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万有引力复习 开普勒第一定律 所有行星绕太阳的轨道都是椭圆 太阳处在椭圆的一个焦点上 一 开普勒定律 开普勒第二定律 对任意一个行星来说 它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 远处速度慢 近处速度快 开普勒第三定律 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 注意 常数 对于所有行星都相同 而各行星是不一样的 故跟行星无关 而在运动系统中除了行星就是中心天体 太阳 故这一常数 一定与中心天体 太阳 中心天体 有关 二 万有引力定律自然界中任何两个物体都是相互吸引的 引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比 跟它们的距离的二次方成反比 1 G为引力常量G 6 67X10 11Nm2 kg22 r为两物体的中心距离 3 公式中的单位全部要用国际制单位 表达式 F mg F向 O 重力与万有引力 如图所示 在纬度为 的地表处 物体所受的万有引力为 而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向 mRcos 2 方向垂直于地轴指向地轴 这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的 而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg 严格地说 除了在地球的两个极点处 地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力 而只是万有引力的一个分力 由于地球自转缓慢 所以大量的近似计算中忽略了自转的影响 认为地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力 即 地球自转对地表物体重力的影响 万有引力定律的应用 测天体的质量 密度 行星 卫星的运动 宇宙速度 同步卫星 思路一 天体表面重力近似等于万有引力 思路二 天体运动中 万有引力提供物体圆周运动向心力 重力加速度g 三 应用 天体及其运动的研究 一 重力加速度g 1 天体表面的重力加速度为 2 离表面某一高度的物体的重力加速度 轨道重力加速度 1 物体在一行星表面自由落下 第1s内下落了9 8m 若该行星的半径为地球半径的一半 那么它的质量是地球的倍 1 2 2 据报道 最近在太阳系外发现了首颗 宜居 行星 其质量约为地球质量的6 4倍 一个在地球表面重量为600N的人在这个星球表面的重量变为960N 由此可知 该行星的半径和地球半径之比为多少 A 0 5B 2C 3 2D 4 B 3 近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2 设在卫星1 卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1 g2 则 A B C D B 二 计算中心天体的质量M 密度 当卫星在天体表面上飞行 1 某星体m围绕中心天体M做圆周运动的周期为T 圆周运动的轨道半径为r 3 中心天体密度 例1 利用下列哪组数据 可以计算出地球的质量 A 已知地球的半径R和地面的重力加速度gB 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期TC 已知地球绕太阳做匀速圆周运动的半径r和线速度vD 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T 说明 根据地球卫星绕地球运行的参数 如周期 轨道半径 能推算出地球的质量 但不能推算卫星的质量 根据行星绕太阳运行的参数 能推算太阳的质量 但不能推算行星的质量 ABD 1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G 因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人 若已知万有引力常量G 地球表面处的重力加速度g 地球半径为R 地球上一个昼夜的时间为T1 地球自转周期 一年的时间T2 地球公转的周期 地球中心到月球中心的距离L1 地球中心到太阳中心的距离为L2 你估算出 A 地球的质量B 太阳的质量C 月球的质量D 可求月球 地球及太阳的密度 AB 3 某行星上一昼夜的时间为T 6h 在该行星赤道处用弹簧秤测得一物体的重力大小比在该行星两极处小10 则该行星的平均密度是多大 G取6 67 10 11N m2 kg2 解 由题意可知赤道处所需的向心力为重力的10 三 人造地球卫星 1 卫星的轨道平面地球球心一定在卫星的轨道平面内 注意 式中的r是卫星的轨道半径或卫星离地球球心的距离 不是卫星距离地面的高度 宇宙速度 4 由可得 如图 a b c是在地球大气层外同一平面内的圆形轨道上运动的三颗卫星 下列说法正确的是A 若由于某种原因 a的轨道半径缓慢减小 则其线速度将减小 B b c的线速度大小相等 且大于a的线速度C b c的向心加速度大小相等 且大于a的向心加速度D 若b c绕地球转动的方向相同 则它们的距离保持不变 D 如图所示 在发射地球同步卫星的过程中 卫星首先进入椭圆轨道I 然后在Q点通过改变卫星速度 让卫星进人地球同步轨道 则 A 该卫星的发射速度必定大于11 2km sB 卫星在同步轨道II上的运行速度大于7 9km sC 在轨道I上 卫星在P点的速度大于在Q点的速度D 卫星在Q点通过加速实现由轨道I进人轨道II CD 假设月球的直径不变 密度增为原来的2倍 嫦娥一号 卫星绕月球做匀速圆周运动的半径缩小为原来的一半 则下列物理量变化正确的是 A 嫦娥一号 卫星的向心力变为原来的一半B 嫦娥一号 卫星的向心力变为原来的8倍C 嫦娥一号 卫星绕月球运动的周期与原来相同D 嫦娥一号 卫星绕月球运动的周期变为原来的 B 下列关于地球同步卫星的说法正确的是 A 它的周期与地球自转同步 但高度和速度可以选择 高度增大 速度减小B 它的周期 高度 速度都是一定的C 我国发射的同步通讯卫星定点在北京上空D 我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空 BD 考据美国媒体报道 美国和俄罗斯的两颗通信卫星11日在西伯利亚上空相撞 这是人类有史以来的首次卫星碰撞事件 碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里 约790公里 恰好比国际空间站的轨道高270英里 434公里 这是一个非常常用的轨道 是用来远距离探测地球和卫星电话的轨道 则以下相关说法中 正确的是 A 碰撞后的碎片若受到大气层的阻力作用 轨道半径将变小 则有可能与国际空间站相碰撞 在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小C 发射一颗到碰撞轨道运行的卫星 则发射速度要大于7 9km s 在同步轨道上 若后面的卫星一旦加速 将有可能与前面的卫星相碰撞 AC 质量为m的人造地球卫星在地面上的重力为G 它在到地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运动时 A 速度为 B 周期为4 C 动能为GR D 重力为0 BC 同步卫星距地心间距为r 运行速率为v1 加速度为 地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 地球半径为R 第一宇宙速度为v2 则下列比值中正确的是 A B C D AC 四 双星问题 例8 两颗靠得很近的天体称为双星 它们以两者连线上某点为圆心作匀速圆周运动 这样就不至于由于万有引力而吸引在一起 设两双星质量分别为m和M 两星间距为L 在相互万有引力的作用下 绕它们连线上某点O转动 不考虑其它星体的影响 则OM间距为多少 它们运动的周期为多少 答案 mL M m 2 L3 G M m 四 双星问题 例17 有一双星各以一定的速率绕垂直于两星连线的轴转动 两星与轴的距离分别为l1和l2 转动周期为T 那么下列说法中错误的 A 这两颗星的质量必相等B 这两颗星的质量之和为4 2 l1 l2 3 GT2C 这两颗星的质量之比为M1 M2 l2 l1D 其中有一颗星的质量必为4 2l1 l1 l2 2 GT2 提示 双星运动的角速度相等 A 五 天体运行中的追及问题 例 如图所示 有A B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动 旋转方向相同 A行星的周期为T1 B行星的周期为T2 在某一时刻两行星相距最近 则 A 经过时间t T1 T2两行星再次相距最近B 经过时间t T1T2 T2 T1 两行星再次相距最近C 经过时间t T1 T2 2 两行星相距最远D 经过时间t T1T2 2 T2 T1 两行星相距最远 BD 1 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动 地球半径为R A卫星离地面的高度为R B卫星离地面的高度为3R 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方 则A卫星至少通过多少个周期两卫星相距最远 五 天体运行中的追及问题 某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等装备共重840N 在火箭发射阶段 发现当飞船随火箭以a g 2的加速度匀加速竖直上升到某位置时 其中g为地面处的重力加速度 其身下体重测试仪的示数为1220N 设地球半径R 6400km 地球表面重力加速度g 10m s2 求解过程中可能用到 1 03 1 02 问 1 该位置处的重力加速度g 是地面处重加速度g的多少倍 2 该位置距地球表面的高度h为多大 练习 1 太空被称为是21世纪技术革命的摇篮 摆脱地球引力 在更 纯净 的环境中探求物质的本质 拨开大气层的遮盖 更直接地探索宇宙的奥秘 一直是科学家们梦寐以求的机会 神州号 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心 我国提出了载人飞船 太空实验室 空间站的三部曲构想 某宇航员要与轨道空间站对接 飞船为了追上轨道空间站 A 只能从较低轨道上加速B 只能从较高轨道上加速C 只能从空间站同一高度的轨道上加速D 无论在什么轨道上 只要加速都行 A 练习 2 2009年2月11日 美国和俄罗斯的两颗卫星在西伯利亚上空相撞 这是有史以来首次卫星碰撞事件 碰撞点比相对地球静止的国际空间站高434km 则 A 在碰撞点高度运行的卫星的周期比国际空间站的周期大B 在碰撞点高度运行的卫星的向心加速度比国际空间站的向心加速度小C 在与空间站相同轨道上运行的卫星一旦加速 将有可能与空间站相撞D 若发射一颗在碰撞点高度处运行的卫星 发射速度至少为11 2km s AB 练习3 如图所示 A为静止于地球赤道上的物体 B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星 C为绕地球做圆周运动的卫星 P为B C两卫星轨道的交点 已知A B C绕地心运动的周期相同 相对于地心 下列说法中正确的是 A 卫星C的运行速度大于物体A的速度B 物体A和卫星C具有相同大小的加速度C 可能出现 在每天的某一时刻卫星B在A的正上方D 卫星B在P点的加速度大小与卫星C在该点加速度相等 ACD 练习 4 发射地球同步卫星时 先将卫星发射到近地轨道1 然后经点火 使其沿椭圆轨道2运行 经远地点时再次点火 将卫星送入同步轨道3 轨道1 2相切于点Q 轨道2 3相切于P点 如图5所示 当卫星分别在这三条轨道上正常运行时 以下说法正确的是 A 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B 卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率 C 卫星在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D 卫星在轨道2上经过P点的加速度大于它在轨道3上经过P点的加速度 B 练习 5 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统 通常可忽略其他星体对它们的引力作用 设四星系统中每个星体的质量均为m 半径均为R 四颗星稳定分布在边长为的正方形的四个顶