《高等数学12》理工模拟试卷及答案.doc

高等数学12理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上）1、已知函数，它在点处的梯度等于 2、过轴和点的平面方程为 .3、空间曲线在点处的切线方程为 .4、周期为的函数在上的表达式为，则它展开成傅里叶级数时的系数 .5、函数在区域上的最大值为 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设正项级数收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）（A）； （B）；（C） （D）2、设直线为，则直线（ ）. （A）过原点且垂直于轴； （B）过原点且垂直于轴； （C）过原点且垂直于轴； （D）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求的特解时，应设（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 4、设为连续函数，则二次积分（ ）（A）； （B) ；（C）； （D）.5、比较的大小，其中积分区域是由圆周（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 和不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分）1、求向量与的夹角；2、设由方程所确定，求；3、设，具有二阶连续偏导数，求.4、计算二重积分， 其中由曲线和 所围成的平面闭区域；5、已知立体是由圆柱面内部、平面下方和抛物面上方部分围成，求.四、判断题（本题8分）判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数展开成的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程的通解.3、求微分方程满足初始条件的特解.高等数学12理工类试题二一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上）1、设，则在处沿从到方向的方向导数为 2、过点且与直线垂直的平面方程为 .3、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，当时，的傅里叶级数收敛于 .4、已知，则 .5、函数在区域上的最大值是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、直线与平面的位置关系是（ ）； （A）平行； （B）垂直； （C）直线在平面上； （D）成度角.2、如果函数的两个二阶偏导数及在区域内连续，则这两个偏导数在该区域内的关系是（ ）；（A）； （B）； （C）； （D）不能确定.3、设，为连续函数，交换积分次序后，得（ ）（A）； （B) ；（C）； （D）.4、幂级数的收敛域是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）.5、函数是下列哪个微分方程的通解（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 三、计算与证明题（本题共5小题，1题6分， 2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分）1、设，试确定常数，使垂直于；2、设由方程确定，求，；3、设是可微的函数，试证曲面上任意一点处的切平面都过原点；4、设区域，计算二重积分.5、计算三重积分，其中是由曲面、及所围成的立体.四、判断题（本题8分）判定级数的敛散性.五、综合题（本题共3小题，1题8分，2、3题每题7分，满分22分）1、试将函数展开成的麦克劳林级数,并讨论级数的收敛域.2、求微分方程满足初始条件的特解.3、求微分方程的通解.高等数学12理工类试题三一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上）1、已知，则 2、已知曲线为,问曲线上哪些点的切线平行于平面 .3、将偶延拓为周期为的周期函数展开成余弦级数时，傅里叶系数中的值为 .4、已知函数连续，交换积分次序 .5、函数在点处取得极 值8（填“大”或“小”）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、方程表示的二次曲面是（ ）； （A）椭球面； （B）圆锥面； （C）柱面； （D）旋转抛物面.2、设为连续函数，则等于（ ）（A）； （B) ；（C）； （D）.3、若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛半径是（ ）（A）16； （B)4； （C）2； （D）1.4、设级数绝对收敛，则级数的敛散性是（ ）；(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D) 敛散性无法判定5、求方程的特解时，应设（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 三、计算与证明题（本题共5小题，1、2、3、4、5题每题8分，满分40分）1、已知直线和平面，试判定直线与平面的位置关系.2、设由方程确定，求.3、设，其中可微，证明：；4、计算二重积分，其中是由曲线、直线和轴所围成的闭区域.5、某工件是在一半径为的球体内，以某条直径为中心，轴用半径为的圆柱形钻孔机打一个孔，求剩余部分的体积.四、判断题（本题8分）判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分，2、3题每题7分，满分22分）1、试将函数展开成的幂级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程的通解.3、求微分方程的通解.高等数学12理工类试题四一、 填空：（每题3分，共15分）1 点M(2,-3,1)关于XOY平面的对称点是_;2 设=1,2,1,=-2,-1,1,则cos=_;3 函数在点(1,1)的全微分是_;4 设D:,则=_;5 设,则级数的收敛半径为_;二、 判断正误：（每题2分，共10分）1已知则级数一定收敛。 （ ）2若都是单位向量,则一定是单位向量。 （ ）3若二元函数在偏导数存在，则在点连续。（ ）4若函数在的偏导数不存在，则点一定不是极值点。 （ ）5若级数和都收敛，则级数收敛。 （ ）三、 计算：（每题8分，共32分）1 求过点且与和原点连线相垂直的平面方程。2 已知 求。3 求曲面在点（3，1，1）处的法线方程。4 函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。四、（8分）计算：， 其中，D：。五、（10分）计算由平面及曲面所围成的立体的体积。六、（10分）验证曲线积分 与路径无关，并计算其值。七、（15分）求幂级数的收敛半径和收敛区间。高等数学12理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_或_. 2、_.3、_. 4、 _.5、_8或 或_.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A. 2、B. 3、D. 4、A. 5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分） 2分 3分 1分.2、解：（8分）， 3分， 3分 2分.3、解：（8分）令对的偏导数记为，对的偏导数记为，对的偏导数记为，对的偏导数记为， 1分 4分. 3分.4、解：（8分）如图所示, 4分 2分. 2分5、解：（10分）如图所示 , 2分 3分 3分 2分四、（本题8分）解：（8分）考察，因为 4分而，所以几何级数是收敛的，故绝对收敛，原级数收敛.4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，又因为，2分所以，. 3分.当，即时，级数绝对收敛；当时，级数发散，当时，级数发散，级数收敛域为.所以， 3分2、解：（7分）因为是一阶线性微分方程，所以由 2分 3分.所以，通解为 2分3、解：因为是变量可分离微分方程，所以由 2分 （其中） 3分由，得特解为： . 2分高等数学12理工类试题二答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_. 2、_.3、_. 4、 _.5、_或或_.二、单项选择题（每小题 3分，共 15分）1、B. 2、C. 3、D. 4、B. 5、D.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，共40分） 1、解：（6分）因为 2分所以 2分 2分.2、解：（8分）法一. ， 4分 2分 2分.法二 令， 4分所以 2分 2分.3、解：（8分）设是曲面上任意一点，且，则有，令， 3分所以，过点的切平面方程为：， 3分注意到，变形得此为过原点的平面，得证 2分.4、解：（8分）如图所示， 4分 2分 2分5、解：（10分）如图所示， 4分 4分 2分四、（本题8分）解：（8分）因为 4分 2分, 所以，原级数收敛. 2分五、一般综合型 教师答题时间 ： 16分钟（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，又因为， 3分所以，或.3分因为，.当，即时，级数绝对收敛；当时，级数收敛，当时，级数收敛，级数收敛域为.所以， . 2分2、解：（7分）因为是变量可分离微分方程，所以由 2分 （其中） 3分由，得特解为： 2分3、解：（7分）因为是一阶线性微分方程，所以由 2分 3分.所以，通解为 2分（完）高等数学12理工类试题三答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_. 2、_和_.3、_. 4、_.5、_大_.二、单项选择题（每小题 3分，共 15分）1、D. 2、C. 3、C. 4、A. 5、B.三、 （本题共5小题，1、2、3、4、5题每题8分，共40分） 解：（8分）直线的方向向量为，平面的法向量为，因为 3分可知，从而直线. 2分又由已知条件可知点在直线上，将点的坐标代入平面方程，得可知在平面上，因此知直线落在平面上. 3分2、解：（8分） 5分， 3分.或 令， 5分所以 3分3、解：（8分）令， 3分 左端= 3分=右端得证. 2分.4、解：（8分）如图所示， 4分 2分. 2分.5、解：（8分）球体体积，柱形孔所对应的体积 4分. 2分所求体积为. 2分四、（本题8分）解：（8分）考察绝对值级数，因为，原级数不绝对收敛； 4分又因为（1）， （2）, 所以，原级数条件收敛. 4分五、（本题共3小题，1题8分，2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为 ，又因为， 3分 3分因为 ,.所以，收敛域为.所以， . 2分2、解：（7分）因为是变量可分离微分方程，所以由 2分 3分 （其中） 通解为： . 2分3、解：（7分）因为是一阶线性微分方程，所以由 2分 3分.所以，通解为 2分（完）高等数学12理工类试题四答案一、（1）（2，-3，-1）;.（2） （3）.3dx+9dy （4） （5）二、（1） （2） （3） （4） （5）三、1、解：（4分）平面方程