高斯定理[2].doc

第23讲 静电场电场强度通量和高斯定理第23讲：静电场电场线和高斯定理 密立根油滴实验内容：84，851 电场线 2电场强度通量 （30分钟） 3高斯定理 （20分钟） 4高斯定理的应用 （30分钟） 5密立根油滴实验 （20分钟）要求： 3了解电场线的概念； 4掌握电场强度通量的计算方法； 1掌握高斯定理的内容； 2会用高斯定理来计算电场强度的分布； 3了解密立根油滴实验。重点与难点： 1高斯定理的内容； 2高斯定理的应用。作业：问题：P49：10，13，15，16习题：P52：13，15，16，20预习：86，87，88，89复习：l 电荷的量子化l 电荷守恒定律l 库仑定律l 静电场的概念l 电场强度l 电场强度叠加原理l 电场强度的计算84 电场强度通量 高斯定理 引言：上一节讨论了静电场电场强度和用积分的方法计算电场强度，本节我们在电场线的基础上，引进电场强度通量的概念；并导出静电场的高斯定理。一、 电场线（Electric Field Line）1电场线的概念：为了形象地描述电场的分布，可以在电场中画出许多曲线，这些曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相同，而且曲线箭头的指向表示场强的方向，这种曲线称为电场线法拉第(M.Faraday) 首先引入这一工具。定义 电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定：（1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；（2）曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力线条数满足。2几种典型的电场线分布：3电场线密度定义：经过电场中任一点，想象地作一面积元dS，并使它与该点的场强垂直，若通过dN面的电场线条数为dN，则电场线密度为dN/dS。若某点的场强较大，则dN较大，电场线密度较大，因而电场线密度应与场强成正比。规定 这样就可用电场线密度表示电场强度的大小和方向。对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向处处一致。4静电场的电场线特点：l 电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远），不是闭合曲线；不会在没有电荷的地方中断。l 任何两条电场线都不能相交。5关于电场线的几点说明：l 电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；l 在实际画电场线时，要求画出场强的方向，并要求电场线密度与电场强度成正比；l 电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况，对分析电场很有用处。l 电场线图形可以用实验演示出来。*6电场线方程在电场线上任取一段微元，则该微元应该平行于该处的电场强度，因而有 或 在xoy平面上：等量异号电荷：等量同号电荷：二、 电场强度通量（Electric Flux）1定义：通过电场中任一给定面积的电场线的数目，叫做通过该面积的电场强度通量，简称电通量，用表示。分几种情况讨论：l 均匀电场和非均匀电场；l 闭合曲面和非闭合曲面。2匀强电场的电通量取平面，若平面与平行时， 若平面与有夹角时，3非均匀电场的电通量（1）某一小面积元dS的电通量：（2）任意曲面的电通量：把S分成无限多个面积元dS，通过曲面S的电通量为：（3）闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分， 取微元，则 对所求平面， 对封闭曲面，规定：封闭曲面的法线方向垂直于曲面向外。电场线从曲面内穿出的地方，； 电场线向曲面内穿入的地方，。注意（1）电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。（2）电通量正、负值的说明由可知，电通量的正、负是由面元的法线正和电场强度矢量的夹角决定。对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿出，电通量为正；如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定；（3）电通量的单位（SI）：韦伯（Wb）例题：如图所示，有一三棱柱放在电场强度为的匀强电场中。求通过此三棱柱的电场强度的通量。解：三棱柱的闭合曲面有五个面组成：，通过各个面的电场强度通量为 面： 面： 面： 面： 面：因而通过闭合三棱柱的电场强度的通量为即，在均匀电场中，穿入三棱柱的电场线与穿出三棱柱的电场线相等，故通过闭合三棱柱的电场强度的通量为零。三、高斯定理（Gauss Theorem）高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855) 德国数学家、天文学家和物理学家，在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美称。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。(2) 光学 ：利用几何学知识研究近轴光线行为和成像，建立高斯光学。(3) 天文学和大地测量学：小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究。(4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。 (5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。1内容Gauss定理给出了穿过任意闭合曲面的电通量与场源电荷之间在量值上的关系。高斯定理：通过任一闭合曲面的电场强度的通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以，与封闭曲面外的电荷无关。2推导1）通过一个与点电荷q同心的球面的电通量S取微元，该处，的方向也是，因而 积分 即通过同心球面的电场强度通量等于球面内电荷的电量除以真空电容率，与球面半径无关，只与它所包围的电荷的电量有关。 正电荷，电场线从点电荷出发，穿出球面延伸到无穷远处； 负电荷，电场线穿入球面，终于q。 穿过球面的电场线条数为。2）包围点电荷q的任意封闭曲面S对于任意一个闭合曲面，只要电荷被包围在面内，由于电场线是连续的，在没有电荷的地方不中断，因而穿过闭合曲面与的电场线数目是一样的，故即在点电荷的电场中，通过包围点电荷的任意闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面的形状无关，都等于球面内电荷的电量除以真空电容率。简单证明：点电荷的电场为 取小微元，则通过此小微元的电通量为对闭合曲面积分，得 3）通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量为零。若闭合曲面S不包围点电荷，由于电场线是连续的，穿入该曲面的电场线与穿出该曲面的电场线数目一定是相等的，所以，穿过S的电场线总数为零。4）多个点电荷，则 连续分布的电荷 3关于高斯定理的说明：1）高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场线从面内（面外）穿出（穿入）；若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断；若闭合曲面内电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从正电荷发出穿出面外。可见，高斯定理说明正电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明了静电场是有源场，这是静电场的基本性质之一。2）高斯定理是在库仑定律（平方反比定律）的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛库仑定律只适用于静电场高斯定理适用于静电场、变化电场，是电磁理论的基本方程之一。高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规律，而是用不同形式表示的电场与源电荷关系的同一客观规律：库仑定律把场强和电荷直接联系起来，而高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系在一起。而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理论之一。3）高斯定理中的是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定（只不过曲面外的电荷对电通量没有贡献）。4）若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场强度并不一定为零。5）通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，即只有闭合曲面内的电荷对电通量有贡献，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。6）高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。四、高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。步骤：1进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量与平行或垂直，与平行时，的大小要求处处相等，使得能提到积分号外面；3计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。例1 均匀带电球壳的场强。设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。解：因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为 根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷当场点在球壳外时 电场强度为 当场点在球壳内时 电场强度为 例2 均匀带电球体的场强。 设有一半径为R、均匀带电为Q的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为 根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷 当场点在球体外时 电场强度为 当场点在球体内时 电场强度为 例3 无限长均匀带电直线的场强。 设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求距离直线为r处的电场强度。解：由于带电直线无限长，且电荷均匀分布，所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离的各点的场强的大小相等，即电场分布是柱对称的。以该直线为轴线作一圆柱面为高斯面，长为h，半径为r。由于场强与上下底面的法线垂直，所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为。又此高斯面所包围的电量为，所以根据高斯定理有 由此可知，电场强度为 例4 无限长均匀带电平面的场强。 设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为，求距离平板为r处的电场强度。解：由于带电平板无限长，且电荷均匀分布，所以带电平板两侧电场的分布具有对称性，所以场强沿垂直于该平面，而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等。作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的。其侧面的法线方向与场强垂直，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零；由于场强与两个底面垂直，所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES。又此高斯面所包围的电量为S，所以根据高斯定理有 由此可知，电场强度为 即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关，而且场强的方向与带电平面垂直。无限大带电平面的电场是匀强电场。例5 两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场。解：有例4可知，在两平面之外，在两平面之内，方向有带正电的平面指向带负电的平面。1. 例题 P26例题2：已知半径为 R，带电量为 q 的均匀带电球面，求空间场强 分布。解：由对称性分析知，的分布为球对称，即离开球心距离为 r 处各点的场强大小相等，方向沿各自的矢径方向。以O 为球心，过P 点作半径为r 的闭合球面S（高斯面），各点处面积元的法线方向与该点处的方向相同，所以由高斯定理：，因此得到：同理作高斯面S 有：即讨论（1）当 q0时，的方向沿矢径向外，当 q0 时，的方向沿矢径由外指向球心O。（2）Er 曲线。（3）内部场强处处为零；外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷场强分布相同；场强分布在球面处不连续，产生突变。（4）半径为R，均匀带电球体的场强分布。 P27例题3：求无限长均匀带电直线的空间电场分布。已知直线上线电荷密度为。解：由对称性分析，分布为轴对称性，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。作过P点以带电直线为轴，半径为 r，高为 h 的圆柱形高斯面 S ，通过 S 的电通量为高斯面S内所包围的电荷为，由高斯定理得：所以得：。 讨论（1）当0时，的方向沿矢径向外；当0时，的方向沿矢径指向带电直线。（2）Er 曲线。（3）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面，沿轴线方向线电荷密度为，其场强分布为 P27例题4：求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布，设电荷密度为。解：无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。其一轴垂直带电平面，高为 2 r 的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为： S 内包围的电荷为：由高斯定理： 所以得 当0，的方向垂直平板离开平板；当0，的方向垂直平板指向平板。2. 总结：应用高斯定理解题的步骤（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积；面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于计算。（3