初中数学竞赛精品标准教程及练习25：十进制的记数法.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习(25)十进制的记数法一、内容提要1. 十进制的记数法就是用0，1，29十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数第1位)， 101=10(十位上的数-第2位)，102=100(百位上的数-第3位)，10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5104+4103+3102+0101+71002. 十进制的n位数(n为正整数)， 记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+102an-2+10an-1+an 其中最高位a10，即0a19，其它是0a1,a2,a3an93. 各位上的数字相同的正整数记法：例如999=100011031，99991041，10n-1，4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。二、例题例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1105x ，新六位数为10x1，根据题意，得10x13（1105x）7x=299999 x=42857 原六位数是142857例2. 设n为正整数，计算1解：原数（10n 1）（10n 1）+110n+10n1102n210n+1+10n+10n1102n例3. 试证明12，1122，111222，这些数都是两个相邻的正整数的积证明：1234，11223334，111222333334注意到333334333（3331）（1）由经验归纳法，得10n+（）（上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k (k为正整数)，d=9ka bc,代入原四位数，得103a+102b+10c9ka bc（1031）a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) 111a+11b+c+k是整数，四位数103a+102b+10c+d,能9被整除推广到n位正整数：n位正整数记作10n1a1+10n-2a2+10an-1+an（1）a1+a2+an-1+an=9k(k是正整数)an=9ka1a2an-1代入（1）得原数10n1a1+10n-2a2+10an-1+9ka1a2an-1（10n-11）a1+（10n-21）a2+9an-1+9k10n-11，10n-21，101分别表示，9原数9（a1a2an+k）这个n位正整数必能被9整除例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0a9, 0b,c99ab且8 a-b+c18它能被11整除，a-b+c只能是11或0。 当a-b+c11时，商是9a+b+1,根据题意得9a+b+1a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意 当a-b+c0时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c且a-b+c11解得答这个数是198例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, 可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17从百位上看c+b=8 (进入千位) 可知 c+b=17 (2)(2)+(1)得 b-a=80a9 0b9 b=9 a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986三、练习251. 设a是个两位数，b是三位数。当a接在b的左边时，这个五位数应记作_，当a接在b 的右边时，这个五位数应记作_。2. 有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。3. 计算：1987198619861986 198719874. 一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。5. 试证明：112，111122，各数都能写成某个正整数的平方。（即证明各数都是完全平方数）6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是47。求符合条件的所有两位数。7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有6求原六位数8. 已知四位数除以9得四位数，求原四位数。9. 一个五位正奇数x，将x中的所有2都换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若x,y I满足等式：y=2(x+1),那么x=_10. 已知存在正整数n能使数被1987整除，求证：p=能被1987整除11. 一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三位数。13. 求证：是一个合数。练习25参考答案：1.1000a+b, 100b+a 2. 21,10 3. 04. 仿例1，这数是10144927536231