一次函数与反比例函数.doc

有关一次函数和反比例函数综合题一. 探求同一坐标系下的图象例1. （2006年韶关市中考题）已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2. （2006年贵港市中考题）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）A. B. C. D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例3. （2006年广东省中考题）如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。析解：因为双曲线过点A（1，2），所以得双曲线的解析式为。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为过点A（1，2）和B（2，0），所以 解得所以直线的解析式为评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求点的坐标例4. （2006年咸宁市中考题）如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。析解：在中，令，则；令，则。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线上， 不妨设点P的坐标为所以。又因为所以 整理得即 解得因为点P在第一象限，所以。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。四、 交点问题1、 与坐标轴的交点问题：无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。2、 与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。3、 与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。解决交点问题时，需要注意：（1）直线与双曲线的交点坐标适合直线解析式，也适合双曲线解析式；（2）通过观察图像可以知道在某一自变量范围内，一次函数值与反比例函数值的大小。解题方法：（1）当已知交点求函数解析式时，先将一次函数和反比例函数的解析式设出来，然后把交点坐标代入，求出未知量。 （2）对于一次函数值与反比例函数值大小的比较，我们需要观察两者的图像：当直线在双曲线上方时，即一次函数值大于反比例函数值；当直线在双曲线下方时，即一次函数值小于反比例函数值。例题：例1、如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（2，1），B（1，n）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围分析：（1）求反比例函数解析式需要先求出m的值把A（2，1）代入y中便可求出m2 把B（1，n）代入y中得n2由待定系数法不难求出一次函数解析式（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围例2、在平面直角坐标系XOY中，直线yx绕点O顺时针旋转90得到直线L，直线L与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式分析：依题意得，直线L的解析式为yx因为A（a，3）在直线yx上，则a3，即A（3，3），又因为（3，3）在y的图象上，可求得k9，所以反比例函数的解析式为y课上练习：1已知正比例函数yk1x(k10)与反比例函数y(k20)的图象有一个交点的坐标为(2，1)，则它的另一个交点的坐标是( ) A. (2，1)B. (2，1)C. (2，1)D. (2，1)2函数y=与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D0个3正比例函数与反比例函数图象都经过点(1，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方的自变量x的取值范围是.4已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是_5已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，当m=_时，有一个交点的纵坐标为66若正比例函数ymx(m0)和反比例函数y(n0)的图象都经过点(2，3)，则m_，n_.7一条直线与双曲线的交点是A（a，4），B（1，b），则这条直线的解析式为（ ）A B C D8如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数y的图象交于M、N两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围9 如图，已知一次函数y=kx+b（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1（1）求点A、B、D的坐标;（2）求一次函数和反比例函数的解析式 五、面积问题1、则： 2、 则： 3、 则： 例题：例1如图，过反比例函数（x0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AOC和BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定分析：从反比例函数（k0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，由此可得S1S2 ，故选B例2如图，P是反比例函数 图像上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是 。分析：由性质(2)可得：例3 如图，A、B是函数 的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，ABC的面积为S，则（ ）A.S = 1 B.1S2分析：由上述性质(3)可知,SABC = 2|k| = 2 例4如图:A、C是函数 的图象上任意两点，过A做x轴的垂线，垂足为B,过C做y轴的垂线，垂足为D.记的面积为,的面积为,则（ ）A. B. C. D.和的大小关系不能确定.分析：由上述性质1可知选C。注意此题不属于性质3的题型，要仔细读题，不能只看图像想当然的去做。理解并熟练掌握运用上述三个性质是解决此类问题的关键。例5、如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是，求：（1）一次函数的解折式；（2）AOB的面积例6已知反比例函数和一次函数的图象都经过点， (1)求点P的坐标和这个一次函数的解析式； 若点M(，)和点N (，)都在这个一次函数的图象上试通过计算或利用一次函数的性质，说明大于1、如图，点P是x轴上的一个动点，过点P作 x轴的垂线PQ交双曲线于点Q，连结OQ，当点P沿x轴正半方向运动时，RtQOP面积（ ）A逐渐减小 B逐渐增大 C保持不变 D无法确定2、反比例函数的图象在第一象限内经过点，过点分别向轴，轴引垂线，垂足分别为，已知四边形的面积为，那么这个反比例函数的解析式为（）yx3、如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴于点，计算的面积的面积。4、如图，是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足