14第十四章 虚位移原理.ppt

14 1约束 虚位移 虚功 14 2虚位移原理 第十四章虚位移原理 虚位移原理研究的是静力平衡问题 而不是动力学问题 虚位移原理 质点系在理想约束情况下 处于平衡的必要与充分条件是质点系受到的所有主动力在质点系虚位移中的元功之和为零 Fi为质点Mi所受的所有力的合力 ri为该质点的虚位移 虚功方程 满足此式 不论刚体 变形体还是质点系必定平衡 它是质点系平衡的最普遍方程 所以 也称为静力学普遍方程 应用虚位移原理的优越性 1 应用范围广 既适用不变质点系 也适用可变质点系 包括变形体 在静力学里 建立的平衡条件 对于刚体的平衡是必要和充分的 但对于变形体来说 就不一定总是充分的 但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡 它适用于任意质点系 2 解决力学问题方便简捷 它特别适用于非自由质点系 而非自由质点系是工程中常见的 对于非自由质点系受到的约束越多 所列的方程越少 对于理想约束 则约束反力不在方程中出现 这使解题十分方便 3 与达朗伯原理结合起来可解决非自由质点系的动力学问题 从而得到动力学普遍方程 14 1约束 虚位移 虚功 1 约束及其分类 限制非自由质系运动的各种条件称为约束 表示约束限制条件的数学方程称为约束方程 点M的约束方程为 A B两点的约束方程为 1 几何约束 只限制位置运动约束 还限制速度 2 定常约束 约束方程中不显含时间非定常约束 约束方程中显含时间 3 固执约束 双面约束非固执约束 单面约束 4 完整约束 几何约束以及可积分的运动约束非完整约束 不可积分的运动约束 约束分类 几何约束 只限制位置 运动约束 还限制速度 定常约束 约束方程中不显含时间 非定常约束 约束方程中显含时间 固执约束 双面约束 非固执约束 单面约束 1 定义在给定瞬时 质点或质点系在约束所允许的情况下 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移 2 虚位移 实位移是在一定的时间内真实发生的 它除满足约束方程外 还满足动力学方程及初始条件 可以是有限量 也可以是微量 虚位移只满足给定瞬时的约束 它是假想的 并且是微量 2 虚位移与实位移的区别 在定常约束情况下 微小实位移是虚位移中的一个 否则则不是 例求图所示椭圆规机构中 滑块A B虚位移之间的关系 得 质点系中各点虚位移之间的关系与系统运动时各点速度之间关系相同 3 质点系中各点虚位移之间关系 几何法 例求AB杆上各点虚位移之间的关系 例用解析法求图示椭圆规机构中 滑块A B的虚位移 解 解析法 建立质点系中各质点的坐标 取其变分的方法 例求A B两点虚位移之间的关系 解 1 几何法 2 解析法 虚位移表达式 图示系统中 AE杆的虚位移dq如图 试画出图示位置H E J B F C G各点相应的虚位移 请你思考 I 3 虚功 力在虚位移中所作的功称为虚功 1 虚位移是微量 故虚功也是微量 注意 2 虚位移是假想的 故虚功也是假想的 虚功用表示 例如图示机构中力F的虚功为 力偶M的虚功为 约束力在质系虚位移上元功之和为零的约束称为理想约束 光滑面约束 纯滚动约束 不可伸长柔索或轻质杆约束 4 理想约束 A 对于具有理想约束的质点系 其平衡的充要条件是 作用于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零 或 或 即 14 2虚位移原理 虚位移原理也称为虚功原理 指的是 原理推导 对于理想约束 有 得 即 对于理想约束的质点系 其平衡的充要条件是 作用于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零 虚功方程 例图示平面机构中各杆与弹簧原长均为l 重量均可略去不计 弹簧刚度为k 铅直导槽是光滑的 求平衡时 P的大小与角度q之间的关系 解 弹簧属于非理想约束 解除非理想约束 代之以相应的约束力 可视为主动力 作用于机构上的力除主动力P外尚有弹性力F及F 它们的元功之和等于零 弹簧的伸长为 弹性力为 应用虚位移原理 得 例图示均质杆OA及AB在A点用铰连接 并在O点用铰支承 两杆各长2a及2b 各重W1及W2 设在B点加水平力F以维持平衡 求两杆与铅直线所成的角及 解 先使保持不变 而使获得变分 得到系统的虚位移如图 代入式中 求得 应用虚位移原理 再使保持不变 而使获得变分 得到系统的虚位移如图 应用虚位移原理 代入式中 求得 例螺旋压榨机中螺杆的螺距为h 如果在手柄上作用一在水平面内的力偶 其力偶矩为2Fl 求平衡时作用于被压榨物体上的压力 忽略螺杆与螺母之间的摩擦 解 给系统以虚位移 例图示椭圆规机构中 连杆AB长为l 滑块A B与杆重均不计 忽略各处摩擦 机构在图示位置平衡 求 主动力FA与FB之间的关系 解 O y x A B 例三铰拱上作用有力P及力偶M 如图所示 求B铰的约束力 解 1 求B铰水平约束力 2 求B铰的垂直约束力 2 求B铰的垂直约束力 方法二 作用在转动刚体上力的功等于力矩乘以角位移 例求图示无重组合梁支座A的约束力 代入虚功方程 得 解 解除A处约束 代之反力 给系统虚位移 或者 解 解除A处铅垂方向约束 代之以反力FAy 系统虚位移如图 例求图示组合梁固定端A处约束反力偶矩 解 解除A处阻碍转动的约束 代以对应的约束反力偶MA 给系统虚位移 例刚架受荷载如图所示 求铰支座A处的水平反力 解 将A处的水平约束解除 代以对应的水平反力FAx 并将该力作为主动力看待 系统虚位移如图 根据虚位移原理 有 代入式中 求得 求铰支座A处的竖直反力 解 将A处的竖直方向约束解除 代以对应的反力FAy 并将该力作为主动力看待 系统虚位移如图 根据虚位移原理 有 代入式中 有 求得 本章小结 1 虚位移原理主要研究非自由质系的平衡问题 基本概念有约束及约束方程 虚位移 虚功 理想约束等 2 虚位移的定义 在给定瞬时 质点或质点系在约束所允许的情况下 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移 3 确定质系中各质点虚位移