第六章 力法(三).doc

6.9 力法计算超静定拱拱结构由于造形美观，受力合理，在土木工程中被广泛应用。在桥梁史上，我国著名的赵州石拱桥占有重要的地位。我国创造的双曲混凝土拱桥，由于两个方向均呈拱形，桥形美观，刚度大，施工方便，因而常被采用。铁路、公路、水利工程和地下工程中的隧道衬砌是典型的拱式结构。在建筑方面，既有落地拱结构，也有带拉杆的拱屋架。6.9.1 两铰拱的计算图6.51(a)所示两铰拱是一次超静定结构，基本体系可选作简支式曲梁，水平推力X1为基本未知量，如图6.51 (b)所示。在原结构中，由于B支座没有水平位移，由变形协调条件得到的力法方程为： 1=0， 11 X1 +1P = 0 q qff Fp Fp y y y X1 A x B A x B (a) (b) 图6.51由于拱轴线为曲线，求解11、1P不能用图乘法，应采用积分法。另外，从理论上讲应该考虑轴线曲率对变形的影响。但是，根据计算分析表明，当拱的截面厚度与拱的跨度之比，时，可以略去轴线曲率的影响，同时也可以略去剪切变形的影响。经分析，自由项1P只考虑弯曲变形的影响就可以满足精确度，对于11只有在扁平拱（）时须考虑弯曲变形的影响，一般可不考虑弯曲变形的影响。则有：当 X1=1单独作用在基本体系上，取隔离体可求得： (下部受拉为正) , （受压为正）由图 (b)中坐标系可知，y表示拱轴上任意截面的纵坐标，向上为正；表示任意截面拱轴线与水平轴的夹角，左半拱为正，右半拱为负。故有： (6-21)求得水平推力后，在竖向荷载作用下，任一截面的内力计算公式与三铰拱是相同的： (6-22)【例612】 已知图6.52（a）所示为一等截面两铰拱，坐标原点为A点，拱抛物线轴曲线方程为，不计轴向和剪切变形的影响，矢高比，近似取。求水平推力H并画出弯矩M轮廓图。 q qfX1f y f A B x A B 基本体系（a） （b）A0B02 q 2 2 M0 图 M 图(c) (d) 图6.52【解】（1）（2）求 （3）求 荷载单独作用在基本体系曲梁上，与相应简支梁相同。左半拱： （）右半拱： （） （4）求出 （5）画出弯矩M轮廓图 将拱轴线平均分为四段，求出分点处的弯矩，作弯矩图如图6.52（d）所示。6.9.2 系杆拱在屋盖结构中，两铰拱会对墙体或柱子产生很大的水平推力，因此，用系杆拱结构代替两铰拱。系杆拱也称拉杆拱，如图6.53（a）所示，利用系杆的拉力来代替两铰拱的水平推力，图中吊杆的作用是为了防止拉杆下垂，在结构分析中一般不考虑吊杆的受力，计算简图如图6.53（b）所示。 f F P F P F P F PX1 f 吊杆 EA EI E1A1 系杆 (a) (b) (c) 图6.53取基本体系可以把系杆截断，如图6.53（c）所示。X1代替两铰拱的水平推力，由于在切口处的相对线位移为零，力法方程为： 当单独作用在基本体系时，与两铰拱相比，多了系杆的变形（），因此在求时，应该加上系杆的影响。即有： 当荷载单独作用在基本体系上时系杆的轴力为零。系杆拱与两铰拱求的公式相同。由于： ，得： （6-23）当求出后，拱的内力计算仍然可以采用公式（6-22）的形式，且把换为。当系杆的抗拉刚度 时， 0，系杆的拉力等于两铰拱的推力， 。这时系杆拱与两铰拱的受力状态相同。当系杆的抗拉刚度 0时， ，系杆的拉力 0 ，系杆拱相当于简支曲梁。曲梁的受力状态不如拱合理，因此，为了减少拱的弯矩，系杆的抗拉刚度要适当地大些。6.9.3 无铰拱1. 荷载作用无铰的计算 图6.54（a）所示无铰拱，可以取图6.54（b）的基本体系，在基本体系上，X1和X3为对称未知力，X2是反对称未知力，在力法方程中有： X1X1X3X3X2X2 FP FP C x x A y B A B /2 /2 y(a) (b) 图6.54力法方程可以简化为： (6-24)在上式中如果 ，则方程组可以简化为三个独立的方程。下面说明这个简化过程：首先，确定图6-54（a）的等代结构图6-54（b）所示，设想从C点处切开，装上两个长度为ys的刚臂梁，在O点连接。由于两刚臂及O点连接为绝对刚臂，不发生变形，所以O点处左右截面也不会发生任何相对位移。即图6.54（a）与图6.55（a）的内力和变形完全相同。X 3X 1X 3X1X 2X 2 FP FP x ys x O A y B A B /2 /2 y(a) (b) FX1=1FX1=1ysX 2=1X 2=1 x x y y (c) (d) X3=1X3=1 x FP y（e） (f) 图6.55图6.55（a）的基本体系为6.55（b）所示，由图6.55（c）、（d）、（e）得： (6-25) 式（6-25）中坐标如图6.55（a）所示，弯矩以拱底部受拉为正，轴力以拱受压为正，剪力以使隔离体绕远端点顺时针转动为正。角右半拱为正，左半拱为负。令可以求得ys 则： （6-26）换而言之，当利用（6-25）式求得ys ,即可得： 力法方程为三个独立的方程，可以求得： （6-27）在一般情况下，主系数ii和自由项iP只考虑弯曲变形的影响。当拱轴为合理轴线，或矢跨比较小（）且横截面较厚（）时，在计算和自由项时，要考虑轴力引起的变形。 （6-28）当求出X1，X2，X3后，可以在基本体系上取隔离体求出任意截面内力，如图6.56（a）、(b)所示。X3X1X2y FP x FP X1 X1 ys y ys X3 X3 M X2 X2 y x x(a) ( b)图6.56设X1、X2、X3方向如图6.56（a），由平衡条件： （6-29）上述方法也称为弹性中心法，当ys确定后，图6.55（a）所示的o点称为弹性中心，这是由结构本身的几何特性与物理特性所决定的特征。ysods C图6.57f y设想沿拱轴曲线作出宽度为的带状图形，同一种材料的弹性模量E为常数，截面惯性矩I与截面尺寸有关，通常无铰拱设计成变截面，支座处截面大，拱顶截面小，I（x）为变量，EI支座处大，在拱顶处EI值最小；而则相反，在支座处小，在拱顶大。示意图为6.57。从图6.57中某一点取一微段ds，其对应的截面高度为，则：公式：的物理意义是计算弹性面积图形形心的纵坐标公式，分母代表拱轴线全长的总面积。当以弹性中心O为坐标原点，y及x1轴是弹性面积图形的形心主轴；当拱轴线为对称结构时（如），由材料力学可知，平面图形对其形心主轴的惯性积，静矩均等于零，有 （6-30） 当X1=1、X2=1、X3=1分别作用在弹性中心，则有 同样可求得：即在方程中副系数全部为零，力法方程为三个独立的方程，上述无铰拱弹性中心法也适用如图6.58所示等结构形式。 图6.58【例613】 已知如图 6.59所示变截面无铰拱，拱轴线为二次抛物线，截面为等宽度的矩形，宽度b=1m,拱顶厚hc=0.6m,Ix=Ic/cos ,Ax=Ac/ cos 。试求C，D点的内力。 X1X1X3X36m6m6m6m C FP =100KN FP=100KN D E x ys x 6m A y B X2 X2 y(a) (b)图6.59 【解】（1）取基本体系。取基本体系如图6-59（ b）所示（2）求弹性中心ys 。 取 拱轴线方程： （3）求多余未知力 。 由于： 计算11略去轴向变形的影响。当x1=1、x2=1、x3=1分别作用于弹性中心时，右半拱悬臂梁的弯矩分别为： 荷载作用在基本体系上，左半拱悬臂曲梁的内力为 MP= FNP= FQP=0右半拱悬臂曲梁的内力为：当0x6时 MP= FQP= FNP=0当6x12时 MP=100(x6) FNP=100cos FQP=100sin由（6-28）式求主系数及自由项：由（6-27）式求多余未知力：（4）由式（6-29）可求得C、D点的内力。C点的几何参数： D点的几何参数： 2 支座移动时无铰拱的计算 如图6.60(a)所示， 设B支座发生水平移动距离为a。 C x CX3ysX3af B/ X1 X1B/ A B A X2 X2 B /2 y /2 a (a) (b) 图6.60用弹性中心法计算，取隔离体如图6-60（b）所示，ys计算公式仍为（6-26）式。其力法方程为： （6-31） 主系数ii由（6-28）计算可得。自由项，为Xi=1单独作用在基本体系上引起的支座反力，c为对应支座反力的支座位移。设X1、X2、X3方向如图6.60（b）所示，无铰拱上的任意截面的内力： （6-32）3 温度改变时无铰拱的计算图6-61（a）所示的无铰拱（不考虑B支的水平位移），设拱的外侧温度升高t1C，内侧温度升高t2C，设拱截面形状对称于形心，则拱轴处的温度变化为，两侧温度变化之差为t=t2-t1，取基本体系为图6-61（b）（不考虑B支的水平位移），温度变化情况相当于对称荷载，而结构也是对称的，则有X2=0。ys计算公式为式（6-26）。t2t1 C x CX3ysX3 X1 X1 A B A X2 X2 B /2 y /2 (a) (b)图6.61力法方程由公式（6-31）变为： （6-33）由于： 可得： 弹性中心处的多余未知力：当内外侧温度变化相同时，即t1=t2=t，t0=t，t=0则有： 若拱轴为抛物线，截面按及变化，则有 （6-34）X1与截面刚度成正比，截面越大内力越大；同时，X1与温度变化成正比，升温时受压，降温时受拉。拱轴上任意截面的内力： （6-35）混凝土收缩也会引起超静定结构受力，混凝土收缩其各方向尺寸约减少0.025%，此值相当于温度下降时的t，混凝土的线膨胀系数为，混凝土收缩相当于温度下降25。若混凝土分段浇筑，其收缩的影响相当于温度下降1015。由于混凝土抗压强度较高，抗拉强度较低，因此拱封顶在温度降低时，有利于混凝土拱抗裂。6.10 连续梁的基本体系 三弯矩方程连续梁是土木工程中常用的结构形式之一，本节介绍由力法推导出的三弯矩方程计算连续梁的内力。图6.61（a）所示的连续梁，如果取6.61（b）为基本体系，任何一个单位力Xi=1作用在基本体系上均与全梁有关系，由图乘法计算得到系数均不为零，且计算工作量大。如果取6.62（b）为基本体系，使每一跨度变为单个的简支梁，由图乘法求系数及自由项，只与相邻两跨有关系，参见图6.62（c）、（d）、（e）、（f），且只有n,n-1, nn, n,n+1系数，其余系数均为零。则典型方程可以简化为： x1 xn-1 xn xn+1原结构 基本体系 （a） （b）图6.61 n,n-1Mn-1+nnMn+n,n+1+nP=0不论未知量有多少，每个典型方程中只包含三个未知量。 1 n-1 n n+1 原结构 Ln Ln+1（a） M1 Mn-1 Mn Mn+1 基本体系（b） Mn-1=1 Mn-1图（c）1 Mn=1 Mn图（d）1 Mn+1=1 Mn+1图（e）1 Mp图 （f）图6.62由图乘法求系数及自由项： 将上数系数和自由项代入典型方程得： 令： 、 (6-34)是任意某跨的惯性矩，、称为各跨的换算跨度。则三弯矩方程为： （6-35）当各跨惯性矩及跨度均相同时： （6-36）与见表6-2。表6-2 与的取值荷载6A*6B*abFP 当， abq 当,， M ab 当,， 当,， 【例614 】 已知如图6.63所示，EI=常数，作M图。 FP=100KN q=10KN/m 0 1 2 3 4 4m 4m 8m 8m 8m 图6.63解：由于在0、4两点为铰支座，则有M0=M4=0建立