冗余机器人的轨迹规划.doc

论文标题 作者姓名基于笛卡尔空间变量反馈的关节轨迹规划和仿真徐建明，陆群（浙江工业大学 信息工程学院，浙江 杭州）摘要：对于冗余操作臂逆运动学问题，建立欧拉迭代公式，将关节空间轨迹规划问题，化为求解关节角速度和关节角加速度的问题。对于奇异位形问题和避障问题，沿用过去经典的方法，并对这些方法加以论证。最终给出了基于笛卡尔空间变量反馈的关节轨迹规划流程图，并对平面操作臂进行了MATLAB仿真。关键词：冗余操作臂；奇异位形和碰撞；仿真中图分类号：Joint Trajectory Planning and Simulation Based on the Feedback of Cartesian Space VariableXu Jian-ming,Lu Qun(College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology .Hangzhou Zhejiang )Abstract:For the problem of redundant manipulator inverse kinematic, we convert the joint space programming proplem into solving the problem of joint velocity and joint acceleration using Euler Iterative Method. For the problem of singularity gesture and collision avoidance, we follow the classical methods, and acquire the demonstration of these methods. Finally we proposed the joint trajectory planning flow diagram based on the feedback of Cartesian space variable. As an illustration, we simulate the plane 4R manipulator using MATLAB and get desired result.Key words:redundant manipulators;singularity and collision;simulation 0引言从1959年第一代工业机器人在美国诞生起，机器人行业发展迅速。机器人的研究对象也先后经历了具有确定性的机器人到具有不确定性的机器人、单个机器人到多个机器人、非冗余机器人到冗余机器人的发展阶段。添加冗余自由度的机械臂能够在有障碍物的机动工作空间中具有更好的灵活性，同时可以方便、有效地避开其奇异位形。考虑到冗余机器人具有灵活性好和多任务等特点，自20世纪80年代以后，研究冗余机器人的人数不断增加，研究不仅限于传统运动学层次，而且也包括传感器和信息处理，从而实现智能机器人的分级控制系统8。逆运动学求解问题是机器人学中重要的环节，由于其解情况的复杂性，逆运动学问题相对于正运动学要复杂得多。Whitney(1969,1972)13,14和Albala(1979)等分别提出了解决逆运动学问题的两种方法：Resolved Motion Method和 Inverse Kinematic Method，Resolved Motion Method可以看成是Inverse Kinematic Method没有内建收敛标准的一次迭代的形式。Pyung H.Chang（1987）在他的博士论文8中对这两种方法在冗余机器人和非冗余机器人中的应用进行了比较。鉴于冗余机器人的雅可比矩阵为非方阵，Whitney(1972)通过提出了雅可比矩阵的Moore-Penrose伪逆矩阵，J.Baillieul(1985)1则给出了逆运动学解的一般形，但其中的一些参数的求解方法并未给出。Hanafusa(1981)等提出了基于优先级分解总任务为子任务的概念，Tsuneo Yoshikawa(1984,1987)4等将奇异位形或障碍物避开等任务归为低优先级的子任务，引出了低优先级子任务的性能指标，从而给出了逆运动学解的具体形式。Joel W.Burdick（1989）11以和操作臂为例，分析了它们的自运动流形（Self-Motion Manifolds），给出了冗余操作臂的零空间的几何解释。D.K.Chol等12（1992）结合自运动流形的定义，提出了给定任务最优解的充分条件，并给出了SFS（Singularity-Free Space）的概念和定义。Jin-Liang Chen（2002）10等结合了梯度投影方法，给出了一种新的目标方程来避免障碍物和关节角的限制。Guoxiang Ping（2009）9基于人工安全区域，给出了操作臂与安全区的距离的度量，从而达到实时避障。论文首先对操作臂逆运动学问题加以描述，然后针对欧拉迭代的方法，将冗余操作臂的奇异位形和避障问题都归结于求解关节速度和关节角速度的问题。对于经典的避免奇异位形和避障的方法加以阐述和证明。最后，根据笛卡尔空间变量反馈，给出了关节轨迹规划的流程图，并对操作臂进行了MATLAB仿真。1 逆运动学问题考虑一个n自由度的操作臂，定义各关节变量定义为。操作臂任务空间笛卡尔变量：。根据运动学方程可建立两者的关系，。驱动器函数是要最终给出的，它不易用笛卡尔变量表示，而关节变量能起到桥梁的作用。通常运动学方程是非线性的，无法求出的解析解。根据Resolved Motion Method，可构造雅可比矩阵：，且，则有 （1）据（1）式，如果mn，则不是方阵，对于特定的，与之对应的有无穷多个，这一方面说明了该操作臂是冗余的，证实了冗余机器人能够避免奇异位形和障碍的可能性，另一方面也提出了如何寻找最合适的关节轨迹的问题。 解决轨迹规划的一种思路是采用欧拉迭代，即分步控制方法，即（2）式 （2） 是个常量，则关键是对的求解。2 关节角速率的求解2.1 关节角速率的求解可用Moore-Penrose伪逆阵来解决雅可比矩阵为非方阵的问题，的伪逆阵定义为，可得。为了避免机械臂的奇异位形和障碍物，J.Baillieul1给出了（1）解的一般形式： （3）其中是先验的，是随时间变化的向量，且维数与相同。Tsuneo Yoshikawa（1975）将避开操作臂奇异位形作为第二优先级的子任务，提出了标量性能指标，从而解决了（3）中。定义性能指标函数为： （4）并且越大，表示性能越好。 记，对于（4）两侧对时间求导得， （5） （6） 若令（其中为常数），则有 （7） （8）为了便于讨论的形式，可假设某时刻，则（7）、（8）两式变为（9）、（10）， （9） （10） （11）由（11）易见是幂等的。记根据的幂等性，可得据矩阵范数的相容性有： （12）而据（12）有 （13）推得： （14）假设，其中为关节速率的阈值，为一个常数（），可推得 （15） 因此 （16）对于（4），Tsuneo Yoshikawa（1985）2引入了可操作性的概念，其表达式为： （17）对于进行SVD分解，即，其中为酉矩阵，为由奇异值构成的矩阵，奇异值为。可推得：若为方阵时，；若机械臂处于奇异位形时，至少有，则。越大，表明机械臂的位形越好。假设各连杆的长度和为一定值，则可以利用使得最大，而设计各连杆的长度大小。对于（5）中的，其推导过程如下：记，则，对求导， （18） （19） （20）其中，为代数余子式。若为可逆矩阵，则，其中为伴随矩阵，则有 （21）且，其中分别为的第行向量。 （22）将（22）-（24）带入（21）， （23）除此之外，还有其它不同的性能指标，它们与可操作性是等价的，如：条件数，运动学作用指标KCI，它们的定义分别为：，其中分别是最大奇异值，最小奇异值及最小条件数。2.2空间解释Yoshihiko Nakamura（1987）4等对（3）作了空间解释，为了导出结论，先引出四个引理：设，为，且的零空间分别记为：；的值域分别记为：，的伪逆记为：引理1 设，则构成的空间为零空间的补空间，即 。此引理只需对原式两侧同时乘以方可证明。 引理2 设，则所构成的空间为。同样的，对于原式两侧同时左乘，易见结论。引理3 设，则所构成的空间为：。根据引理2，可得所构成的空间为：引理4 设，则。由引理1、3可得引理4。为了表述方便将（1）、（5）式记为： （24）重复利用（3）对（1）的求解方法，可得： （25）其中，。设分别为空间，分别是的零空间，分别是在下的值域。如图1所示，根据引理1，式（25）右侧的第一项将映射到子空间中。右侧第二项的，它是不影响第一子空间变量的第二子空间变量，它最终映射到子空间中。据引理3，右侧的第三项将第三操作变量映射到剩余的子空间中。也就是在处理奇异位形时，不会影响笛卡尔空间的要求。 图1空间解释示意图3 关节角加速度的求解3.1避免障碍物Uicker（1965）和Kahn（1969）5提出了刚体机械系统基于Euler-Lagrange方程的方法，它们用这种方法来模拟多刚体系统的动力学特性。欧拉-拉格朗日方程为： （26）其中为标量函数，它表示系统的动能，为维广义力矢量。其中可分为两部分，即：；，为产生的系统的保守力；为非保守力。若令，则有 （27） Khatib和Le Maitre（1978）4根据欧拉-拉格朗日方程，提出了用Artifical potential和耗散函数来确定关节广义力来避免障碍物的方法。关节广义力表达式为： （28） 其中为人工势能（Artifical potential），为耗散函数 （29）所需的广义力，一部分用来避开障碍物，另一部分用来提供各关节转动的能量。 Khatib和Le Maitre（1978）15定义了障碍物表面的逼近方程：平行六面体：圆锥：圆柱体：其中，分别是各障碍物的几何中心。设为操作臂中某些点的坐标设为，且有N个点。以平行六面体为例，定义下列函数： （30） （31） （32） （33）限制了障碍物与操作臂的相对位置，防止各关节超过最大关节角，为势能项。则 （34） 3.2关节角加速度的求解 机械臂的动力学方程为： （35）为操作臂的质量矩阵，为离心力和哥氏力，为重力矢量。由（28）和（35）可得 （36）4 反馈控制由于操作臂的建模误差及部分参数的不准确性的存在以及扰动输入与计算的精度的影响，操作臂实际输出的关节角与期望的关节角是存在偏差的，同样，操作臂末端执行器运动轨迹也存在轮廓误差。反馈控制可以较好的解决该问题，使其精度提高。通常对于操作臂有两种反馈方式：基于关节变量的反馈以及基于笛卡尔变量的反馈。对于前者反馈的方式所需的传感器比较简单，后者所需的传感器要求比较高，但控制精度会更高，应为其输出反馈的是最终要求的。对于前者的控制反馈示意图如图2所示： 图2 基于关节变量的反馈控制基于后者的反馈控制，可以采用Yoshihiko Nakamura4（1987）的形式，该方法与传统的反馈控制方法不同，是将反馈后形成的差量，作为的一个输入，具体过程为：对（1）两侧同时对时间求导得， （37）利用反馈， （38）其中，为理想轨迹，速度及加速度。综合（37）、（38）可得： （39）记 （40）仿照（3）的形式，则由（39）、（40）可得 （41） 据此，（2）的问题得到了解决。这里有一点，当初始关节角满足时，要给添加一个增量，通常可取，由于可操作性函数的作用，操作臂其它时刻点不会出现奇异位形。 操作臂关节轨迹规划流程图，如图3所示： 图3冗余操作臂轨迹规划流程图4 仿真实例假设一个平面4R机器人，它各连杆的长为，其初始角度为： ，规划该机器人的各关节轨迹，末端执行器的笛卡尔运动速度要求为：。图4 平面4R机器人由图4末端执行器坐标的表达式为： （42）对于（42）两侧同时求导，可得 （43） 其中，且，表示末端执行器绕轴旋转的角速度。 末端执行器只用实现三个动作：两平移、一旋转，而操作臂有四个关节，易判断该操作臂是冗余的。由于本实例比较特殊，对于的求解，只需即可，又由于不具有具体的操作臂对象，无法建立动力学方程，这里只考虑到分步速度控制层面。表1为该操作臂的DH参数表。利用MATLAB&Robotics ToolBox进行仿真，其结果如图5所示。 表1 机械臂DH参数表 10002003004005结语针对操作臂奇异位形和任务空间避障问题，结合基于笛卡尔空间变量反馈的方法，将所求问题转化为求解关节速率及关节加速度的方法。该方法，流程清楚，具有确定性和可行性。且编程简单，无条件判断语句，执行速度快。 图5 操作臂关节及关节速率轨迹曲线参 考 文 献1J.Baillieul,Kinematic programming alternatives for redundant manipulators,Proceedings.1985 IEEE Int.Conference on Robotics and Automation,March. 1985.pp.722-728.2T.Yoshikawa,Manipulability and redundancy control of robotic mechanisms,Proceedings.1985 IEEE Int.Conf. On Robotics and Automation,March.1985.pp.1004-1009.3T.Yoshikawa,Analysis and control of robot manipulators with redundancy,Robotic Research:The First Int.Symposium ,Brady,M.and Paul,R.(eds).MIT Press 1984.pp.735-747.4Nakamura,Y.,Hanafusa,H.and Yoshikawa,.TTask priority based redundancy control of robot manipulators,International Journal of Robotics Research,1987.6(2).pp.3-15. 5Jorge Angeles,Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Spriger-Verlag New Yourk,Inc.2003.6R.V.Mayorga-A.K.C.Wong,A Singularities avoidance method for the trajectory planning of redundant and nonredundant robot manipulators,Proceedings.1987 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Mar 1987.pp.1707-17127Tsuneo Yoshikawa,a steering law for three double-gimbal control moment gryo systems, NASA STI/Recon Technical Report N,.Aug.1975.8Pyung H.Chang,Analysis and Control of Robot Manipulators with Kinematic Redundancy,Techanical Report 1022,MIT 1987.9Guoxiang Ping,Bing Wei,Xianglong Li,Xiang Luo,Real time obstacle avoidance for redundant robot,IEEE International Conference on Mechatronics and Automation,Aug.2009.pp.223-228.10Jinliang Chen,Jingsin Liu,Avoidance of obstacles and joint limit for end-effector tracking redundant manipulators , ICARCV 2002.7th International Conference on Control, Autuomation , Robotics And Vision,Dec.2002.pp.839-844.11Burdick,J.W.On the inverse kinematics of redundant manipulators :characterization of the self-motion manifolds,1989 IEEE International Conference on Robotics and Automation,May.1989.pp.264-270. 12Cho D.K.,Choi B.w.,Won