三角函数与平面向量专题.doc

三角函数与平面向量专题一高考命题特点及预测1. 三角小题以考查基本公式、基本性质为主，还有与其他章节的综合题，一般是两道题，占分；向量小题一道，主要考查平行、垂直、夹角，或与平面几何相结合，与最值相结合，占分。解答题以基础题为主，一般是第题，占分。三角函数命题方向有三个：（）以三角函数的图像和性质为主体的解答题，往往与平面向量相结合；（）以三角恒等变换为主，考查基本公式的应用；（）以实际应用题的形式考查正（余）弦定理、三角函数知识的实际应用；平面向量命题方向有三个：（）考查平面向量基本定理、共线向量定理为的问题；（）考查数量积的运算为主的问题；（）考查平移公式的应用为主的问题。二题型展示【题型1】知值求值问题：包括知值求值、知角求值、知值求角。其主要考查三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差角公式、二倍角公式等的应用，注重角的变换。【提示】：1.在求值的问题中一定要抓住角的相对性去变换：如是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等。2.在求值的问题中要注意角的变换：如、等等。3.要熟练公式的变形形式：如等。4.关于与齐次式求值，可通过分子分母同除以、转化为来计算，注意1的代换。5.要注意和的关系：。例1.（2009重点中学联考盟校一模）在锐角三角形中，角、的对边分别为，且（1） 求；（2） 求的值。解：（）又为锐角三角形，（2）原式例、(广东省2008届六校第二次联考)已知向量 .（）求的值; （）若, , 且, 求.解:（） .又, ,即 , .（）, , ,.【变式1】（江苏苏北四市）已知设记（1）求的解析表达式；（2）若角是一个三角形的最小内角，试求函数的值域解：（1）由，得 ， 即，即（2）角是一个三角形的最小内角，.设,则（当且仅当时取“=”），故函数的值域为例（08江苏）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为.（1）求的值； （2）求的值。解:（）由条件得：为锐角，.（）为锐角，.【变式2】（07四川理17）已知,()求的值.（）求.解：（）由，得，于是（）由，得 又，由得：，所以例(09江苏模拟)已知向量，且（1）求的值；（2）求)的值解：（1），而故由于解之，得故（舍去）（2）由得，（舍去） 【变式3】已知,求的值.解:由条件得:,化简所求表达式为=.例（08天津）已知,.（1） 求的值；（2）求的值.解: (1)法一: 由得:法二: ，又(2) 由(1)知: ,【变式4】（05福建）已知.（I）求的值；（）求的值.解：（） 即 又 故 （） .【题型2】三角函数的图像与性质问题：包括三角函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图像的平移以及三角函数解析式的确定等的考查。其主要方法是先通过和差角公式、二倍角公式和辅助角公式将问题转化为的形式，再去求解相关的问题。三角函数图像从“形”上反映了三角函数的性质，一直是高考重点考查的问题之一。【提示】1.在研究三角函数的图像性质时先将三角函数式化简为的形式再处理。2.对于求最值和范围问题是一定要根据角的范围来解题。3.对于无法化为的三角函数的性质问题，则考虑数形结合法。例1、(2008摸拟)设函数（）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由。解：（） 函数的最小正周期 （）假设存在实数m符合题意， 又，解得 存在实数，使函数的值域恰为.【变式1】(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数的定义域为，值域为-5,4.求和.解： ， ,.显然不合题意.(1) 当时,值域为,即(2) 当时,值域为,即例、（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，（其中),.若函数的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图像的一条对称轴.(1)求的表达式. (2)求函数的单调递增区间.解: (1)由函数的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为得函数周期为,直线是函数图像的一条对称轴,或 (2) 即函数的单调递增区间为。 【变式2】若函数的图象与直线相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.()求的值；()若点是图象的对称中心，且,求点的坐标。解：（）由题意知，是的最大值或最小值，所以或() 由题设知，函数的周期为， .令,得, ,由，得或，因此点A的坐标为或例3(09福建文19)已知函数其中， （I）若求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。解法一：（1）由得， 即又。（2）由（1）得，依题意，又故 函数 的图像向左平移个单位后所对应的函数为，是偶函数当且仅当， 即，从而，最小正实数解法二：（1）同解法一（2）由（I）得，依题意，又，故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为，是偶函数当且仅当对恒成立，亦即对恒成立。，即对恒成立。，故，从而最小正实数【变式3】已知函数，其中.(1) 若，求的值(2) 在（1）的条件下，若函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式，幷求最小的正实数，使得函数的图像向左平移个单位所对应的函数是奇函数。解：（1）=，.又（2） 由（1）得：，依题意得：.又函数的图像向左平移个单位所对应的函数是， 是奇函数当且仅当.从而，最小正实数.【题型3】平面向量的概念、性质、运算问题：包括向量平行、共线、坐标运算、数量积等。解决平面图形中的问题、三角函数与平面向量的结合问题在近年的高考中常出现。例1、(湖北省高考模拟)设函数的图像关于直线对称，其中向量，向量（）求的值；（）若函数的图象按向量平移可得到函数的图象，求向量解：（），的图象关于对称，又|j|，j （2）由平移到，只需向左平移单位，再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为，且 ，即。另解：由平移到，只要即，。【变式1】（06湖北）设函数，其中向量，。（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。解：(1)由题意得， 所以，的最大值为，最小正周期是.(2)由得于是，因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求.例2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知，其中(1)求证： 与互相垂直；（2)若与的长度相等，求的值(k为非零的常数)解：(1)由题意得： 与互相垂直 (2) 方法一： ，由题意，得，因为 ，所以 方法二：由得： ，即，由于，故，即 因为 ，所以 【变式2】（09江苏卷15）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：解：（1）由与垂直，即，；（2），最大值为32，所以的最大值为。由得， 即，所以.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【题型4】解斜三角形问题：包括用正（余）弦定理求三角形的边角面积和判断三角形的形状等。其主要方法是利用正（余）弦定理实现边角的互化，然后再利用三角恒等变形，这是近年来高考的一个热点题型，且与不等式相结合求三角形面积的最值问题更是出题者的青睐。【提示】1.在解斜三角形的问题是要注意角的关系和角的取值范围：如2.要熟练应用正（余）弦定理实现边角的转化。3.对求三角形的面积、周长的最值问题，常用均值不等式：。特别如：给出，求的最值问题，可先化为，再求的范围。例1、（2009江西师大等五所重点名联考）在中，分别为角的对边，且满足（）求角的大小；（）若，求的最小值解：（）， （2） 由余弦定理得所以的最小值为，当且仅当时取等号【变式1】（08学年高三质量检查)已知向量且分别为的三边所对的角。（1）求角C的大小； （2）若成等差数列且 ，求边的长。解：（1）对于，又 （2）由，由正弦定理得，即由余弦弦定理得：，【变式2】（08全国1）设的内角对边的边长分别是，且（1）求的值；（2）求的最大值解：（1）在中，由正弦定理及可得即，则；（2）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.例2、（09青岛一模）在中，分别为角的对边，已知.(1)若,求实数的值;(2)若,求面积的最大值.解:(1) 由两边平方得: 即解得: ，而可以变形为，即 ，所以。(2) 由()知,则又所以即故【变式3】（08期末)已知中，分别为角的对边，且；（1）求 （2）若，求面积的最大值。解：（）（）又当且仅当时，面积取最大值，最大值为.例3(08湖南)在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距40海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东 (其中，)，且与点相距海里的位置. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 （1）如图,由于,所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里/小时）.（2）如图所示，设直线与的延长线相交于点在中，由余弦定理得，=.从而在中，由正弦定理得，由于，所以点位于点和点之间，且.过点作于点，则为点到直线的距离.在中，=所以船会进入警戒水域.能力训练1、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)在中，分别为角的对边，且（1）求的值；（2）若b=2，求面积的最大值解：(1) 由余弦定理： ， （2）由 ， ，得, (时取等号)故的最大值为2.（08湖北）已知函数（1）将函数化简成()的形式；（2）求函数的值域.解：（1）（2）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故的值域为3.(08山东)已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间解：（1）由为偶函数，又函数图象的两相邻对称轴间的距离为（2）由（1）知：的图象向右平移个单位得到函数令，得的单调递减区间为.4（06山东）已知函数，且的最大值为，其图象相邻两对称轴的距离为，并过点.（1）求;（2）将的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求的单调区间；（3）计算.解：（1）的最大值为，又其图象相邻两对称轴间的距离为，.过点， 又.（2）由(1)知:，将的图像向右平移个单位后，得到函数，相应的增区间为： ，即，减区间为： ，即.（3）由(1)知:,.且，5、（09模拟）已知函数，把函数的图象按向量平移后得到的图象. (1)求函数的值域； (2)当时，恒有解，求实数的取值范围.解：把函数按向量平移后得 (1)则函数的值域为.(2)当时，由得又恒有解，即.6.(08辽宁)在中,内角对边的边长分别是.已知.若的面积等于,求;若,求的面积.解:（1）因为的面积等于，所以，得由余弦定理得，是方程的两相等根,即（2）由及得: ，当时,又又 ，当时由正弦定理得: 又由余弦定理得:由得: ， 综上, .7.(09模拟) By如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，设（）用表示点B的坐标及（）若，求的值.解：（）由三角函数的定义，得点B的坐标为： 在中，由正弦定理，得，即，所以. （）由（）得因为，所以又 Oyx34SMN8P所以：8.(09福建理18)如图，某市拟在长为8km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为(3，2)；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定（I）求, 的值和两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道最长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在中，设，则060Oyx34SMN8P由正弦定理得，,故060，当=30时，折线段赛道最长，即将设计为30时，折线段道最长。解法二：（）同解法一（）在中，由余弦定理得即，故从而，即，当且仅当时，折线段道最长9.(09陕西卷17) 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式；（）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故 又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10.（07湖北文16）已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是11.（07湖南理16）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）12.（07