程为：即.又因为，所以直线的方程为：.由得：即：，当直线AB与轴垂直时，可求M的坐标为，满足方程故所求点M的轨迹方程为分析二：因直线OM过定点，由解题经验可知,若，则直线AB必过轴上的一个定点，记为，所以，联想到先求出定点Q的坐标，再用求解。解法2：设，直线AB的方程为并设， 由 得 所以，又因为，所以所以 , .所以直线AB的方程为即：所以直线AB过定点又因为，所以即：.（*）当直线AB与轴垂直时，易求得M点的坐标为,也满足方程(*)故所求点M的轨迹方程为：OAMNl1l2xy图2B点评：解法1中方程组消参法是求两动直线交点轨迹方程的重要方法，消参的方法很多，因题而异，应灵掌握。解法2中用到了直线过定点，这要求学生在解题时，要善于总结题目的规律特征，解题的经验对解高考题是很重要的，解此题时很多考生都没有讨论直线AB与轴垂直的情况，应引起重视。例2：已知M是双曲线上的动点，点A、B分别是双曲线的左右顶点，l1与l2分别是过A、B两点的直线，且l1MA ,l2MB ,求两条直线l1与l2的交点N的轨迹方程。分析一：将NBMB , NAMA转化为斜率之积等于1，由点N满足的两个已知条件列出方程组，采取整体消参法。解法1：设，因为， 所以由（1）（2）得因为，所以代入（3）得，即：经检验点、不合题意，所以，N点轨迹方程为，（点、除外）分析二：因为点N随着点M的运动而运动，说明点N的坐标与点M的坐标一定有着内在的联系，而点M又在已知的双曲线上运动，所以联想到用代入法求解。解法2：设，因为，所以由(2)(1)得, 把(3)代入(1)得 把（3）（4）代入得经检验点、不合题意 ,所以N点的轨迹方程为，（点、除外）点评：求两条直线交点的轨迹方程的常规方法是方程组消参法。当
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