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第七章 空间解析几何和向量代数习题课 2011 机动目录上页下页返回结束 一 向量代数 二 空间解析几何 一 主要内容 机动目录上页下页返回结束 向量的线性运算 向量的坐标表示 向量积 数量积 混合积 向量的积 向量概念 一 向量代数 机动目录上页下页返回结束 直线 曲面 曲线 平面 参数方程 旋转曲面 柱面 二次曲面 投影柱面 投影曲线 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程 空间直角坐标系 二 空间解析几何 机动目录上页下页返回结束 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1 空间直线与平面的方程 机动目录上页下页返回结束 为直线的方向向量 空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点 机动目录上页下页返回结束 面与面的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 2 线面之间的相互关系 机动目录上页下页返回结束 直线 线与线的关系 直线 垂直 平行 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 平面 垂直 平行 夹角公式 面与线间的关系 直线 机动目录上页下页返回结束 3 相关的几个问题 1 过直线 的平面束方程 机动目录上页下页返回结束 2 点 的距离为 到平面 Ax By Cz D 0 机动目录上页下页返回结束 到直线 的距离 为 3 点 机动目录上页下页返回结束 4 异面直线之间的距离 已知两直线 则 机动目录上页下页返回结束 5 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 三元方程 球面 旋转曲面 如 曲线 绕z轴的旋转曲面 柱面 如 曲面 表示母线平行z轴的柱面 又如 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面等 机动目录上页下页返回结束 4 空间曲面 5 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 机动目录上页下页返回结束 作业 习题6 8 P54 2 5 7 9 10 14 16 19 22 例1 解 由题设条件得 解得 二 典型例题 机动目录上页下页返回结束 例2 解 机动目录上页下页返回结束 例3 解 如右图 机动目录上页下页返回结束 则高向量为 证明 1 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 机动目录上页下页返回结束 得唯一驻点 例5 解 机动目录上页下页返回结束 化成参数式 则 解得 例5 解 机动目录上页下页返回结束 解1 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 例6 机动目录上页下页返回结束 故所求直线的方向向量 所求直线方程为 机动目录上页下页返回结束 解2 相交 求此直线方程 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 例6 机动目录上页下页返回结束 设所求直线与 的交点为 利用所求直线与L2的交点 即 则有 代入上式 得 由点法式得所求直线方程 而 机动目录上页下页返回结束 过点A且垂直于直线L1的平面方程为 过直线L2的平面束方程为 将A点代入上方程得 过点A和直线L2的平面方程为 联立 1 2 即为所求直线方程 机动目录上页下页返回结束 相交 求此直线方程 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 例6 解3 思路 先求交点 例7 求过点 且与两直线 都相交的直线L 解1 的方程化为参数方程 设L与它们的交点分别为 再写直线方程 机动目录上页下页返回结束 三点共线 机动目录上页下页返回结束 思路 例7 求过点 且与两直线 都相交的直线L 解2 分别求出过点M0 直线L1 机动目录上页下页返回结束 和过点M0 直线L2的平面方程 两者联立即为所求直线方程 利用平面束方程去求 过直线L1的平面束方程为 代入M0 1 1 1 解得 则 过直线L2的平面束方程为 代入M0 1 1 1 无解 说明过点M0和直线L2的平面方程为 联立 1 2 即为所求 机动目录上页下页返回结束 例8 分析 机动目录上页下页返回结束 关键是求出直线与平面的交点或直线的方向向量 解1 机动目录上页下页返回结束 解2 故所求直线方程为 机动目录上页下页返回结束 解3 又所求直线方程与已知直线相交 从而共面 所以 联立 1 2 解得 故所求直线方程为 例9 解 过已知直线的平面束方程为 机动目录上页下页返回结束 由题设知 由此解得 则所求平面方程为 机动目录上页下页返回结束 另一个满足条件的平面方程为 例10 解 由于高度不变 机动目录上页下页返回结束 故所求旋转曲面方程为 例11 解 机动目录上页下页返回结束 故所求旋转曲面方程为 旋转单叶双曲面 例12 解1 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 上方程化为 例12 解2 机动目录上页下页返回结束 以下同解1 例13 证明 空间曲线L 绕z周旋转一周所得的旋转曲面方程S为 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 证明 则 而 故 例14 求曲线 绕z轴旋转的旋转曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 机动目录上页下页返回结束 例15 解 机动目录上页下页返回结束 解得 所求平面方程为 例16 解 机动目录上页下页返回结束 例17 解 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 6 6 6 x y z 6 3x y 6 2 作图练习 1 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 6 6 6 x y z 6 3x y 6 2 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 作图练习 1 3x y 6 3x 2y 12 x y z 6 6 6 6 4 2 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 作图练习 1 3x y 6 3x 2y 12 x y z 6 6 6 6 4 2 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 作图练习 1 4 2 x y z 6 6 6 6 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 作图练习 1 4 2 6 6 6 平面y 0 z 0 3x y 6 3x 2y 12和x y z 6所围成的立体图 作图练习 1 a a 2 a a 2 a a 学画草图 a 2 1 1 1 y x 0 3 a a a 4 a a a 4 a a a 4 a a a 问题 这是个怎样的立体 这是个七面体 4 1 解1 又由条件知 取l的方向向量为 故l的方程为 机动目录上页下页返回结束 备用题 1 解2 过交点且与l1垂直的平面方程为 故l的方程为 机动目录上页下页返回结束 分析 习题课目录上页下页返回结束 解法1 习题课目录上页下页返回结束 解法2 习题课目录上页下页返回结束 即 解法3 习题课目录上页下页返回结束 即 习题课目录上页下页返回结束 解1 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N 令 机动目录上页下页返回结束 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 机动目录上页下页返回结束 说明 求直线与平面的交点的方法 将L化为参数方程 代入平面方程 确定t值 从而就可确定交点 x y z 注 当L为一般方程时 需要解三元一次方程组 机动目录上页下页返回结束 解2 由题意 有 已知直线的方向向量为 所求直线方程为 机动目录上页下页返