第39讲数学归纳法.ppt

新课标高中一轮总复习 第五单元数列 推理与证明 第39讲 数学归纳法 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N 在验证n 1成立时 左边计算所得项是 C A 1B 1 aC 1 a a2D 1 a a2 a3 n 1时 由左边的代表项 an 1 知 应加到a2 故左边 1 a a2 选C 2 用数学归纳法证明1 1时 第一步要证的不等式是 B A 1 2B 1 2C 1 2D 1 3 因为n 1 且n N 故初值n0 2 代入选B 3 用数学归纳法证明不等式 n 2 的过程中 由n k递推到n k 1时 不等式左边 C A 增加了一项 B 增加了两项 C 增加了一项 又减少了一项 D 增加了一项 又减少了一项 n k时 不等式左边为 n k 1时 不等式左边为 比较两式可知选C 4 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从 k到k 1 左端需增乘的代数式为 B A 2k 1B 2 2k 1 C D n k时 等式左边为 k 1 k 2 k k 而n k 1时 等式左边为 k 2 k 3 2k 2 需要增乘的代数式为 即2 2k 1 5 用数学归纳法证明 凸多边形的内角和f n n 2 180 n 3 第一步应验证 假设n边形内角和f n n 2 180 则f n 1 f n 从而再用假设 f 3 180 180 由n 3 故初值n0 3 即三角形内角和为180 由凸n边形变为凸n 1边形时 相当于增加了一个三角形 故f n 1 f n 180 1 数学归纳法方程的步骤一般的 证明一个与正整数有关的命题时 可以按以下的步骤进行 1 归纳奠基 2 归纳递推 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 n0 2等等 时 结论成立 假设当n k n N 且k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 在完成这两个步骤的证明以后 就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确 这种证明命题的方法叫做数学归纳法 2 用数学归纳法证题时 应注意 1 在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时 第一步是递推的基础 缺少第一步 递推就会缺乏正确的基础 一方面 第一步再简单 也不能够省略 另一方面 第一步只要考察使结论成立的最小的正整数就足够了 一般没有必要再去多考察几个正整数 2 第二步是递推的过程 仅有第一步而没有第二步 就失去了递推的过程 这说明了缺省了第一步这个基础 第二步的递推就没有意义了 只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起 才能得出普遍性的结论 因此在完成了第一 二步的证明以后 还要有一个小结 例1 题型一用数学归纳法证明整除性问题 是否存在正整数m 使得f n 2n 7 3n 9对任意自然数n都能被m整除 若存在 求出最大的m值 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 本题通过计算f n 的前几项的值 猜想出m的值 然后再利用数学归纳法加以证明 由f n 2n 7 3n 9 得f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想m 36 下面用数学归纳法证明 当n 1时 显然成立 假设n k时 f k 能被 整除 即f k 2k 7 3k 9能被 整除 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就是说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 可知 对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 m的最大值为36 本题是探索性问题 它通过 观察 归纳 猜想 证明 这一完整的过程去探索和发现问题 并证明所得出的结论的正确性 这是非常重要的一种思维能力 由有限个特殊事例进行归纳 猜想 从而得到一般性的结论 然后加以证明是科学研究的重要思想方法 在研究与正整数有关的数学命题中 此思想方法尤其重要 用数学归纳法证明整除问题时 首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 拼凑是关键 例2 题型二用数学归纳法证明等式问题 用数学归纳法证明 1 要证不等式的左边2n项 右边n项 n k 1与n k相比左边增加 项 右边增加 项 而且左 右两边的首项不同 因此 由 n k 到 n k 1 时要注意项的合并 当n 1时 左边 1 右边 命题成立 假设当n k k 1 k N 时命题成立 即1 那么当n k 1时 左边 1 上式表明当n k 1时命题也成立 根据 可知 对任意的n N 等式都成立 用数学归纳法证明与自然数有关的一些命题的关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值有关 当n k到n k 1时 等式的两边各会增加多少项 增加怎样的项 对于证明恒等的问题 在由证等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 也就是我们通常所说的两边凑的方法 以减小计算的复杂程度 从而发现所要证明的式子 使问题的证明有目的性 例3 题型三用数学归纳法证明几何问题 平面上有n个圆 每两个圆交于两点 每三个圆不过同一点 求证 这n个圆分平面为n2 n 2个部分 关于这类几何问题 应抓住所划分的线段 平面 空间的个数与交点 交线间的关系 关键在于分析k与k 1的差异 k到k 1的变化情况 然后借助于图形的直观性 建立k与k 1的递推关系 当n 1时 n2 n 2 1 1 2 2 而一个圆把平面分成两部分 所以n 1时命题成立 设当n k k 1 k N 时 命题成立 即k个圆分平面为k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 这2k个交点把第k 1个圆分成2k段 每一段把原来的所在平面一分为二 故共增加了2k个平面 共有k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 所以当n k 1时 命题也成立 由 可知 这n个圆把平面分成n2 n 2个部分 数学归纳法在高考试题中常与数列 平面几何等知识相结合来考查 对于此类问题 解决的关键往往在于抓住对问题的划分标准 例4 题型四用数学归纳法证明不等式问题 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b3 b10 100 1 求数列 bn 的通项bn 2 设数列 an 的通项an lg 1 记Sn是数列 an 的前n项和 试比较Sn与lgbn 1的大小 并证明你的结论 可由题意先求出数列 bn 的通项bn 再根据题设条件知 要想比较Sn与lgbn 1的大小只需要比较 1 1 1 1 与的大小即可 1 设数列 bn 的公差为d b1 110b1 d 100 b1 1d 2 由题意得 解得 所以bn 2n 1 n N 2 由bn 2n 1 知Sn lg 1 1 lg 1 lg 1 lg 1 1 1 1 lgbn 1 lg 因此 要比较Sn与lgbn 1的大小 可先比较 1 1 1 1 与的大小 取n 1 有 1 1 取n 2 有 1 1 1 由此推测 1 1 1 1 若 式成立 则由对数函数的性质可断定 Sn lgbn 1 下面用数学归纳法证明 式 当n 1时 已验证 式成立 假设当n k k 1 k Z 时 式成立 即 1 1 1 1 那么 当n k 1时 1 1 1 1 1 1 2k 2 因为 2k 2 2 2 0 所以 2k 2 因而 1 1 1 1 1 这就是说 式当n k 1时也成立 由 知 式对任意正整数n都成立 由此证得 Sn lgbn 1 用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时 推导 n k 1 时成立 有时要进行一些简单的放缩 有时还要用到一些其他的证明不等式的方法 如比较法 综合法 分析法 反证法等等 已知y f x 满足f n 1 f n lgan 1 n 2 n N 且f 1 lga 是否存在实数 使f n n2 n 1 lga对任何n N 都成立 证明你的结论 因为f n f n 1 lgan 1 令n 2 则f 2 f 1 lga lga lga 0 0 2 4 1 所以f n n2 n 1 lga 又f 1 lga 所以 所以 证明 当n 1时 显然成立 假设n k k 1 k N 成立 即f k k2 k 1 lga 则n k 1时 f k 1 f k lgak f k klga k2 k 1 k lga k 1 2 k 1 1 lga 所以当n k 1时 等式成立 综合 可知 存在实数 且 使f n n2 n 1 lga对任意n N 都成立 1 在证明传递性时 应注意 1 证明n k 1成立时 必须要用到n k成立的假设 否则就不是数学归纳法 应当指出n k成立是假设的 这一步是证明传递性 正确性由第一步保证 有了递推这一步 联系第一步的结论 命题对n n0时成立 就可以知道命题对n0 1也成立 进而再由第二步可知n n0 1 1 即n n0 2也成立 这样下去 就可以知道命题对所有的不小于n0的正整数都成立 2 用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子化成与归纳假设结构相同的形式 再利用归纳假设 进行恒等变形 用数学归纳法证明不等式时 在把n k的不等式转化为n k 1的不等式成立的命题时 比较法 综合法 分析法 放缩法等不等式的证明方法是常用方法 用数学归纳法证明整除性问题和几何问题时 要注意寻找当元素n增加1时 代数式或几何元素是如何增加的 做到有目标地变形 2009 安徽卷 首项为正数的数列 an 满足an 1 an2 3 n N 1 证明 若a1为奇数 则对一切n 2 an都是奇数 2 若对一切n N 都有an 1 an 求a1的取值范围 1 证明 已知a1是奇数 假设ak 2m 1是奇数 其中m为正整数 则由递推关系得ak 1 m m 1 1是奇数 根据数学归纳法 对任何n N an都是奇数 2 方法一 由an 1 an an 1 an 3 知 an 1 an 当且仅当an3 另一方面 若