上海中考前教研(相似三角形模型).doc

中考复习相似三角形常见模型 Huayan1、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）例、（2012上海23题）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE与BD交于点G（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形例、（2012年黄浦二模25）如图，已知中，是边上的中点，是边上的点（不与端点重合），是边上的点，且，延长与直线相交于点，点是延长线上的点，且，联结，设，.（1）求关于的函数关系式及其定义域；（2）联结，当以为半径的和以为半径的外切时，求的正切值；（3）当与相似时，求的长例、（2011年杨浦一模25）如图，已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=11，BC=13，AB=12动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP线段PQ与BD相交于点E，过点E作EFBC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x（1）求的值（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S（3）当PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值例、（2007年中考24题）图9如图9，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式添线成A字型、8字型来解决问题例、（2012年奉贤二模25）（添线成A字型）已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，联结（1）若，求弦的长（2）若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围；（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值例、如图，函数的图像与轴交于点、，点是这个函数在轴上方图像上的一个动点（与点、不重合），点是的中点，联结并延长交于（1）求点、的坐标；（2）求的值；（3）设点关于轴的对称点是，四边形是菱形，求此时直线的解析式例、（2013年浦东新区二模23）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、（1）求证：；第23题图（2）过点作，垂足为，联结求证： 是等腰三角形（三）母子型 例1：（2012年黄浦二模23）如图，在正方形中，为对角线上一点，联结、，延长交于点（1）求证：；（2）当时，求证： 例2：（2012年普陀二模23）如图，四边形中，点在的延长线上，联结，交于点，联结，且（1） 求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形例3：（2012松江二模23）如图，在梯形中，点在对角线上，作，连接，且满足（1）求证：；（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由例4、（2013年徐汇二模23）如图7，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于点.（1）求证：四边形是平行四边形； （4分）ABCDEFM（图7）N（2）如果，求证：. （8分例5、（2013年松江二模25）如图，在中，点在边上，沿翻折，点与边上的点重合，过点作交的延长线于点，交的延长线于点（1）当时，求的长；（2）如果，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结，如果，求的长但不是所有涉及到线段的平方的都是母子三角形如：（2013年静安二模）ABCDEF已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点， =求证：（1）； （2）相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证： 2、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD; (2)ND=NCNB3、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一点，CFBE于F。求证：EBDF=AEDB4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：5（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）ACBPDE（第25题图）已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 一线三等角的变形例1、（2012年杨浦二模25）四边形中，点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且记，（1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系；（2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围；（3）若cos=，试用的代数式表示例2、如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长（2010年徐汇区）例3、（08年浦东新区二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=5，P是边BC上的一个动点，APQ=B，PQ交射线AD于点Q设点P到点B的距离为x，点Q到点D的距离为y（1）用含x的代数式表示AP的长（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）CPQ与ABP能否相似？如果能，请求出BP的长；如果不能，请说明理由 ABPCDQ练习：CADBEF1、如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 2、在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABC备用图ABC备用图ABCPQ3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长CDABP（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长4、如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且ABCDE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由 5、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长6、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； 当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（第25题图）7、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积备用图（五）一线三直角型： 常常在题目隐含着，需要构造一线三直角来解题如：例1、(2013年黄浦二模25)如图，在梯形中，是腰上一点，且（1）当时，求梯形的面积；（2）当时，求线段的长；（3）当是直角三角形时，求边的长例2、（2013年黄浦二模17）如图，平面直角坐标系中正方形，已知，则 例3、（2011年虹口一模25）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的一动点，联结并延长交射线于点，过作的垂线交的延长线于点，联结，交边于点设的长为，的面积为（1）求的正切值；（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）线段的中点记为点，联结，若，求的值 例4、（2012年虹口二模25题）如图，ABC中，ABC=90，AB=BC=4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），ADAB，垂足为点A.联结MO，将BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线M B1与AC、AD分别交于点F、N.（1）当CMF=120时，求的长；（2）设，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；OABCMDNB1F（3）联结NO，与AC边交于点E，当FMCAEO时，求的长变形应用：例1、（2012年长宁二模24）在中，将一直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别与边或其延长线上交于两点（假设三角板的两直角边足够长），如图1，图2，表示三角板旋转过程中的两种情形.（1） 直角三角板绕点旋转过程中，当 时，是等腰三角形；（2） 直角三角板绕点旋转到图1的情形时，求证：；（3） 如图3，若将直角三角板的直角顶点放在斜边的点处，设（为正数），试判断的数量关系。并说明理由 例2、将上题中的条件不变，将等腰直角三角板的直角顶点E放在斜边AB的中点O，（如图4），将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交射线AB,BC于P,Q两点，图5，图6是旋转三角板得到的图形中的两种情况（1）、三角板绕点O点旋转，观察线段OP和OQ之间有什么数量关系？并结合图5,6加以证明（2）、如果将三角板的直角顶点方在斜边AB上的M处，且,和前面的操作一样，问线段MP和MQ之间有什么数量关系？并结合图6加以证明。Fig 5Fig 6CB（3）、求的比值是多少？Fig 4例3、已知MON60，是MON的平分线，P是射线OT上一个动点，射线PB交射线ON于点B。（1）如图甲，若射线PB绕点P顺时针旋转120后与射线OM交于点A，求证：PAPB；（2）若OB2，射线PB绕点P顺时针旋转120后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足PBDABO，求OP的长。（6） 双垂型： 例1、如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED例2、（2012年中考24题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点、，与轴交于点，点在线段上，点在第二象限，垂足为（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段、的长（用含的代数式表示）；（3）当 =时，求的值练习：1、如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。2.如图RtABC中,ACB=，点E是BC的延长线的一点,EFAB于F,CGB=A.求证：CGBE=EGBG. 、3.如图,在ABC中,AHBC于H，CFAB于F，D是AB上一点，AD=AH，DEBC，求证：DE=CF. 旋转型：旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展例1、（2011年普陀区二模25）直角三角板中，=30，1.将其绕直角顶点逆时针旋转一个角（且 90），得到.（1）如图9，当边经过点时，求旋转角的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边与所在直线交于点，过点作交边于点，联结.当时，设，求与之间的函数解析式及定义域； 备用图当时，求的长.例2、（2012年黄浦二模18）如图，在Rt中，点在上，且，若将绕点顺时针旋转得到Rt，且落在的延长线上，联结交的延长线于点，则= 例3、（2013年奉贤二模23）如图，已知是等边三角形，点是延长线上的一个动点，以为边作等边，过点作的平行线，分别交、的延长线于点，联结（1）求证：；（2）如果，判断四边形的形状，并说明理由ADCBFEG第23题共享型： 例1、（2011年中考25题）在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关