一道斜三角形应用题的多种解法和启示.doc

一道斜三角形应用题的多种解法和启示江苏省邳州市八义集中学 刘延芹（221300）内容摘要：本文主要是从一道解斜三角形应用题的三种解法，渗透方程思想,整体思想在解题中的妙用,以及注意挖掘题目中的隐含条件. 从而活化学生的思维，培养学生发散思维，创造性思维能力.关键词: 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 隐含条件解斜三角形的应用范围非常广泛，是高考热点之一.为了学好解斜三角形这一内容,需要掌握解三角形的基本理论、基础知识、基本方法,还需要注意函数思想的应用,方程思想的应用,整体思想的应用,以及注意隐含条件的挖掘.在解斜三角形问题中往往也有很多题可以一题多解，实际上一题多解就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。下面撷取一道解斜三角形实际应用题举例予以说明.题目：某观测站C在城A的南偏西20度的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40度，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问：这人还需走多少千米到达A城？分析：此题看似简单，如勤思善想，探挖广拓，进行多角度的探究，就能以小见大，从而开发我们思维的广度和深度，发展我们的求异变通的能力.本文通过对该题的多角度的探究,提高我们分析问题与解决的能力.现分析如下:已知：,求AD探究1 在中使用正弦定理求之在中，由余弦定理得在中，由正弦定理得答:此人还需走15千米到达A城.探究2： 在中使用余弦定理求之在中,由余弦定理得则，在中，由正弦定理得由余弦定理得，得与探究1比较，此处9为增根，为何出现这样情况呢？此处符合解斜三角形中已知两边及一边对角（该角为锐角）求解三角形问题.即:已知:这里如图AD应有两解.为什么探究1只有一解呢?仔细阅读题目挖掘隐含条件,因此,AD=15(km)比较1和2,在1中,巧妙使用为钝角.而探究2中,需要挖掘隐含条件,设增值.这就要求我们要善于使用题目中的条件.探究3 两次使用余弦定理,使用整体思想,方程思想解之在中,即在中,-得 AD=15或AD=-9(舍) 答:此人还需走15千米到达A城.该解法使用整体思想和方程思想,思路直接,计算简洁.探究1和3，恰当使用题目条件，巧妙避免两种解的出现，而探究2出现了两个解，需要找出隐含条件舍去增根.学生往往忽略隐含条件,找不到舍根的理由.本题的三种解法,从不同角度的探究,拓宽了解题思路,有效地复习和巩固了相关的基础知识.活化了数学的思维,并提高了发散性思维能力,促进了数学思想方法的灵活掌握和创造性的应用,尤其增强了我们的综合解题能力.布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会数学的基本思想和方法是通向迁移，因此，本例的一题多解不应简单地看成是解决数学问题的策略或方法，其重要意义是向我们揭示了如下的数学思想：1方程思想方程思想是一种重要的数学思想。所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式 。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 2整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。解斜三角形有着广泛的实际应用,诸如生活、生产、测量、航海等方面都有着重要的应用.我们将有关实际应用问题正确抽象为解斜三角形的数学模型.以正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式为基础；以变换思维运算为主体；以灵活运用为目的.应该熟练掌握各定理公式的特点,掌握一些化归和