n阶行列式的计算方法与技巧.docx

文章编号 :1002 - 8743 (2006) 01 - 0098 - 08n 阶行列式的计算方法与技巧杨立英1 ,李成群2(11 广西师范学院 数学与计算机科学系 ,广西 南宁 530001 ;21 广西财经学院 数学统计系 ,广西 南宁 530003)摘 要 :主要从 n 阶行列式的特点出发 ,通过例题的形式列举了行列式的主要计算方法 : 化为三角形法 ,镶边法 ,利用因式定理法 ,递推法.关键词 : n 阶行列式 ;三角形法 ;镶边法 ;利用因式定理法 ;递推法中图分类号 :O151122文献标识码 :A行列式计算问题是高等代数和线性代数中的基本问题 , 由于计算的技巧性较强 , 一直是学生不易领会和掌握的. 本文在总结作者多年教学经验的基础上对行列式的计算方法进行概括和提炼.化为三角形法1利用行列式的性质 :把一行 ( 列) 的适当的倍数加到另一行 ( 列) , 把一个 n 阶行列式化为三角形 , 再利用三角形行列式的特点进行计算.x 1 - a1x 1x 1x 2x 2 - a2x 2x 3x 3x 3 - a3x nx nx n例 1计算 n 阶行列式的值.x 1x 2x 3x n -a n解x 1 - a1x 1x 1x 2x 2 - a2x 2x 3x 3x 3 - a3x nx nx nx 1 -a1a1a1x 2- a20x 30- a3x n00=00 x 2x 1x 2x 3 x 3x n -a na1-a nn x 1 x 2 x n x i x 3 x na-1-1a1a2- 10a30- 1aaaa23nini = 1110000- 100- 100a1 a2a n= a1 a2a n=100- 1000- 1n x i( - 1) n - 1 a1 a2 a n- 1 .aii = 1收稿日期 :2006 - 03 - 06基金项目 :广西教育科学“十五”规划课题 (2005B015)作者简介 :杨立英 (1974 - ) ,女 ,河北河间市人 ,讲师 ,硕士 ,从事有限群研究.99 第 1 期杨立英 , 等 : n 阶行列式的计算方法与技巧a1x xxa2xxx a3xx x例 2计算 n 阶行列式的值.xxxa n解a1 -00x0a2 -000a3 -000xx xa1x xx a2xx xa3xx xxx=0x - a n0- a n0010- a n000a n - 1 -xxa nxxxa nx010xx- a n100x / ( a1 -x / ( a2 - x / ( a3 -x )x )x )( a1 -x ) ( a2 -x )( a n - x )=0001x / ( a n - 1 - x )n - 1a n / ( a n - x ) + x / ( ai - x )0000i = 1( a1 - x ) ( a2 -x )( a n - x ) ( x / ( a1 -x )+ x / ( a2 -x ) + x / ( a n - 1 - x ) + a n / ( a n - x ) ) .注意能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行 ( 列) 有尽可能多的相同的元素. 我们利用行列式的性质把某行 ( 列) 的倍数加到其它行 ( 列) , 出现更多的零 , 进而化为三角形. 类似 的题目还有 :1 + a11111 + a21111 + a3111a011a1010a2100、 1、1111 + a na xa10a aa0a n1- 1- 120- 2330n nnxaa ax、 a等等.- 1- 2- 30aaax镶边法2利用行列式按行 ( 列) 展开的性质 , 把 n 阶行列式通过加行 ( 列) 变成与之相等的 n + 1 阶行列式 , 利用行列式的性质把添加进去的行 ( 列) 的适当的倍数加到其它行 ( 列) , 使其它行 ( 列) 出现更多为零的元 素后再进行计算. 添加的行与列一般有四种方式 , 分别是添加在 : ( 1) 首行首列 、( 2) 首行末列 、( 3) 末行首 列 、( 4) 末行末列. 当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置.100广 西 师 范 学 院 学 报 (自 然 科 学 版)第 23 卷( 1) 添加首行首列或末行末列1 + a1 1 + a21 + a n111 + a2 1 + a21 + a n22例 3计算行列式的值.1 + a n 1 + a21 + a nnn解11101 + a11 + a201 + a201 + an111- 1- 1- 11 + a21 + an1 + a11 + a211a2ana111111 + a21 + an221 + a21 + ana2an=a=222221 + a21 + an1 + annn1 + a21 + ananan11 + an1-a aannn2n2 - 1110 - 1a1a20 - 10 - 1211000- 11111- 1-a2a2a2a na na naa11111111a2a na2a na2a n=+=22222222a2a2a2a na na n1a n01a1annnnnnnn2110a1a20- 1110a -0a2 -0a2a na n -a n - 111aa1111111a2a na2 -a n -a n - 1+a -=2222222a2a na2a n -a n - 112111- 1111a n0a1a2a -a0nnnnnnn000a -0a2a n - 1 ( aa n11a ( a -1)1)1)-1111 11 1a2a na n - 1 ( a+a -a ( a - 1)=2222 22 2a2a na n - 1 ( aa ( a -1)- 1)1a1a2a na21a -1nnnn nn na na n - 111aa1111a2a n - 1a n22222- ( a1 -1) ( a2 -1)( a n -1)=a2a n - 1a n1a nannnna n - 1a n - 111a1a211aa111a n - 1a n - 12222 a1 a2( a1 -1) ( a2 -1)( a n -1)a n-=a n - 1a n - 111a nannn1) ( aj - ai ) . 2 a1 a2( a1 - 1) ( a2 -1)( a n -a3 a3 x 3a n -1 i j na n - 1a n - 1a n - 1x 1a1a1a2x 2a2a na na n例 4计算 n 阶行列式的值.a1a1a2a2a3a3x n - 1a n - 1a nx n101第 1 期杨立英 , 等 : n 阶行列式的计算方法与技巧解111x 1a1a1a2x 2a2a3a3x 3a n - 1a n - 1a n - 1a na na nx 1a1a1a2x 2a2a3a3x 3a n - 1a n - 1a n - 1a na na n=111a1a10a2a20000a3a30x n - 1a n - 10a nx na1a1a2a2a3a3x n - 1a n - 1a nx n01110x 2 -000x 3 -000x 1 -00a1a2a3=00- a100- a200a31000x n -111x n - 1 -0a n - 1a n-010a n - 1-a n001000000111( x1 -a1)( x n -an)=00 a1 00 a2 00 a3 10 an - 1 01 an 11-1x1 -a1010x2 -a2001x3 -a3x-000ax - an - 1n - 1n n100100000( x1 - a1)( x n - an)=00 a1 00 a2 00 a3 10 an - 1 01 an 00n ai x-1 +x1 - a1x2 - a2x3 - a3x-ax - a- an - 1n - 1n ni ii = 1 a1 a2 a n( x 1 -a1 ) ( x 2 - a2 )( x n -a n ) 1 + x.x -ax - a- a11 2 2n n( 2) 添加在一般位置x 2x s - 1s +1n11x 1x 2x 1x 111x 2x s - 1s +1nx 2x 222例 5计算 n 阶行列式的值.x 2x s - 1s +1n1x nx nx nnn解提示 :x 1x 2x 2x s - 1ss + 1n11x 1x 1x 111x 2x s - 1s + 1snx 2x 2x 222按第 n + 1 行展开得到的是关于 z 的多项式 , 而所x 2x s - 1s + 1sn11x nzx nz sx nx nz nnnz 2z s - 1z s + 1102广 西 师 范 学 院 学 报 (自 然 科 学 版)第 23 卷求行列式的值是上述加边行列式展开式的 z s 项的系数乘以 ( - 1) n + 1 + s + 1 .注意 能够利用镶边法的题目往往具有如下两种特征之一 : ( 1) 各行 ( 列) 有很多相同的元素 , 但是 直接利用行列式的性质把一行 ( 列) 的适当的倍数加到其它行 ( 列) 的时候不容易变成三角形行列式 , 或 者说出现的零的个数还不够多 ; ( 2) 添加一行 ( 列) 后能够跟范德蒙行列式联系起来. 类似的题目如 :1x 11x 21x n1 + a11111 + a21111 + a31111 + a11111 + b11111 + c11111 + dx 222x 2x n1、等x n - 2x n - 2x n - 212n1111 + a nx nnnx 2x n1等.利用因式定理法3利用行列式的性质找出行列式的所有因式 , 从而得到行列式的值. 我们利用行列式的定义的展开式观察出行列式的展开式 ( 多项式) 的次数特征 , 如果该次数与我们找到的所有因式的乘积的次数相同 , 就 利用展开式的首项系数对因式的乘积的系数进行调整 , 之后得到的就是行列式的值了.xa1a1xa2a2a n - 1a n - 1a na n例 6计算 D =.a1a2a3a nx解nx + aia1a2a n - 1a ni = 1n11a1xa2a2a n - 1a n - 1a na nx + ainxa2a n - 1a n+ ai )= ( xD =,i = 1i = 11a2a3a nxnx + aia2a3a nxi = 1展开式可以看成关于 x 的多项式 f ( x ) , 显然有 f ( a1 ) = 0 , f ( a2 ) = 0 , f ( a n ) = 0 , 这是因为分别令 x, a n 时 , 行列式恰好有两行相同 , 行列式的值为零. 因此行列式的展开式中有因子 : x - a1 , x= a1 , a2 , x - a n , 所以 D = k ( x + a1 + a2 +( x - a n ) , 又行列式首项系数为- a2 ,+ a n ) ( x - a1 ) ( x - a2 )1 , 故 D = ( x + a1 + a2 + a n ) ( x - a1 ) ( x - a2 )( x - a n ) .注意能够利用因式分解定理进行计算的行列式的特征是 :这类行列式一般是含有文字变量的行列式 , 当某个变量取某个特定值的时候行列式的值为零 , 则该行列式必含有某个特定因子. 类似的题目 如 :1x 11x 21x n01 + x11 - x11111 + y11111 - yx0z yy z0xz y x0x 222x 2x nxy z1111、等等.x n - 2n - 2n - 2x 2x n1x n - 1n - 1n - 1x 2x n1103第 1 期杨立英 , 等 : n 阶行列式的计算方法与技巧递推法4利用行列式按行 ( 列) 展开的性质 , 得到原行列式与同类型的低阶行列式之间的递推关系式. 此种方法有时用到 D n , D n - 1 , 有时用到 D n , D n - 1 , D n - 2 , 若出现的是 D n , D n - 1 的关系 , 则可以直接进行递推 ;若出现的是 D n , D n - 1 , D n - 2 , 则一般要写成 D n + aD n - 1 = b ( D n - 1 + aD n - 2 ) , 进行递推 , 这里的以用待定系数法去求出 , 也可以利用方程的根与系数的关系去求. ( 1) 利用 D n , D n - 1进行递推a , b 可xa1a1xa2a2a na n例 7计算 D n + 1 =.a1a1a2a2a3a3a nx解x a1a1a1x a2a2a2xa n - 1a n - 1a n - 1000x a1a1a1x a2a2a2xa n - 1a n - 1a n - 1a na na nD n + 1 =+=a1a1a2a2a3a3xa n0x - a na1a1a2a2- a2 )a3a3xa n- a n ) a n ,a na n( xa n ) D n + ( x -a1 ) , D 3 = ( x -a1 ) ( x( x-而 D 1 = x , D 2 ( x + a1 ) ( x -a1 + a2 ) ( x - a1 ) ( x - a2 ) .假设 D n = ( x + a1 + a2 +a2 ) ( x + a1 ) ( x -a1 ) + a2 ( x - a1 ) ( x - a2 )= ( x + a n - 1 ) ( x - a1 ) ( x - a2 )( x - a n - 1 ) , 代入上面的递推关系式得到D n + 1 = ( x - a n ) ( x + a1 + a2 + a n - 1 ) ( x - a1 ) ( x - a2 )( x - a n - 1 ) + a n ( x - a1 ) ( x - a2 )( x - a n - 1 ) ( x - a n ) = ( x + a1 + a2 +a n - 1 + a n ) ( x -a1 ) ( x -a2 )( x - a n - 1 ) ( x - a n ) .x 1z zyx 2zyy x 3yy yyy y例 8计算 D n =.zzzzzzx n - 1zyx n解x 1z zy x 2zy yx 3y yyy yyx 1z zy x 2zy yx 3y yyy + 0y + 0y + 0D n =zzzzzzx n - 1zyx nzzzzzzx n - 1zy + 0y + x n - y104广 西 师 范 学 院 学 报 (自 然 科 学 版)第 23 卷000x 1z zyx 2zyy x 3yy yyy yx 1z zyx 2zyy x 3yy y+=0x n - yzzzzzy -x 2 -0zz zzx n - 1z zzzyyzz z zzzz000zzx n - 1zx 1 -00y -y -x 3 -y -y - y -n - 1= y ( x i - z ) + ( x n - y ) D n - 1 .+ ( x n -y) D n - 1i = 10z0z0z0yx n - 1 -zzn - 1n - 1z ( x i -z ) Dn - 1 = z ( x i -同理有= D n=y ) + ( x n -y )+ ( x n -z ) D n - 1 .D ni = 1i = 1nn 1 z ( x i -y ( x i - z )若 y z , 解得 : D n =y) -.z - yi = 1i = 1nnn= z , 递推可得 : D n = x 1 ( x i -+ y ( x j - y ) .若 yy )i = 2 j ii = 2( 2) 利用 D n , D n - 1 , D n - 2进行递推a + b10aba + b10aba + b000000例 9计算 D n =.0001a + b解0aba + b000000a + b10aba + b1D n=0001a + b00a + b1aba + b000010aba + b00( a + b)-=ab0a + b10aba + b100a + b000a + b101a + bn - 1aba + b0000( a + b)-ab=001a + b0abD n - 2 ,01a + bn - 1n - 2( a + b) D n - 1 - aD n - 1 = b ( D n - 1 - aD n - 2 ) , 从而= b2 ( D n - 2 -所以有D n -D n -aD n - 1 = b ( D n - 1 -aD n - 2 )= bn - 2 ( D 2 - aD 1 ) , 而 D 2 - aD 1 = b2 , 所以aD n - 3 ) = bn .( 1)D n -aD n - 1同理可得= a n .( 2)D n -bD n - 1105第 1 期杨立英 , 等 : n 阶行列式的计算方法与技巧a n + 1 - bn + 1若 a b , 又 ( 1) 、( 2) 两式消去 D n - 1 , 得 D n =a = b 若 , 得.a - bD n = aD n - 1 + a n = a ( aD n - 2 + a n - 1 ) + a n = a2 D n - 2 + 2 a n = a n - 1 D 1 + ( n - 1) a n