泛函数与范数的定义.docx

泛函数-正文 又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在 Rn或Cn（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设为Rn中的区域，1表示边界嬠的片断,表示一函数集合。考虑对应,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分 如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程J(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数的欧拉方程，其中定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T 称为梯度算子,称为T 的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。 泛函数:S嶅XR（X 为拓扑空间）称为在xS处下半连续，如果对每个实数rx，有x的邻域U(x)，使得rz,凬zU(x)S。称在xS处下半序列连续,如果对每个序列 。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。 设是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。如果(x+y)(x)+(y)， 称为加性的；如果（x）=(x),R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。当取实值时,加性得放松为次加性,其定义为：(x+y)(x)+(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：(x)=(x)(0)；如果同时有次加性及齐性，则称具有次线性；如果对于(0,1)，有(x+(1-)y)(x)+(1-)(y)，则称为凸的;如果当xy时上式中的必为,则称为严格凸的。在一些问题中,容许凸泛函数取值,但扝+,这时称为真凸的。此外,还有所谓凸集S上的拟凸泛函数：S嶅KR（K为线性空间），使(tx+(1-t)y)maxx,y,x,yS, t(0,1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数称为强制的,如果有函数:(0,+)R,(t)+(t+)使得(z)(z),凬zS。 线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一，也是研究空间性质及结构的工具。例如，局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K，K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。 相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如，设K1、K2是同一数域上的线性空间,定义在积空间K1K2上的映射:K1K2R（或C）称为双线性泛函数,如果K2(K1)中元素固定时成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K，K1及K2中取等同的xK，则得(x,x),称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究，双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。 拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数，即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度，即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。范数向量范数 定义1. 设 ,满足 1. 正定性:x0,且x=0 x=0 2. 齐次性:cx=cx, 3. 三角不等式:x+yx+y 则称Cn中定义了向量范数,x为向量x的范数. 可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数. 常用向量范数有,令x=( x1,x2,xn)T 1-范数:x1=x1+x2+xn 2-范数:x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范数:x=max(x1,x2,xn) 易得 xx2x1n1/2x2nx 定理1.Cn中任意两种向量范数x,x是等价的,即有m,M0使 mxxMx 可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得 定理2.设x(k)是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则 x(k)-x0(k) iff xj(k)-xj0,j=1,2,n(k ) 其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称x(k)收敛于x,记作x(k) x(k),或 . 三、 矩阵范数 定义2. 设 ,满足 1. 正定性:X0,且X=0 X=0 2. 齐次性:cX=cX, 3. 三角不等式:X+YX+Y 4. 相容性: XYXY 则称Cnn中定义了矩阵范数,X为矩阵X的范数. 注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量 序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩 阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性: AxAx 所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的. 定理3. 设A是nn矩阵,?是n维向量范数则 A=maxAx:x=1= maxAx/x: x0 是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性 或者说是相容的. 单位矩阵的算子范数为1 可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义: x=X,X=(xxx) 常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 1-范数:A1= max |ai1|, |ai2| , ,|ain| （列范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）(其中|ai1|第一列元素绝对值的和|ai1|=|a11|+|a21|+.+|ann|,其余类似）2-范数:A2=( max i(AA) ) 1/2 ( 谱范数,即AA特征值i中最大者m的平方根,其中A为A的转置矩阵). -范数:A=max |a1j|, |a2j| ,., |ann| (行范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中为|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似）Frobenius范数: 它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. F-范数:|A|F= ( aij2 )1/2 (F范数,A全部元素平方和的平方根)四、 矩阵谱半径 定义3.设A是nn矩阵,i是其特征值,i=1,2,n.称特征值的绝对值的最大值为A的谱半